{y} = f (x), in luogo di quella, peraltro abituale,
f
y =
(x). Si dice, in
questo caso, che f (x) è una funzione a più valori.
Sia, ad esempio, X= {O,+ 1, + 2, ...}, Y ={O,+ l, -1, + 2, -2,
...} e poniamo y = f(x) = ±
È allora T = {O, + 1, + 4, + 9,
...}, ed inoltre /(O) = O, f {+ 1) = ± 1, f (+ 4) = ± 2, ... La funzione
f(x), è ~unque a due valori (per x > O).
,vi.
Osserviamo, da ultimo, che il concetto di funzione a più valori si può
ricondurre a quello di funzione a un sol ,,a/ore (dato nel § 4).
CAPITOLO 2
NUMERI REALI
z
•
z tlxJ
Fig. 1.18.
Assegnato l'insieme Y, indichiamo, per questo, con Z l'insieme delle
parti di Y: gli elementi z di Z sono dunque i sottoinsiemi di Y (0 e Yinclusi). Data allora f (x), a più valori in Y, e posto
z =f(x),
resta definita una funzione a un sol valore in Z.
Sia, ad esempio, X= {O, + 1, + 2, + 3, + 4}, Y = {O, + 1, -1,
+ 2, - 2}, y = f (x) = ± y'x: risulta perciò T = {O, 1, 4}.
1, - l}, za = { 2, - 2}, si ottenPosto allora z1 = {O}, z2 = {
gono tre elementi di Z e si ha /{O)= z1, f (+ 1) = z2, /( + 4) = za.
+
I
I
16
+
+
+
1. I successivi ampliamenti del concetto di numero. Successioni.
Numerabilità dell'insieme dei numeri razionali. Potenza o-esima del
binomio. Il principio di induzione e gli assiomi di Peano
a) I successivi ampliamenti del concetto di numero.
L'Algebra e l'Analisi Matematica muovono entrambe dal concetto di
numero. Questo concetto ha subito, nell'arco di millenni, successivi
ampliamenti. Si sono man mano introdotti: i numeri naturali (cui si
è poi aggiunto lo zero, ottenendo gli interi assoluti), gli interi relativi
(o con segno), i numeri razionali assoluti, i razionali relativi.
Questi ultimi,. detti più brevemente numeri razionali (o anche frazionari)
concludono un primo gruppo di estensioni. Aprono contemporaneamente la via a un secondo gruppo: i numeri reali ed i numeri complessi,
dei quali ci occuperemo nel presente corso. Sul concetto di numero
ritorneremo nel capitolo 12.
Le successive estensioni del concetto di numero sono state originate da
un duplice intento: da un lato rendere misurabili, esprimendole con
numeri, grandezze appartenenti a classi sempre più ampie, dall'altro
liberare da eccezioni le operazioni aritmetiche.
Nell'ideare ciascun ampliamento, si è provveduto anche a prolungare le
definizioni delle operazioni dalla classe originaria a quella successiva.
17
----------
È stato seguito, per questo, un criterio costante: far sì che le proprietà
formali di cui godono le operazioni nella classe ampliata siano, per quanto
possibile, quelle stesse valide nella classe prin1itiva.
Questo criterio, detto da Hankel il principio di permanenza delle proprietà
formali, è alla base del calcolo letterale: non è peraltro peculiare dell 'algebra, ma accon1pagna, in generale, lo sviluppo delle teorie matematiche.
Per le operazioni aritmetiche, si conservano, nei successivi ampliamenti:
la proprietà commutativa e la proprietà associativa della addizione e della
moltiplicazione:
a+b=b+a,
a
+ (b + c) =
(a+ b)
+ c,
ab= ba,
(1.1)
a(bc) = (ab)c;
(1.2)
la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla addizione:
a(b
I'
+ e) =
ab
+ ac .
(1.3)
In virtù della (I.I), la somma di un numero qualsiasi di termini è indipendente dall'ordine secondo cui questi vengono disposti; per la (1.2),
i termini stessi possono associarsi a piacere, con le parentesi. Lo stesso
dicasi per i fattori di un prodotto.
La (I.3) consente di mettere in evidenza un fattore comune a più termini
di una somma. È ovvio infine che ogni prolungamento delle operazioni,
come il vocabolo stesso dice, viene effettuato in modo coerente con le
3 = 5, sia che 2, 3, 5 vengano considefinizioni preesistenti (risulta 2
derati numeri interi, o razionali, o reali~ o complessi!).
+
Ossen azione I. - Con l'invenzione dei numeri reali si è potuto risolvere
completamente il problema della misura delle grandezze (lunghezze,
aree, volumi, ...).
L'ulteriore ampliamento, ai numeri complessi (Cap. 7), può dirsi quello
definitivo: il risultato culminante, in campo algebrico, è il teorema
fondamentale dell'algebra, con il quale si dimostra che un'arbitraria
equazione di grado n, a coefficienti c01np/essi, ha n radici complesse,
distinte o coincidenti (cfr. il Voi. III, P. I, Cap. l).
1
r
Si deve anche rilevare che, fino ai numeri reali, i problemi che hanno
condotto alle successive estensioni sono stati in larga parte legati all 'esperienza con il mondo circostante. I numeri complessi sono invece creazione del pensiero matematico: le applicazioni alle Scienze esatte sono
osteriori di secoli. Ricordiam?, tra ~li esen:pi più no~evoli, che i~
ilettrotecnica si fa uso larghi~s1mo d~1 nun:en co~nplcss1_ e eh~ ques~1
.
ngono in ·modo essenziale nell equazwne differenz,a/e d1 Schro1nterve
. er fondamento della Meccanica quantistica.
dmg
'
Il unto di partenza della teoria dei numeri, _il con_cetto di numero natur~le,
, ptato oggetto di critica assai approfondita, d1 carattere anche log,coematematico:
s
··
de1· fionquesta critica rientra nel quadro de 11 a rev1s1one
damenti della matematica, iniziata nel secolo scorso con la scoperta
delle Geometrie non euclidee.
.
.
Nella moderna Matematica, il concetto di numero na!urale_ vien~ mncont ro dotto ' sulla base di tali considerazioni, in modo ass1omattco,
d'
1·
. .
ducendolo alle nozioni di insie,ne e di [unzione, n1e mnte ,~ 1 ass,01~1
di Peano (cfr. rosservazione TI): a questi fa dunque capo l 1ntero sviluppo della Aritmetica.
b) I numeri razionali.
Sono chiamati razionali, o frazionari, i numeri del tipo a = m/n, con
m ed n interi relativi, n -:/; O. Ricordiamone rapidamente la aritmetica.
Due numeri razionali, a= m/n e b = pfq, sono detti eguali (a= b)
o diversi (a =f:. b) a seconda che sia
mq=np
o
mq =f:. 11p .
(1.4)
Per la prima delle (I .4) è m/n = ( - m)/(- n): si può dunque supporre,
senz'altro, n ~ I, q ~ 1. In tal caso è a~ b, a seconda che sia mq~ np.
Dati a e b vale poi la legge di tricotomia; si ha cioè necessariamente
a>b,
o
a=b,
o
a<b.
(1.5)
La addizwne e la moltiplicazione (operazioni dirette) sono definite mediante le eguaglianze
,n
p
mq+ pn
a+b=-+--=
n
q
11q
(1.6)
m
p
mp
ab=---=-.
n
q
nq
I numeri zero (O = 0/n) e uno (l = n/n) si chiamano gli elementi neutri
per l'addizione e la moltiplicazione rispettivamente; questo perchè
19
18
I
I
I
