Istituzioni di Matematica - Dipartimento di Matematica

Istituzioni di Matematica
1. Lezione
martedı́ 29 settembre 2015
1.1. Numeri Naturali. N
Il difetto algebrico (5 − 7 = ?), e il difetto metrico ( 1/3 =?)
1.2. Numeri Interi Relativi. Z
0, ±1, ±2, . . .
1.3. Numeri Razionali. Q
p
,
q
∀p, q ∈ N, q 6= 0 :
•
•
•
•
N⊂Z⊂Q
equivalenza pq = kp
kq
operazioni (la riduzione allo stesso denominatore)
numeri positivi, negativi, ordinamento
costruzione con riga e compasso (teorema di Talete)
Nota: I razionali, dotati delle ordinarie operazioni di somma e di prodotto costituiscono un campo
https://it.wikipedia.org/wiki/Campo_(matematica)
1.4. Incompletezza dei razionali. .
La questione della diagonale del quadrato.
√
Irrazionalitá delle p per ogni p numero primo (Teorema fondamentale
dell’aritmetica, unicitá della fattorizzazione di ogni numero naturale in
fattori primi).
1.5. I numeri reali. .
Idea naif : fissato un riferimento sulla retta (un punto origine e un
punto unitá) ad ogni punto corrisponde un numero.
...ma cos’é un numero ?
Un’idea altrettanto naif é quella dei reali come
decimali con un numero di cifre dopo la virgola anche non limitato
NOTA: I numeri razionali espressi in forma decimale hanno due sole
possibilitá
• un numero finito di decimali ( 5/2 = 2.5)
• una sequenza infinita di decimali ma di forma periodica provate con 5/7, e valutate quanto é lungo il periodo.
1
2
• viceversa un numero che abbia una parte dopo la virgola finita
o periodica é razionale;
1.6. Basi diverse. I numeri interi (ma anche i razionali, e quindi
i reali) possono essere rappresentati in basi diverse dalla tradizionale
base 10. Vedi, a titolo culturale,
https://it.wikipedia.org/wiki/Sistema_numerico_ternario
In Mathematica il comando BaseForm[x,p] produce la rappresentazione del numero x nella base p.
1.7. Il modulo. Ad ogni numero (reale) x si associa il suo modulo,
un numero (reale) non negativo indicato con |x|, definito come x stesso
se x ≥ 0 e come −x se x < 0.
Proprietá:
• |x| = | − x|
• −|x| ≤ x ≤ |x|
• |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
• |x.y| = |x|.|y|
• |x+y| ≤ |x|+|y| (disuguaglianza triangolare) La disuguaglianza triangolare su n numeri é stata dimostrata per induzione.
Il modulo serve a definire la distanza d tra due numeri x, y:
d = |x − y|
Con questa definizione di distanza
|x| é la distanza di x dallo zero