Riemann e la geometria ellittica

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Geometrie non euclidee - Riemann e la geometria
ellittica
- Riemann sostituì il quinto postulato con il seguente assioma: “Data una retta r
ed un punto P non appartenente ad essa, non esistono rette che passano per P
che siano parallele ad r.
- Bernhard Riemann (1826-1866) nacque ad Hannover.
- Fu un talento precoce. A 16 anni studiò testi di matematica della
biblioteca personale del preside dell’Università di Luneburg.
- Nel 1846 entrò nell’Università di Gottiga, dove iniziò gli studi di Teologia.
- Poi si trasferì alla facoltà di Filosofia dove inizio un percorso di studi
matematici. Alcuni suoi professori: Moritz, Stern e Gauss.
- Nel 1847 si trasferì all’Università di Berlino e studiò sotto il tutorato di
Steiner, Jacobi, Dirichlet e Eisenstein. Ritornò a Gottiga per ottenere il
dottorato in Filosofia.
- Inizio ad insegnare nel 1857, trattando la riformulazione del concetto di
geometria.
- Membro insigne dell’Accademia delle Scienze di Berlino, abbandonò la
Germania in cerca di un clima più adeguato per guarire dalla tubercolosi.
Finì i suoi giorni in Italia.
- Riemann commentò l’opera di Lobachevski, Nuovi elementi di Geometria
, dicendo che il mondo reale è curvo perché l’Universo è curvo, quindi
qualunque retta tracciata all’infinito sarà sempre curva. Quindi l’unico piano su
cui applicare la geometria è il piano curvo di una sfera. Quindi secondo lui la
vera geometria è quella che deriva tracciando linee sopra ad una sfera.
- Nasceva quindi una nuova geometria, dove non ci sono rette parallele, e la
somma degli angoli di un triangolo è maggiore di 180°.
- Il piano della geometria di Reimann è la superficie di una sfera (caso
particolare di un ellissoide…tipo la patata). In questo modello, le rette si
chiamano geodetiche e sono i circoli massimi, cioè circonferenze che
dividono la sfera in due emisferi uguali. page 1 / 2
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- In questa piano, tutte le rette parallele di incontrano ed i triangoli che si
disegnano sulla sua superfici hanno la somma degli angoli interni maggiore di
180°.
- In questa geometria, maggiore è l’area del triangolo, maggiore è la somma
angolare e sono simili solo triangoli congruenti: cioè triangoli che si possono
sovrapporre. - La superficie della sfera è un paradigma della geometria ellittica.
- Riemann analizzò la curvatura di qualsiasi spazio a 3 dimensioni. I suoi
risultati saranno utilizzati più tardi da Albert Einstein nella Teoria della
relatività.
- NOTA: per capire cosa vuol dire la geometria ellittica, basta prendere un
palloncino e disegnare da sgonfio una linea e un triangolo. Gonfiando il
palloncino, la retta ed i lati del triangolo diverranno curve.
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