Numeri ipernaturali, iperinteri, iperrazionali

Numeri ipernaturali, iperinteri, iperrazionali
DEFINIZIONE 1: L’insieme dei numeri naturali N è definito induttivamente dalle due clausole:
1N
(x) (x  N  x + 1  N); (cfr. § 5).
L’insieme dei numeri ipernaturali N* è definito dalle stesse clausole:
1  N*
(x) (x  N*  x + 1  N*).
NOTE: Ovviamente N  N*.
La proprietà archimedea P1: (xR) (nN) x < n (cfr. § 5), è un teorema di R, perciò
vale anche in R* (per l’assioma Tr): P1* :
(xR*) (nN*) x < n; nel caso in cui x = H,
infinito positivo, deve esistere n  N* tale che x < n, e, per il teorema del confronto (vedi § 16),
n è un infinito positivo. Ne segue che N* ha (infiniti) elementi ipernaturali infiniti, che
indicheremo, al solito, con lettere maiuscole: N, M, K, ... .
Niente altro appartiene ad N* oltre ai numeri naturali e agli ipernaturali infiniti.
Sulla retta iperreale:
Figura 15
Tutte le proprietà algebriche e ordinali dei numeri reali riguardanti i numeri naturali si
estendono agli iperreali in virtù dell’assioma Tr; in particolare le proprietà delle potenze con
esponente naturale valgono anche in R*, anche quando gli esponenti sono ipernaturali.
Z* = N*  {0}  (N*)
insieme dei numeri iperinteri;
z
Q* = { : z  Z*  n  N*}
insieme dei numeri iperrazionali.
n
NOTE: Si osservi che Z* è, come N*, un insieme discreto e che non contiene infinitesimi,
1
N
salvo lo 0. Invece esistono numeri iperrazionali infinitesimi, ad esempio:
, 2
, ...
N
N 1
Si estendono agli iperinteri eagli iperrazionali tutte le proprietà algebriche e ordinali
delle potenze dei numeri reali con esponenti interi e razionali (vedi § 5).
Si ha inoltre che, se a, b  R+ \{0}, q, s  Q*fin allora q  s  aq  as.
DEFINIZIONE 2:
87
POTENZE CON ESPONENTE REALE
Le potenze con esponente reale sono state definite nel § 5, ma solo ora sono a disposizione
gli strumenti necessari a capire tale definizione.
TEOREMA (DELL’IPERRAZIONALE): Ogni numero reale è infinitamente vicino ad almeno un
numero iperrazionale. In formula: (x  R)(q  Q*) x  q.
DEFINIZIONE 3: Per ogni numero reale strettamente positivo, x  R+ \{0}, e per ogni numero
reale r si pone
xr 
st(xq)
def
dove q  Q* e q  r.
OSSERVAZIONI: Utilizzando la precedente definizione è possibile dimostrare che:
I) Tutte le proprietà algebriche e ordinali delle potenze con esponente razionale (§ 5) si estendono
alle potenze con esponente reale.
II) Se a  R+ \{0}, x0, x1  R* e x0  x1, allora a x0  a x1 e, per definizione di logaritmo,
loga x0  loga x1.
Di conseguenza, se x  0 allora ax  a0, vale a dire: ax  1, mentre, se x  1 allora loga x  loga 0 =
= 1.
III) Le precedenti considerazioni consentono di definire rigorosamente le funzioni esponenziali e
logaritmiche (le cui proprietà e grafici sono stati illustrati in precedenza) e le loro estensioni
naturali.

Il numero di Nepero
L’estensione delle potenze definita in questo paragrafo dà origine ad alcuni tipi di forma
indeterminata non considerati in precedenza: se ,   0 e H è un infinito positivo, , (1+)H , H,

sono alcuni esempi di tali forme indeterminate. Nel presente paragrafo è illustrata la più importante
di tali forme; altri casi, riferibili a questo o riguardanti in generale gli esponenziali e i logaritmi,
compaiono nella successiva tabella.
TEOREMA: Sia H un infinito positivo; allora il numero iperreale (1 +
1 H
)
H
I) è un iperreale finito (quindi ha parte standard);
II) è compreso strettamente fra 2 e 3;
III) la sua parte standard non è un numero razionale.
1 H
) 
e.
def
H
NOTE: Il numero e è detto “numero di Nepero”; esso è un numero irrazionale compreso tra
2 e 3; il suo valore approssimato è
e  2,718281828.
1 H
Si dimostra che st(1 + ) = e anche quando H è infinito negativo.
H
La funzione esponenziale di base e è particolarmente importante in analisi matematica, essendo
l’unica che coincide con la propria funzione derivata (vedi § 21) ed è perciò la più usata, tanto che
viene indicata omettendo la base:
DEFINIZIONE: st(1 +
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exp: R  R+ \{0}
x  ex
La sua funzione inversa, il logaritmo in base e, viene detto “logaritmo naturale” e viene
anch’esso indicato senza la base:
log: R+ \{0}  R
x  logx;
il logaritmo naturale si indica anche con ln.
IPERREALI NOTEVOLI
IPERREALI NOTEVOLI ESPONENZIALI E LOGARITMICI
Siano:   0; H, K, J, L, M infiniti positivi; a R+ \{0, 1}: r R\{0}; n N. Allora

1 H
e 
st (1 +
)
def
H
e  1
a >1  a  1
0< a <1  a  1


H
H
eH = K
a >1  a = J
0< a <1  a  0
eH  0
a > 1  aH  0
0< a <1  aH = J
logK = H
a > 1  loga J = H
0< a <1  loga J = H
log  = L
a > 1  loga  = M
0< a <1  loga  = H
log (1+)  0
a > 1  loga (1+)  0
0< a <1  loga   0


1/
1/

1
(1 + )  e
(1  )  e
(1 
)H  e
H


1
e 1
a 1
1

= log a
log a e


log(1  )
log a (1   )
1
1
 loga e =

log a

1/
r

r H
(1 + r)  e
(1 +
)  er
H
log H
log H
 log  0
0

0
n
H
H
H
H
e
e
=K
=J
H
Hn
IPERREALI NOTEVOLI TRIGONOMETRICI
Siano:   0, H infinito; allora

sen  0
cos  1
tg  0



sen H è f. i. 1  senH  1
cos H è f. i. 1  cosH  1
tg H è f. i.
K  tgH  K
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sen 

1
sen H
0
H
90
1 cos 

1  cos 

2
0

1
2
tg

1
cos H
0
H