Compito di Algebra II Assegnato il 23/6/2003 Nel gruppo simmetrico S4 si consideri il sottogruppo G generato da x = (1, 2, 3, 4) e da y = (2, 4). a) Determinare tutti gli elementi di G e l’ ordine di G. È G abeliano ? b) È G normale in S4 ? c) Determinare il centro di G. d)Provare che ogni sottogruppo di G di ordine 4 contiene il centro. e) Provare che g possiede 3 sottogruppi di ordine 4. Sono ciclici? f) Determinare le classi di coniugio di G. Cenni sulla soluzione. a)Osserviamo che x è di ordine 4 e y è di ordine 2 e vale la relazione yx = x3 y. Da ciò segue che gli elementi di G sono 8 e sono: e, x = (1, 2, 3, 4), x2 = (1, 3)(2, 4), x3 = (1, 4, 3, 2), y = (2, 4), xy = (1, 2)(3, 4), x2 y = (1, 3), x3 y = (1, 4)(3, 2); inoltre G non è abeliano perchè xy 6= yx. b) Posto t = (1, 2, 3) ∈ S4 si ha tyt−1 = (3, 4) ∈ / G. c) Osserviamo che Z ha ordine 2: infatti il suo ordine non è uno per un teorema sui p−gruppi, non è 8 altrimenti G sarebbe abeliano e nemmeno può essere 4 perchè in tal caso detto v un elemento che non sta nel centro, G sarebbe generato da Z e da v e quindi sarebbe abeliano. Il centro contiene quindi due elementi che sono e e z = x2 : infatti si verifica subito che x2 y = yx2 . d) Stesso ragionamento di prima: detto H un sottogruppo di ordine 4, se H non contenesse Z allora G sarebbe generato da H e da Z e quindi sarebbe abeliano. e) Sia H un sottogruppo di ordine 4: 1) Se H è ciclico esso coincide con < x > perchè x, x3 sono gli unici elementi di ordine 4. 2) Se H non è ciclico, dovendo contenere e, z può essere {e, z, y = (2, 4), zy = (1, 3)} oppure {e, z, u = (1, 2)(3, 4), zu = (1, 4)(2, 3)}. f)I sottogruppi di ordine 4 sono normali; tenendo presente ciò segue che le classi di coniugio sono: quella formata dal solo e, quella formata dal solo z, quella formata da {x, x3 }, quella formata da {y, zy} e quella formata da {u, zu}.