Matematica di base
Lezioni in Aula D5 ogni Venerdi alle 14:30
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Calendario
• 21 Ottobre Aritmetica ed algebra elementare
• 28 Ottobre Geometria elementare
• 4 Novembre Insiemi e funzioni
• 11 Novembre Equazioni, disequazioni, geometria analitica
• 18 Novembre Funzioni esponenziali e logaritmiche
• 25 Novembre Funzioni trigonometriche
• 2 Dicembre Calcolo combinatorio e probabilità elementare
• 9 Dicembre Esercizi di preparazione al primo compitino
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I lezione
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Funzione esponenziale
Dato a ∈ R+ , associando ad ogni numero reale x il numero reale ax , si definisce
definito funzione f : R → R+ tale che
f (x) = ax
∀x ∈ R
• Se a = 1 allora la funzione f è costante per ogni x ∈ R: f (x) = 1x = 1.
• Se invece il numero reale a è positivo e diverso da 1 la funzione f si dice
funzione esponenziale di base a.
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Funzione esponenziale - Proprietà
• Definita su tutto l’insieme dei numeri reali ed assume valori positivi:
insieme di definizione= R, immagine= R+ .
• La funzione esponenziale è monotona:
◦ crescente, se a > 1
◦ decrescente, se 0 < a < 1
• Poiché la funzione esponenziale è monotona, essa è anche invertibile e la sua
inversa è una funzione logaritmica.
• f (x) = e x : la base è il numero di Nepero e, un numero irrazionale che vale
circa 2.71283.
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Equazione esponenziale elementare
Equazione esponenziale: ogni equazione in cui l’incognita appare come
esponente di almeno uno dei suoi termini.
Equazione esponenziale elementare:
ax = b
con a > 0 e a 6= 1.
Se b > 0 e qualunque sia a > 0 (purché a 6= 1), l’equazione esponenziale
elementare ax = b ammette una e una sola soluzione, la quale è
• positiva, se a e b sono entrambi maggiori di 1, o entrambi minori di 1;
• negativa, se uno dei due numeri a e b è maggiore di 1 e l’altro minore di 1;
• uguale a 0, se b = 1.
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Logaritmi e loro proprietà
Dati due numeri positivi a e b, con a 6= 1, l’equazione ax = b ammette una e una
sola soluzione. Questa soluzione si chiama logaritmo in base a di b e si indica
con loga b.
Il numero b si chiama argomento del logaritmo e deve essere un numero
positivo, in quanto ax > 0 per ogni x reale.
• Non è possibile calcolare nell’insieme dei numeri reali il logaritmo di
zero o di un numero negativo.
• loga a = 1
• loga 1 = 0
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Logaritmi e loro proprietà
• Il logaritmo del prodotto (b, c > 0):
loga b c = loga b + loga c
• Il logaritmo del quoziente (b, c > 0):
b
= loga b − loga c
c
• Il logaritmo di una potenza ad esponente reale e base positiva:
loga
loga b c = c loga b
• Potenza nella base del logaritmo:
1
loga b
k
• Date due possibili basi a e b vale la seguente relazione:
logb c
loga c =
logb a
logak b =
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Logaritmi e loro proprietà
1. Il numero
log7 140
A)
B)
C)
D)
E)
è
è
è
è
è
uguale a 7 log7 20
uguale a 20
maggiore di 3, ma minore di 7
maggiore di 7
uguale a 1 + log7 20
2. Sia x un numero reale positivo. Allora 5 log10 x 3 è uguale a:
A)
B)
C)
D)
E)
8 log10 x
5 (log10 x)3
3 log10 x 5
53 log10 x
5 (log10 x + 3)
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Funzione logaritmica
Funzione logaritmica di base a (a > 0 e a 6= 1):
f (x) = loga x
• Non è definita su tutto R, il suo insieme di definizione è
R+ = {x ∈ R : x > 0}, mentre la sua immagine è R.
• La funzione logaritmica è monotona:
◦ crescente, se a > 1;
◦ decrescente, se 0 < a < 1.
• La funzione logaritmica è monotona, quindi invertibile e la sua inversa è una
funzione esponenziale.
• Una funzione logaritmica molto utilizzata è la funzione logaritmo naturale,
y = ln x, che ha come base il numero e; tale funzione è l’inversa della
funzione esponenziale y = e x .
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Equazioni e disequazioni
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3. E’ data l’equazione 3x = 81. L’insieme di tutte le sue soluzioni reali è:
A)
B)
C)
D)
E)
{2}
{−2,
p+2}
p
{− log3 27, + log3 27}
p
{+ log3 27}
{− ln 27, + ln 27}
4. La disequazione
(1.5)x <
1
1.5
è verificata per
A)
B)
C)
D)
E)
nessun valore reale di x
x < −1
x > −1
x <0
x <1
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Equazioni e disequazioni
5. Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali:
a)
2x ≤
1
64
b)
3 x
1
≥8
2
c)
22 x − 5 · 2x + 4 ≤ 0
d)
2x−1 · 3x+1 ≥ 9
e)
6
3
2
+
≤ x
+5
2x − 1 2x + 1
2 −1
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Equazioni e disequazioni
6. Risolvi le seguenti disequazioni logaritmiche:
a)
log2 (x 2 − 3 x + 3) ≤ 0
b)
logx
x +3
≥1
x −1
c)
ln(x − 2)
p
≥2
1 + ln(x − 2)
d)
log1/3
√
x + 1 ≤ log1/3
p
4 − x2 + 1
e)
log |x 2 − x − 6| ≤ 0
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