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Geometria
analitica di base
(seconda parte)
SAPERE
Al termine di questo capitolo, avrai appreso:
il concetto di luogo geometrico
la definizione di funzione quadratica
l’interpretazione geometrica di un particolare
sistema di equazioni di secondo grado
l’interpretazione geometrica di un’equazione
di secondo grado in una sola incognita
l’interpretazione geometrica di un particolare
sistema di equazioni di quarto grado
la definizione di funzione di proporzionalità
inversa
SAPER FARE
Al termine di questo capitolo, sarai in grado di:
individuare il grafico di una funzione
quadratica
risolvere graficamente un particolare
sistema di equazioni di secondo grado
risolvere graficamente un’equazione
numerica intera di secondo grado in una
sola incognita
risolvere graficamente un particolare
sistema di equazioni di quarto grado
individuare il grafico di una funzione
di proporzionalità inversa
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Pagina 64
PARTE
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
Equazioni, disequazioni, sistemi
di grado superiore al primo
nel piano cartesiano
Equazione di un luogo geometrico
Non è possibile dare la definizione di linea curva.
La sua idea nasce facendo scorrere la punta di una matita su un foglio e immaginando che
si estenda all’infinito da entrambe le parti.
Una curva può essere intesa come un luogo geometrico ovvero come l’insieme di tutti e soli
i punti del piano che soddisfano una certa proprietà. Poiché un punto qualsiasi del piano
cartesiano è esprimibile mediante le coordinate generiche (x; y), tale proprietà può essere
rappresentata dall’equazione di una funzione della forma f(x, y) = 0 che esprime in simboli il
legame tra l’ascissa, rappresentata dalla lettera x, e l’ordinata, rappresentata dalla lettera y,
di un punto qualsiasi della curva stessa.
Funzione quadratica
È noto che, quando a ciascun numero appartenente a un sottoinsieme D dell’insieme R
viene associato uno e un solo numero reale y, si dice che è definita una funzione reale di
variabile reale f sull’insieme D.
La funzione avente per dominio R e così definita: f: x a ax2 + bx + c, con a, b, c ∈R ∧ a ≠ 0,
che a x associa f(x) = ax2 + bx + c, prende il nome di funzione quadratica.
DEFINIZIONE
La funzione quadratica è la funzione avente dominio D = R e equazione:
y = ax2 + bx + c, con a ∈R0 e b, c ∈R
CASI PARTICOLARI
Se a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0, l’equazione f(x) = ax2 + bx + c assume la forma f(x) = bx + c
che rappresenta l’equazione della funzione affine.
Se a = 0, b ≠ 0 e c = 0, l’equazione f(x) = ax2 + bx + c assume la forma f(x) = bx
che rappresenta l’equazione della funzione lineare.
Se a ≠ 0, b = 0 e c = 0, l’equazione f(x) = ax2 + bx + c assume la forma f(x) = ax2
che rappresenta l’equazione della funzione della proporzionalità diretta al
quadrato.
esempio
• f(x) = 3x2 + 5x + 1 è una funzione quadratica.
La seguente tabella illustra i valori assunti da y = f(x) al variare di x nell’insieme
D = {1, 5, 8, 9}.
x
1
5
8
9
f(x)
3 ⋅ 12 + 5 ⋅ 1 + 1 = 9
101
233
289
64
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PARTE
• y = 3x2 è una funzione di proporzionalità diretta al quadrato.
La seguente tabella illustra i valori assunti da y = f(x) al variare di x nell’insieme
D = {1,2,3,4,6,8,12}.
x
1
2
3
4
6
8
12
f(x)
3
12
27
48
108
192
432
Dalla tabella si evince facilmente che, se x raddoppia, y quadruplica, ovvero diventa
22 = 4 volte più grande; se x triplica, y diventa 32 = 9 volte più grande; se x quadruplica, y diventa 42 = 16 volte più grande, ….
Rappresentazione grafica di una funzione quadratica
È noto che le coordinate di un punto appartenente a una retta, sostituite alle variabili dell’equazione della retta stessa, trasformano l’equazione in un’uguaglianza numerica vera e,
in tal caso, si dice anche che le coordinate soddisfano l’equazione della retta.
La stessa proprietà può essere generalizzata alle curve per cui, se le coordinate di un punto,
sostituite alle variabili dell’equazione di una curva, trasformano l’equazione in un’uguaglianza numerica vera, allora il punto appartiene alla curva. Viceversa, se un punto appartiene a una curva, allora le sue coordinate, sostituite alle variabili dell’equazione della
curva, trasformano l’equazione in un’uguaglianza numerica vera.
La rappresentazione grafica di una funzione quadratica in un piano cartesiano è una curva
che prende il nome di parabola.
Essa è l’insieme di tutti i punti del piano aventi coordinate (x; ax2 + bx + c).
Per tracciare una parabola nel piano cartesiano, è necessario conoscere e congiungere un
congruo numero di suoi punti.
Cercare le coordinate di tali punti significa individuare un certo numero di coppie di
numeri x e y che si ottengono dall’equazione della funzione quadratica (associata alla
parabola) assegnando a x dei valori reali e ricavando, per ciascuno di essi, i corrispondenti valori di y.
Si esaminino i seguenti casi:
caso 1 : a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0;
caso 2 : a ≠ 0, b = 0 e c = 0.
Caso 1: a ≠ 0, b ≠ 0 e c ≠ 0
È utile tener presenti alcune proprietà che caratterizzano la parabola e che saranno studiate in modo approfondito nei prossimi anni scolastici.
• Una parabola di equazione y = ax2 + bx + c è dotata di un asse di simmetria parallelo all’asb
se y, di equazione x = − .
2a
Preso un punto qualsiasi della parabola, il suo simmetrico rispetto all’asse di simmetria
è un punto della parabola.
• Se il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, a > 0, la parabola rivolge la
sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y; se a < 0, la parabola rivolge la sua
concavità verso la direzione negativa dell’asse y.
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2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
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PARTE
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
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Pagina 66
• La parabola e il suo asse di simmetria hanno un punto V in comune, detto vertice della
parabola. Le sue coordinate,
⎛ b
b2 − 4 ac ⎞
V ⎜ − ;−
4 a ⎟⎠
⎝ 2a
si individuano risolvendo il sistema tra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse di simmetria:
⎧ y = ax 2 + bx + c
⎪
⎨
b
⎪x = −
2a
⎩
Se la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y, l’ordinata
del suo vertice corrisponde al valore minimo che la funzione quadratica può assumere;
se la parabola rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell’asse y, l’ordinata
del suo vertice corrisponde al valore massimo che la funzione quadratica può assumere.
• Le coordinate dell’eventuale punto di intersezione tra una parabola e l’asse y sono (0; c)
e si determinano risolvendo il sistema tra l’equazione della parabola e l’equazione dell’asse y:
⎧ y = ax 2 + bx + c
⎨
⎩x = 0
Asse di simmetria
y
y
4
4
3
2
1
2
–2
1
–1
c
Vertice
3
c
Vertice
V
1
–1
2
3
x
–1
1V
a>0
2
3
–2
x
a<0
Vertice
Concavità verso la direzione negativa
dell’asse y
Concavità verso la direzione positiva
dell’asse y
Caso 2: a ≠ 0, b = 0 e c = 0
Se a ≠ 0, b = 0 e c = 0, l’equazione f(x) = ax2 + bx + c assume la forma f(x) = ax2, che rappresenta l’equazione della funzione della proporzionalità diretta al quadrato. Il suo grafico è una parabola avente vertice nell’origine del piano cartesiano e l’asse y per asse di
simmetria.
Si demanda allo studente di esaminare i casi:
a = 0, b ≠ 0 e c ≠ 0;
a = 0, b ≠ 0 e c = 0.
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Pagina 67
esempio
Individuare le coordinate del vertice, l’equazione dell’asse di simmetria e la concavità
delle parabole che corrispondono alle seguenti equazioni:
• y = 3x2 − 5x + 2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y, che ha vertice nel punto:
⎛5 1 ⎞
5
V ⎜ ;− ⎟ e asse di simmetria di equazione: x =
⎝ 6 12 ⎠
6
2
• y = −3x + 5x + 2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell’asse y, che ha vertice nel punto:
⎛ 5 49 ⎞
V ⎜ ; ⎟ e asse di simmetria di equazione: x = 5
⎝ 6 12 ⎠
6
• y = 3x2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che
rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y, che ha vertice nell’origine e per asse di simmetria l’asse y.
y
3
2
1
–1
1
x
2
• y = −3x2. All’equazione assegnata corrisponde nel piano cartesiano una parabola che
rivolge la sua concavità verso la direzione negativa dell’asse y, che ha vertice nell’origine e per asse di simmetria l’asse y.
y
–1
1
–1
–2
–3
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x
PARTE
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
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PARTE
2
• Tracciare il grafico della funzione di equazione: f(x) = |x2 − 9|.
Tenendo conto di quanto già studiato riguardo alla funzione modulo, la funzione di
equazione: f(x) = |x2 − 9| è così definita:
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
⎪⎧ x 2 − 9 se x ≤ −3 ∨ x ≥ 3
⎪⎧ x 2 − 9 se x 2 − 9 ≥ 0
f ( x) = ⎨
⇒ f ( x) = ⎨
⎪⎩− x 2 + 9 se − 3 < x < 3
⎪⎩− x 2 + 9 se x 2 − 9 < 0
Il grafico della funzione di equazione f(x) = |x2 – 9| è quindi dato:
• dal tratto del grafico della parabola di equazione y = x2 – 9 (che rivolge la sua concavità verso la direzione positiva dell’asse y) appartenente al semipiano positivo dell’asse y e corrispondente alle x appartenenti all’insieme (–∞, –3] ∪ [3, +∞);
• dal tratto della parabola di equazione y = 9 – x2 (che rivolge la sua concavità verso la
direzione negativa dell’asse y) corrispondente alle x appartenenti all’insieme (–3, 3)
“riportato” al di sopra dell’asse delle x.
y
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
–4 –3 –2
1
–1
–1
2
3
4
x
–2
Risoluzione grafica di un particolare sistema di equazioni
di secondo grado
Risolvere graficamente in un piano cartesiano un sistema di secondo grado costituito da
un’equazione numerica intera di secondo grado in due incognite, della forma y = ax2 + bx + c
(equazione di una funzione quadratica), e da un’equazione numerica intera di primo grado
nelle stesse due incognite (equazione di una funzione affine), della forma y = mx + q, significa individuare le posizioni reciproche della parabola corrispondente all’equazione di
secondo grado e della retta corrispondente all’equazione di primo grado.
Tre sono i casi possibili e, ovviamente, per ciascuno di essi, vale anche il viceversa.
• Se retta e parabola sono secanti e si intersecano in due punti diversi, allora il sistema è
determinato in R (il discriminante dell’equazione risolvente del sistema è maggiore di
zero: Δ > 0) e le coordinate dei due punti di intersezione rappresentano le due coppie di
numeri reali soluzioni del sistema (le eventuali soluzioni reali dell’equazione risolvente
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sono le ascisse dei punti di intersezione; le ordinate si individuano sostituendo le soluzioni in una delle due equazioni del sistema).
PARTE
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
• Se retta e parabola sono tangenti (si intersecano in un solo punto), allora il sistema è
determinato in R (il discriminante dell’equazione risolvente del sistema è uguale a zero:
Δ = 0) e le coordinate del punto di intersezione rappresentano la coppia di numeri reali
soluzione del sistema.
• Se retta e parabola sono l’una esterna all’altra (non si intersecano in alcun punto), allora il sistema è impossibile in R (il discriminante dell’equazione risolvente del sistema è
minore di zero: Δ < 0).
CASI PARTICOLARI
Ai tre casi precedenti si deve aggiungere il caso particolare relativo all’intersezione della parabola con una retta parallela al suo asse di simmetria o coincidente con uno degli assi cartesiani. Se retta e parabola sono secanti e si intersecano
in un solo punto, allora il sistema è determinato in R e le coordinate del punto di
intersezione rappresentano la coppia di numeri reali soluzione del sistema.
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PARTE
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
esempio
Risolvere graficamente il seguente sistema:
⎧ y = 3x 2 − 4 x + 1
⎨
⎩y = x −1
La parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1 e la retta di equazione y = x − 1 devono essere rappresentate graficamente in un piano cartesiano, al fine di individuare le loro eventuali intersezioni.
y
2
1
P
Q
1
2
x
–1
La rappresentazione grafica informa che parabola e retta si intersecano in due punti.
La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:
⎧ y = 3x 2 − 4 x + 1 ⎧ x − 1 = 3x 2 − 4 x + 1
⇒⎨
⎨
⎩y = x −1
⎩y = x −1
L’equazione risolvente è:
3x2 − 5x + 2 = 0, con Δ > 0
Se si risolve il sistema, si ottengono le coordinate dei punti di intersezione.
La parabola e la retta sono secanti e si intersecano nei due punti
⎛ 2 1⎞
P(1;0) e Q ⎜ ;− ⎟
⎝ 3 3⎠
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Pagina 71
PARTE
Individuare le intersezioni della parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1 con le rette aventi le seguenti equazioni:
• y = 2x − 2.
Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1
e la retta di equazione y = 2x − 2 sono tangenti nel punto (1; 0):
y
1
x
–1
–2
La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:
⎧ y = 3x 2 − 4 x + 1 ⎧2 x − 2 = 3x 2 − 4 x + 1
⇒⎨
⎨
⎩ y = 2x − 2
⎩ y = 2x − 2
L’equazione risolvente è: 3x2 − 6x + 3 = 0, con Δ = 0. Se si risolve il sistema, si ottengono le coordinate del punto di intersezione: (1; 0).
• y=x−2
Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1
e la retta di equazione y = x − 2 sono l’una esterna all’altra (la parabola e la retta non
si intersecano in alcun punto).
y
2
1
1
–1
–2
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2
x
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
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Pagina 72
PARTE
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:
⎧ y = 3x 2 − 4 x + 1 ⎧ x − 2 = 3x 2 − 4 x + 1
⇒⎨
⎨
⎩y = x − 2
⎩y = x − 2
L’equazione risolvente è: 3x2 − 5x + 3 = 0, con Δ < 0.
• Individuare le intersezioni della parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1 con la retta di
equazione: x = 2.
Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola e la retta hanno un solo punto
in comune, P(2;5), ma non sono tangenti (infatti la retta di equazione: x = 2 è paralle2
la all’asse di simmetria della parabola, che ha equazione x = ).
3
y
7
6
5
4
3
2
1
–2
–1
1
2
3
x
–1
La risoluzione algebrica conferma ciò che si deduce dal grafico:
⎧ y = 3x 2 − 4 x + 1 ⎧ y = 12 − 8 + 1 ⎧ y = 5
⇒⎨
⇒⎨
⎨
⎩x = 2
⎩x = 2
⎩x = 2
La parabola e la retta si intersecano nel punto di coordinate (2; 5).
Risoluzione grafica di un’equazione numerica intera
di secondo grado in una sola incognita
In virtù di quanto già appreso, un’equazione numerica intera di secondo grado in una sola
incognita, della forma ax2 + bx + c = 0, con a, b, c ∈R e a ≠ 0, può essere considerata
l’equazione risolvente del seguente sistema di secondo grado:
⎧ y = ax 2 + bx + c → equazione di una parabola
⎨
→ equazione dell'asse x
⎩y = 0
Risolvere graficamente l’equazione significa quindi cercare le ascisse dei punti di intersezione della parabola con l’asse x.
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Tre sono i casi possibili:
• Se la parabola e l’asse x si intersecano in due punti distinti P e Q, allora il discriminante Δ = b2 − 4 ac dell’equazione risolvente è positivo e le coordinate dei punti di intersezione sono le seguenti:
⎛ −b − Δ ⎞
⎛ −b + Δ ⎞
P⎜
; 0⎟ e Q ⎜
; 0⎟
⎝ 2a
⎝ 2a
⎠
⎠
• Se la parabola e l’asse x sono l’una tangente all’altra in un punto P (ovvero la parabola
interseca l’asse x in un solo punto), allora il discriminante Δ = b2 − 4 ac dell’equazione
risolvente è nullo e le coordinate del punto di intersezione sono:
⎛ b ⎞
P ⎜ − ; 0⎟
⎝ 2a ⎠
corrispondenti al vertice della parabola.
• Se la parabola e l’asse x sono l’una esterna all’altro, allora il discriminante Δ = b2 − 4 ac
dell’equazione risolvente è negativo.
Ovviamente, per ciascuno dei casi esaminati, vale anche il viceversa.
esempio
• Risolvere graficamente l’equazione 3x2 − 4x + 1 = 0.
Si devono individuare le intersezioni della parabola di equazione y = 3x2 − 4x + 1 con
l’asse x.
y
7
6
5
4
3
2
1
Q P
–2
–1
1
2
x
–1
Il grafico informa che la parabola e l’asse x si intersecano in due punti distinti.
La risoluzione algebrica lo conferma:
⎧ y = 3x 2 − 4 x + 1 ⎧0 = 3x 2 − 4 x + 1
⇒⎨
⎨
⎩y = 0
⎩y = 0
L’equazione risolvente è: 3x2 − 4x + 1 = 0 ⇒…
⎛1 ⎞
La parabola e l’asse x sono secanti: si intersecano nei due punti P(1; 0) e Q ⎜ ; 0⎟
⎝3 ⎠.
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PARTE
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
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PARTE
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
• Individuare l’intersezione della parabola di equazione y = −x2 − x + 1 con l’asse y.
Si rappresenti la parabola di equazione y = −x2 − x + 1 in un piano cartesiano.
La risoluzione algebrica del sistema:
y
⎧ y = − x2 − x + 1
⎨
⎩x = 0
1
1
conferma che la parabola e l’asse y sono
secanti e si intersecano nel punto di coordinate: P(0; 1).
x
Risoluzione grafica di un particolare sistema di equazioni di quarto grado
Risolvere un sistema di equazioni di quarto grado della forma:
⎪⎧ y = ax 2 + bx + c
⎨
⎪⎩ y = dx 2 + ex + f
con a, d ∈R0 ∧ b, c, e, f ∈R, significa cercare le coordinate dei punti di intersezione delle due
parabole rappresentate dalle due equazioni del sistema. Pertanto, se le due parabole sono:
• secanti, allora il sistema è determinato in R e le sue soluzioni sono due coppie di numeri, coordinate dei punti di intersezione;
• tangenti, allora il sistema è determinato in R e la sua soluzione è data da una coppia di
numeri, coordinate del punto di tangenza;
• l’una esterna all’altra, allora il sistema è impossibile in R.
Ovviamente, per ciascuno dei casi esaminati, vale anche il viceversa.
esempio
⎪⎧ y = x − x − 2
• Risolvere graficamente il sistema: ⎨
.
⎪⎩ y = − x 2 + 3x + 4
La rappresentazione grafica delle due parabole è la seguente.
2
y
8
7
6
5
4
3
2
1
Le due parabole sono secanti. Esse si intersecano nei punti di coordinate: (–1; 0) e (3; 4).
La risoluzione algebrica del sistema conferma
l’asserzione.
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–3 –2 –1
–1
–2
–3
1
2
3
4
5
6
x
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PARTE
Funzione di proporzionalità inversa
2
Si prenda in considerazione la funzione di equazione:
n
y = , ∀n ∈R∧x ≠ 0
x
Dall’esame dell’equazione, si evince che al crescere (o al decrescere) di x, decresce (o cresce)
n
allo stesso modo anche y = .
x
n
Per tale motivo, la funzione di equazione y = , ∀n ∈R ∧ x ≠ 0, è anche detta funzione di
x
proporzionalità inversa di coefficiente di proporzionalità n.
Essa è una funzione avente per dominio l’insieme dei numeri reali privato dello zero:
D = R − {0}.
La funzione di proporzionalità inversa corrisponde nel piano cartesiano a una curva particolare che prende il nome di iperbole equilatera riferita al centro e ai propri asintoti.
Se n > 0, la curva è situata nel primo e terzo quadrante; se n < 0, nel secondo e nel quarto
quadrante.
Le due parti di cui è costituita l’iperbole prendono il nome di rami.
L’iperbole è inoltre simmetrica rispetto all’origine O del piano cartesiano.
I punti E e D (nelle due rappresentazioni) sono i vertici dell’iperbole equilatera.
Essi si determinano intersecando l’iperbole con la bisettrice del primo e del terzo quadrante, se n > 0; con la bisettrice del secondo e quarto quadrante, se n < 0.
La bisettrice a cui appartengono i vertici prende il nome di asse trasverso dell’iperbole
equilatera.
Gli assi rappresentano gli asintoti dell’iperbole equilatera.
y
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
E
E
0
–4
–3
–2
–1D
0
y
1
2
3
4
x
–4
–3
–2
0
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
75
1
D
2
3
4 x
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
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Pagina 76
PARTE
2
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
esempio
Completare la seguente tabella, che si riferisce all’equazione di una funzione di proporzionalità inversa, e rappresentare nel piano la corrispondente iperbole:
−2
x
y=
−1
−
1
2
1
2
1
2
2
x
2
Per completare la tabella è necessario sostituire a x, contenuto nell’equazione y = ,
x
i valori contenuti nella prima riga:
x
y=
2
x
y=
−2
−1
−
1
2
1
2
1
2
2
= −1
−2
−2
−4
4
2
1
2
, è necessario
x
individuare i vertici dell’iperbole: essi sono i punti di intersezione dell’iperbole con la
bisettrice del primo e del terzo quadrante (perché n = 2 è un numero positivo), di equazione y = x.
Le loro coordinate, ( 2 ; 2 ) e ( − 2 ; − 2 ) , si determinano risolvendo il sistema costituito dall’equazione dell’iperbole e dall’equazione della bisettrice:
Per rappresentare in un piano cartesiano l’iperbole di equazione y =
⎧
2
⎪y =
x
⎨
⎪y = x
⎩
2
è il seguente:
x
Il grafico dell’iperbole di equazione y =
y
6
5
4
3
2
1
–10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–1
D
–2
–3
–4
–5
E
1
–6
76
2 3 4
5 6 7 8 9 10
x
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Pagina 77
Esercizi
SAPER FARE
Completare le seguenti tabelle che si riferiscono a equazioni di funzioni
quadratiche
unpo’ diaiuto
x
−1
y = 4x2 + x + 1
4
1
−
3
2
−4
x
1
2
0
1
1
2
1
4
2
1
6
5
2
3
2
19
−
−2
1
2
0
1
2
1
1
4
2
3
y = –x2 + 2x
2
x
−4
−3
−2
−1
−
1
2
0
−3
−2
0
1
1
2
2
1
1
4
1
2
2
3
0
1
1
3
2
3
−
1
2
y = x2 + x + 1
3
x
y = 6x2 + 4x – 1
4
x
−
1
3
y = –x2 + x
77
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Pagina 78
PARTE
2
5
ESERCIZI
−3
x
−
−2
1
5
0
1
5
1
2
3
y = 5x2 + 1
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
6
−4
x
−
−2
1
2
0
1
2
1
1
4
2
3
y = –x2
7
x
1
2
0
1
1
2
2
1
1
4
1
2
2
3
1
3
0
1
1
3
2
3
1
5
0
1
1
5
2
3
−4
−3
−2
−1
−
1
2
0
−3
−2
−
−3
−2
−
−
y = 2x2
8
x
y = –2x2
9
x
y = –3x2
10
x
y = 5x2
78
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Pagina 79
PARTE
Rappresentare graficamente le seguenti funzioni
unpo’ diaiuto
y = 5x2 + 6x + 1.
L’equazione della funzione rappresenta una parabola che rivolge la sua concavità
verso la direzione positiva dell’asse y, dato che il coefficiente del termine di secondo
grado possiede segno positivo (5 > 0).
L’asse di simmetria ha equazione:
b
x=−
2a
Poiché a = 5 e b = 6, si avrà:
x=−
3
5
Il vertice ha coordinate:
⎛ b
b2 − 4 ac ⎞
−
;
−
⎜⎝ 2 a
4 a ⎟⎠
Poiché Δ = 16, si avrà:
⎛ 3
4⎞
V ⎜− ; − ⎟
5⎠
⎝ 5
11 y = x2 − 4x + 4
12 y = −x2 + 6x
13 y = 3x2 − 12x
14 y = −x2 − 2x + 1
15 y = x2 − 8x + 1
16 y = 2x2 − 1
17 y = −x2 + 14x − 33
18 y = −x2 + 1
19 y = −2x2 + 3x + 1
20 y = 3x2 + 7x
21 y = −4x2 − 5x + 1
22 y = −2x2 + 3x − 2
23 y = x2 + x
24 y = −6x2 + 5x − 1
79
2
ESERCIZI
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
Analitica_esercizi 2ª.qxd
PARTE
2
13:34
Pagina 80
Risolvere graficamente i seguenti sistemi numerici interi di secondo grado
unpo’ diaiuto
⎧ y = 2x2 + 7 x + 5
⎨
⎩y = x +1
ESERCIZI
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
11-10-2009
La prima equazione del sistema è l’equazione di una parabola che rivolge la concavità verso la direzione positiva dell’asse y e interseca l’asse x in due punti distinti
(Δ > 0).
La seconda equazione del sistema è l’equazione di una retta.
La rappresentazione grafica delle due curve è la seguente.
y
5
4
3
2
1
–3
–2
x
–1
–1
La parabola e la retta sono quindi secanti e i punti di intersezione hanno coordinate:
(−2; −1) e (−1; 0).
La risoluzione algebrica del sistema conferma l’asserzione.
25
⎧ y = 2x2 + 4x − 1
⎨
⎩x = 0
26
⎧ y = −3x 2 + 10 x + 12
⎨
⎩x = 0
27
⎧ y = 5x 2 − 6 x − 2
⎨
⎩x = 0
28
⎧ y = −13x 2 + 40 x − 5
⎨
⎩x = 0
29
⎧ y = −12 x 2 + 43x + 1
⎨
⎩x = 0
30
⎧ y = x 2 + 8 x − 48
⎨
⎩y = 0
31
⎧ y = −2 x 2 + x + 6
⎨
⎩y = 0
32
⎧ y = − x 2 + 15x − 26
⎨
⎩y = 0
80
Analitica_esercizi 2ª.qxd
11-10-2009
13:34
Pagina 81
PARTE
33
⎧ y = x − 4x + 4
⎨
⎩ y = 2x − 1
34
⎧ y = 2 x − 5x + 2
⎨
⎩y = x + 2
35
⎧ y = −2 x 2 + 3x + 1
⎨
⎩y = x +1
36
⎧ y = 4x2 − 9x + 6
⎨
⎩x + y − 2 = 0
2
2
2
ESERCIZI
Risolvere graficamente le seguenti equazioni numeriche intere di secondo grado
unpo’ diaiuto
x2−7x + 12 = 0.
Risolvere graficamente l’equazione assegnata significa cercare le ascisse
dei punti di intersezione della parabola di equazione y = x2−7x + 12 con l’asse x.
La rappresentazione grafica della parabola nel piano cartesiano è la seguente.
y
8
7
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
x
Dalla rappresentazione grafica si deduce che la parabola interseca l’asse x in due punti
distinti P e Q di coordinate: P(3; 0) e Q(4; 0).
La risoluzione algebrica dell’equazione assegnata conferma l’asserzione.
37 2x2 + x + 1 = 0
38 3x2 − 7x + 4 = 0
39 4x2 − 5x + 1 = 0
40 −2x2 + 3x − 2 = 0
41 3x2 − 2x = 0
42 x2 + x = 0
43 −6x2 + 5x − 1 = 0
44 x2 − 7x + 6 = 0
45 −4x2 − 5x − 1 = 0
46 3x2 − 5x + 2 = 0
47 4x2 − 7x − 2 = 0
48 −3x2 + 7x − 4 = 0
49 x2 − 4x + 4 = 0
50 −x2 + 6x + 16 = 0
51 −x2 + x = 0
52 2x2 − 1 = 0
81
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
Analitica_esercizi 2ª.qxd
PARTE
2
ESERCIZI
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
11-10-2009
13:34
Pagina 82
Risolvere graficamente le seguenti disequazioni numeriche intere
in un’incognita
unpo’ diaiuto
x2 − 6x + 5 > 0.
La rappresentazione della parabola di equazione y = x2 − 6x + 5 nel piano cartesiano
è la seguente.
y
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
x
–1
–2
–3
Dal grafico si deduce che i punti della parabola aventi ordinate positive hanno ascisse minori di 1 o maggiori di 5.
53 2x2 + 3x + 1 < 0
54 x2 − 7x + 12 > 0
55 x2 − 5x + 4 ≥ 0
56 −x2 + 3x − 4 ≤ 0
57 5x2 − 20x ≥ 0
58 x2 + 4x < 0
59 6x2 + 5x + 1 ≤ 0
60 −x2 + 7x − 6 > 0
61 −x2 − 5x − 4 ≥ 0
62 6x2 − 5x + 1 ≤ 0
63 8x2 − 7x − 1 < 0
64 −x2 + 7x − 12 > 0
65 4x2 − 4x + 1 ≤ 0
66 −2x2 + 15x − 18 < 0
67 2x2 − 8 ≥ 0
68 −x2 + 7x ≤ 0
82
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Pagina 83
PARTE
Risolvere graficamente i seguenti sistemi numerici interi di quarto grado
unpo’ diaiuto
⎧⎪ y = 6 x 2 − 11x + 5
⎨
2
⎩⎪ y = 4 x − 5x + 1
ESERCIZI
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
y
4
3
2
1
–2
2
–1
1
2
3
4
5
6
x
–1
Dall’esame della rappresentazione grafica si deduce che le due parabole si intersecano nel punto (1; 0).
La risoluzione algebrica avalla l’asserzione.
69
⎪⎧ y = x 2 + 2 x − 3
⎨
⎪⎩ y = x 2 + x
70
⎪⎧ y = 4 x 2 − x + 3
⎨
⎪⎩ y = −2 x 2 − x + 3
71
⎪⎧ y = − x 2 + 2 x + 1
⎨
⎪⎩ y = − x 2 + 3x
72
⎪⎧ y = x 2 − 6 x + 5
⎨
⎪⎩ y = x 2 − 5x + 4
73
⎧ y = − x2 + 5
⎪
⎨
1 2 1
⎪y = x + x
12
3
⎩
74
⎧⎪ y = x 2 + 2 x + 1
⎨
2
⎩⎪ y = x
75
⎧⎪ y = − x 2 + 3x + 2
⎨
⎪⎩ y = − x 2
76
⎧⎪ y = x 2 − x − 1
⎨
⎪⎩ y = x 2 + 2 x
77
⎪⎧ y = 2 x 2 − 5x + 6
⎨
⎪⎩ y = 2 x 2 − x + 1
78
⎪⎧ y = 2 x 2 − 6 x + 1
⎨
⎪⎩ y = 2 x 2 + 4 x + 7
83
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Pagina 84
PARTE
2
79
⎧
3 2
3
⎪⎪ y = 2 x + x + 2
⎨
⎪ y = x2 − x − 1
⎪⎩
2
80
⎧⎪ y = −3x 2 − 2 x + 1
⎨
2
⎩⎪ y = −2 x + 1
81
⎧⎪ y = 2 x 2 − 3x + 1
⎨
2
⎩⎪ y = x − x + 4
82
⎪⎧ y = −3x 2 − x + 4
⎨
2
⎩⎪ y = − x + x + 4
83
⎪⎧ y = 2 x 2 + x − 5
⎨
2
⎩⎪ y = x − 3
ESERCIZI
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
Completare le seguenti tabelle che si riferiscono a equazioni di funzioni
di proporzionalità inversa e rappresentare nel piano le corrispondenti iperboli
unpo’ diaiuto
−3
x
y=
−1
−
1
2
1
2
1
3
3
x
Per completare la tabella è necessario sostituire a x, contenuto nell’equazione
3
y=
x
i valori contenuti nella prima riga:
x
y=
3
x
y=
−3
−1
−
1
2
1
2
1
3
3
= −1
−3
−3
−6
6
3
1
3
, è necessario
x
individuare i vertici dell’iperbole: essi sono i punti di intersezione dell’iperbole con la
bisettrice del primo e del terzo quadrante (perché n = 3 è un numero positivo), di equazione y = x.
Le loro coordinate, ( 3; 3 ) e ( − 3; − 3 ) , si determinano risolvendo il sistema
costituito dall’equazione dell’iperbole e dall’equazione della bisettrice ovvero il
seguente sistema:
⎧
3
⎪y =
x
⎨
⎪y = x
⎩
Per rappresentare in un piano cartesiano l’iperbole di equazione y =
84
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Pagina 85
PARTE
Il grafico dell’iperbole di equazione y =
2
3
è il seguente:
x
ESERCIZI
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
y
6
4
2
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
x
10
–2
–4
–6
84
x
y=
85
−2
−
1
3
0
1
1
3
1
6
2
3
−3
−2
−
1
3
0
1
1
3
1
6
2
3
−4
−2
−
1
2
0
1
1
2
1
4
2
3
1
x
x
y=−
86
−3
1
x
x
y=−
2
x
85
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Pagina 86
PARTE
2
87
ESERCIZI
x
y=−
Geometria
analitica
di base
(seconda
parte)
88
1
2
1
4
2
0
1
1
2
1
4
2
3
1
2
0
1
1
2
1
6
2
3
1
3
0
1
1
3
1
6
2
3
0
1
1
2
1
4
2
−2
−3
−1
−
1
2
−3
−2
−
−3
−2
−
−4
−3
−2
−
1
2
4
x
89
x
y=−
4
x
90
x
y=
1
−3
3
x
x
y=
0
−4
5
x
91
x
y=−
−
1
2
5
x
86
