Disequazioni

Disequazioni
Mario Sandri
DISEQUAZIONI
Definizioni
Una disequazione è una diseguaglianza tra due espressioni che contengono incognite. Risolvere una
disequazione significa trovare quell'insieme di valori che, attribuiti alle incognite, la rendono una
disuguaglianza effettivamente verificata. Solitamente, le soluzioni di una disequazione sono costituite da
uno o più intervalli di valori.
Principi di equivalenza
Due disequazioni si dicono equivalenti se i rispettivi insiemi delle soluzioni coincidono. Vi sono due principi
che consentono di manipolare le disequazioni per trovare l'insieme delle soluzioni; essi sono una
conseguenza diretta delle proprietà delle disuguaglianze:
1. Principio di addizione: aggiungendo o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa
espressione, si ottiene una disequazione equivalente. Ciò implica che si può eliminare da entrambi i
membri uno stesso termine oppure spostarlo da un membro all'altro cambiandolo di segno (che
equivale ad aggiungere il suo opposto).
2. Principio di moltiplicazione: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una
stessa espressione che sia sempre positiva si ottiene una disequazione equivalente alla data;
moltiplicando o dividendo per un'espressione negativa, la disequazione sarà controversa alla data.
Ciò implica che si può cambiare il segno a tutti i termini di entrambi i membri, purché si cambi
anche il verso della disequazione (in effetti, ciò equivale a moltiplicare per -1).
Simbologia
Nel gergo delle disequazioni vi sono dei simboli che devono essere conosciuti leggendoli da sinistra a
destra:
=
≠
>
≥
<
≤
1
uguale
diverso
maggiore
maggiore o uguale
minore
minore o uguale
Disequazioni
Le soluzioni
Mario Sandri
Quando si risolve una disequazione vi sono diversi modi per esprimere la soluzione. In questo contesto ne
vengono proposte solo due evitando quella che fa uso delle parentesi, tonde o quadre. La prima è quella
geometrica che si ottiene andando a considerare gli intervalli, mentre la seconda è la soluzione algebrica
che si ottiene andando a descrivere matematicamente i medesimi intervalli.
Alcune regole per la soluzione geometrica: se la disequazione ha come valore > o <, cioè il valore del punto
non è compreso si usa il pallino vuoto, in caso in cui vi sia anche l’uguale si usa il pallino pieno. La soluzione
viene indicata con una riga continua (qui di seguito in grassetto) o con il +, mentre la non soluzione non
viene indicata o col segno −. A destra di tale retta stanno i valori numerici grandi, mentre a sinistra quelli
piccoli.
L’utilizzo del + e del – è fondamentale quando si vanno a studiare situazioni ben più complesse e per tale
ragione è consigliabile in molte circostanze utilizzarla.
Disequazioni di primo grado
Una disequazione lineare ad una incognita si può sempre ricondurre ad una delle seguenti forme, in cui si
considera il valore di a positivo:
Disequazione
Soluzione algebrica
ax + b > 0
b
x>−
a
b
x≥−
a
b
x<−
a
b
x≤−
a
ax + b ≥ 0
ax + b < 0
ax + b ≤ 0
Soluzione geometrica
−
b
a
−
b
a
−
b
a
−
b
a
Nel caso in cui il termine a sia negativo si cambiano tutti i segni e si ritorna a uno dei casi sopra indicati.
Per ottenere la soluzione si utilizzano i principi di equivalenza, cioè si portano tutte le incognite a sinistra e i
termini noti a destra. In caso in cui l’incognita abbia valore negativo si cambiano tutti i segni e anche quello
della disequazione e poi si divide per il valore numerico dell’incognita entrambi i membri.
Nota
Nel caso di disequazioni di questo tipo per sapere rispetto al valore trovato, nella soluzione geometrica, se
la soluzione sta a desta o sinistra del punto, basta guardare il simbolo della disuguaglianza, infatti sembra
essere la punta di una freccia e la soluzione sta nella direzione della punta stessa.
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Disequazioni
Disequazione di secondo grado
Mario Sandri
Una disequazione si dice quadratica se in essa, una volta ridotta in una delle forme seguenti, compaiono
termini quadratici, cioè potenze di ordine massimo uguale a 2. Una disequazione quadratica generica è
scritta nel seguente modo:
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0
ax 2 + bx + c ≤ 0
ax 2 + bx + c < 0
In ogni caso la procedura è identica in ogni caso. Si risolve innanzitutto l’equazione associata
ax 2 + bx + c =
0 la quale può avere due soluzioni distinte, due soluzioni coincidenti o nessuna soluzione in
funzione del discriminante. Un’equazione di questo tipo rappresenta una parabola con la concavità rivolta
verso l’alto se a è positivo, verso il basso se a è negativo.
Consideriamo solo il caso in cui a sia positivo. Le soluzioni sono:
Discriminante
∆= b − 4ac
∆>0
( x1 < x2 )
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c ≥ 0
ax 2 + bx + c > 0
ax 2 + bx + c ≤ 0
x < x1 ∨ x > x2
x ≤ x1 ∨ x ≥ x2
x1 < x < x2
x1 ≤ x ≤ x2
2
x1
∆ =0
b 

 x1 = x2 = − 
2a 

x≠−
x1
b
2a
x1
∆<0
∀x ∈ℜ
x1
x1
∀x ∈ℜ
x1
∀x ∈ℜ
x1
x1
Nessun valore di x
x1
Nessun valore di x
x1
x= −
x1
b
2a
x1
Nessun valore di x
(nessuna
soluzione)
Per ottenere le soluzioni con a negativa è più semplice invertire tutti i segni e utilizzare una delle sopra
citate soluzioni senza dove imparare un nuovo schema.
Sopra la retta la funzione è positiva e sotto negativa da qui il motivo della soluzione. In altre parole si cerca
per quali intervalli la parabola sta sopra la retta (disequazione col segno maggiore o maggiore uguale) o
sotto la retta (disequazione col segno minore o minore uguale).
Nota
Lo schema precedente può anche essere ricordato nel seguente modo: se la disequazione ha segno
maggiore o maggiore uguale prendo i valori esterni ai punti altrimenti quelli interni. Questo trucco non si
applica con discriminante negativo.
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Disequazioni
Disequazioni fratte
Mario Sandri
Una disequazione fratta, ridotta nella sua forma più semplice è scrivibile come il rapporto di due polinomi
N ( x)
>0
D ( x)
N ( x)
≥0
D ( x)
N ( x)
<0
D ( x)
N ( x)
≤0
D ( x)
dove N ( x ) è il denominatore e D ( x ) è il denominatore.
Per trovare la soluzione il metodo è di risolvere separatamente il numeratore e il denominatore e porli
entrambi maggiori di zero. Solo il numeratore maggiore o uguale a zero nel caso la disequazione presenti
anche l’uguale:
Simbolo disequazione
>o<
Risolvo
N ( x) > 0
D ( x) > 0
≥o≤
N ( x) ≥ 0
D ( x) > 0
Il denominatore non lo pongo mai uguale a zero perché renderebbe impossibile (non determinata) la
disequazione, come succede nelle equazioni fratte.
Disegno due rette parallele una per descrivere le soluzioni del numeratore e una del denominatore come
da esempio:
N:
D:
I valori numerici devono essere messi in modo che venga rispettato l’ordine di grandezza. I valori più piccoli
a sinistra e quelli più grandi a destra. Si segnano le soluzioni nei due casi come visto precedentemente,
ricordando che la soluzione è il + e la non soluzione il −. Successivamente i tracciano delle linee verticali in
corrispondenza dei punti
N:
D:
Nell’esempio abbiamo supposto che ci fossero tre valori. Per ogni intervallo si fa il prodotto dei segni
ricordando che il risultato da – solo se i – sono in numero dispari.
Ora la soluzione sono gli intervalli col segno positivo se originariamente l’equazione aveva come segno della
disuguaglianza > o ≥, altrimenti si prendono gli intervalli negativi.
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Disequazioni
Disequazioni di grado superiore al secondo
Mario Sandri
Per risolvere una disequazione di grado superiore al secondo, che genericamente viene indicata con:
P ( x) > 0
P ( x) ≥ 0
P ( x) < 0
P ( x) ≥ 0
è necessario scomporre il polinomio P ( x ) in termini di primo o secondo grado
P(=
x ) P1 ( x ) ⋅ P2 ( x ) ⋅ ... ⋅ Pn ( x )
dove Pi ( x ) corrisponde ad un polinomio di primo o al massimo di secondo grado.
Per trovare la soluzione il metodo è di risolvere separatamente ogni singolo polinomio Pi ( x ) e porli
entrambi maggiori di zero, maggiore o uguale a zero nel caso la disequazione presenti anche l’uguale:
Simbolo disequazione
>o<
Risolvo
P1 ( x ) > 0
P2 ( x ) > 0
…
Pn ( x ) > 0
≥o≤
P1 ( x ) ≥ 0
P2 ( x ) ≥ 0
…
Pn ( x ) ≥ 0
Disegno tante rette parallele quanti sono i polinomi Pi ( x ) ed ognuna descriverà la soluzione del singolo
polinomio Pi ( x ) da esempio:
P1 ( x ) :
P2 ( x ) :
…
Pn ( x ) :
I valori numerici devono essere messi in modo che venga rispettato l’ordine di grandezza. I valori più piccoli
a sinistra e quelli più grandi a destra. Si segnano le soluzioni nei due casi come visto precedentemente,
ricordando che la soluzione è il + e la non soluzione il −. Successivamente i tracciano delle linee verticali in
corrispondenza dei punti
P1 ( x ) :
P2 ( x ) :
…
Pn ( x ) :
Per ogni intervallo si fa il prodotto dei segni ricordando che il risultato da – solo se i – sono in numero
dispari.
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Disequazioni
Mario Sandri
Ora la soluzione sono gli intervalli col segno positivo se originariamente l’equazione aveva come segno della
disuguaglianza > o ≥, altrimenti si prendono gli intervalli negativi.
Nota
Il metodo per risolvere un’equazione di grado superiore al secondo è identico a quello che viene utilizzato
per risolvere una disequazione fratta.
Sistemi di disequazioni
Quando si considerano contemporaneamente più disequazioni, tutte nella stessa incognita, si ha un
sistema di disequazioni.
 P1 ( x ) > 0

 P2 ( x ) > 0

...

 Pn ( x ) > 0

Nell’esempio i segni delle disequazioni possono essere di qualunque tipo, non necessariamente tutti
maggiori.
Un sistema di disequazioni si risolve risolvendo separatamente ogni singola disequazione Pi ( x ) e come
soluzione avrà le soluzioni comuni a tutte le disequazioni.
Disequazioni con valore assoluto
Una disequazione con valore assoluto, come suggerisce la parola stessa, contiene, il modulo. Rivediamo
per completezza quale operazione viene effettuata applicando il modulo:
 f ( x ) se è f ( x ) ≥ 0
f ( x) = 
− f ( x ) se è f ( x ) < 0
Vediamo ora come si risolve una generica disequazione con valore assoluto del tipo A ( x ) > B ( x ) . La
soluzione è la l’unione delle soluzioni della seguente coppia di sistemi
 A ( x ) ≥ 0
 A ( x ) < 0
∨

 A ( x ) > B ( x ) − A ( x ) > B ( x )
Se inizialmente la disequazione avesse un simbolo diverso, questo sarebbe lo stesso che apparirebbe nella
seconda disequazione di entrambi i sistemi.
In questa breve trattazione non viene affrontato il problema dettagliato di come si possa risolvere una
disequazione del tipo A ( x ) ± B ( x ) > C ( x ) . Si accenna solo al fatto che bisogna studiare inizialmente il
segno di A ( x ) e B ( x ) .
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Disequazioni
Disequazioni irrazionali
Mario Sandri
Una disequazione si dice irrazionale se l’incognita appare a potenze non intere, o per semplicità, se
l’incognita si trova sotto radice. Tali disequazioni si rifanno molto alla teoria dei radicali e per tale motivo è
opportuno rivedere la nomenclatura. Una radice generica si pone nella forma
n
a
dove n è l’indice della radice e a l’argomento o il radicando.
Per risolvere una qualsiasi disequazione di secondo grado sono da tenere a mente alcune cose
fondamentali: il valore dell’indice della radice (pari o dispari) e il segno della disuguaglianza.
Data la lunghezza nel giungere ad una regola generale, qui vengono omessi i passaggi logici che portano alle
formulazioni seguenti, presentando unicamente le formule nel loro caso generale. I casi particolari si
ottengono sempre da questi in maniera semplice.
Disequazione
n dispari
n pari
n
A( x) < B ( x)
A ( x ) <  B ( x ) 
n
n
A( x) > B ( x)
A ( x ) >  B ( x ) 
n

B ( x) > 0

A( x) ≥ 0


n
 A ( x ) <  B ( x ) 

B ( x) > 0
 B ( x ) < 0

n ∨
 A ( x ) <  B ( x )   A ( x ) ≥ 0
Tale schema si applica tranquillamente anche ai casi in cui si ha anche l’uguale nella disuguaglianza,
tenendo presente che esso appare in tutte in tutte le formule.
Nel caso di n pari, la condizione A ( x ) ≥ 0 deriva dal fatto che in tali circostanze l’argomento, per
definizione, non può mai essere negativo, cosa che può succedere nel caso di n dispari.
Caso particolare
Molto spesso, soprattutto nello studio di funzioni, capita di risolvere disequazioni irrazionali molto più
semplici di quelle viste sopra. Per completezza e semplicità schematizziamo il caso in cui si abbia B ( x ) = 0 .
Disequazione
n
A( x) < 0
A( x) < 0
n pari
Nessuna soluzione
n
A( x) ≤ 0
A( x) ≤ 0
A( x) = 0
n
A( x) > 0
A( x) > 0
A( x) > 0
n
A( x) ≥ 0
A( x) ≥ 0
A( x) ≥ 0
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n dispari