capitolo
3
I numeri razionali
Struttura algebrica dell’insieme L’insieme dei numeri razionali, composti per mezzo dell’addizione, forma un gruppo
commutativo, in quanto l’addizione è una operazione interna che gode delle proprietà
(∀ a, b, c ∈ ):
1a
1b
1c
1d
proprietà associativa (a + b) + c = a + (b + c)
esistenza dell’ elemento neutro (lo zero) a + 0 = 0 + a = a ∀a ∈
per ogni elemento a ∈ esiste l’elemento opposto –a ∈
proprietà commutativa a + b = b + a
Inoltre gli elementi non nulli di , composti per mezzo della moltiplicazione formano un
gruppo in quanto la moltiplicazione è un’operazione interna che gode di proprietà analoghe a quelle dell’addizione:
2a proprietà associativa (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c), ∀ a, b, c ∈
2b proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
2c esistenza dell’ elemento neutro (l’unità) a ⋅ 1 = 1 ⋅ a = a ∀a ∈
1
1
2d per ogni elemento a ∈0 esiste l’elemento inverso ∈0 , tale che a ⋅ = 1
a
a
2e proprietà commutativa a ⋅ b = b ⋅ a
Un insieme in cui siano definite due operazioni interne che godono delle proprietà sopra
elencate si dice che forma un campo.
Pertanto l’insieme dei numeri razionali, indicato anche con (, +, ⋅), è un campo.
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© 2010 RCS Libri S.p.A., ETAS - L. Lamberti, L. Mereu, A. Nanni - Corso di Matematica - Edizione mista
