strutture algebriche

ESERCIZIO N°1
In R*×N è definita l’operazione ⊕ nel seguente modo:
(α, n) ⊕ (β, m) = (αβn, n⋅m).
Provare che (R*×N, ⊕) è un semigruppo. E’ commutativo?
Posto a = (2, 2) e b = (1, 2) provare che (a ⊕ b)2 ≠ a2 ⊕ b2.
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R*× N con l’operazione ⊕ sarà un semigruppo se è un gruppoide (ossia se
l’operazione ⊕ è interna) e se l’operazione gode della proprietà associativa.
Proviamo che è un gruppoide:
?
siano (α
α, n), (β
β, m)∈
∈ R*×N ⇒ (α
αβn, n⋅⋅m)∈
∈ R*×N
da α, β∈ R*
da n, m ∈ N
poichè le op. di prodotto
ed elevamento a potenza
⇒
sono chiuse in R *
poichè l' op. di prodotto
⇒
è chiusa in N
αβn ∈ R*
n⋅m∈ N
⇒ (αβn, n⋅m)∈ R*×N ⇒ (R*×N, ⊕) è un gruppoide.
(1)
Proviamo che l’operazione gode della proprietà associativa:
?
((α
α, n) ⊕ (β
β, m)) ⊕ (γγ, p) = (α
α, n) ⊕ ((β
β, m) ⊕ (γγ, p)) ∀(α, n), (β, m), (γ, p)∈ R*×N
∀(α, n), (β, m), (γ, p)∈ R*×N si ha:
((α
α, n) ⊕ (β
β, m)) ⊕ (γγ, p) =
= (αβn, n⋅m) ⊕ (γ, p) =
= (αβn γn⋅m, n⋅m⋅p) =
= (α(β γ⋅m)n, n⋅m⋅p) =
= (α, n) ⊕ (βγm, m⋅p) =
= (α
α, n) ⊕ ((β
β, m) ⊕ (γγ, p))
⇒ ((α, n) ⊕ (β, m)) ⊕ (γ, p) = (α, n) ⊕ ((β, m) ⊕ (γ, p)) : vale la propr.
associativa
(2)
da (1) e (2) ⇒ (R*×N, ⊕) è un semigruppo.
Un semigruppo è commutativo se l’operazione in esso definita gode della proprietà
commutativa.
Verifichiamo se (α
α, n) ⊕ (β
β, m) = (β
β, m) ⊕ (α
α, n) ∀(α, n), (β, m)∈ R*×N:
(α, n) ⊕ (β, m) = (αβn, n⋅m)
(β, m) ⊕ (α, n) = (βαm, m⋅n)
?
⇒
(αβn, n⋅m) = (βαm, m⋅n)
L’uguaglianza non è sempre vera, infatti se, per esempio, α = 2, β = 3, n = m = 2
non è vera ⇒ l’operazione ⊕ non è commutativa.
Proviamo che posto a = (2, 2) e b = (1, 2) si ha: (a ⊕ b)2 ≠ a2 ⊕ b2.
(a ⊕ b)2 = ((2, 2) ⊕ (1, 2))2 = (2, 4)2 = (2, 4) ⊕ (2, 4) = (25, 16)
a2 ⊕ b2 = (2, 2)2 ⊕ (1, 2)2 = (23, 4) ⊕ (1, 4) = (23, 16)
⇒ posto a = (2, 2) e b = (1, 2) si ha: (a ⊕ b)2 ≠ a2 ⊕ b2.
ESERCIZIO N°2
Posto G = (Z, +)
ed osservato che G = ({-1, 1}, ×), dove × è l’ordinaria
moltiplicazione fra numeri, è un gruppo, si provi che l’applicazione f : G → G così
definita: f(z) = (-1)z è un omomorfismo.
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G è chiuso rispetto all’operazione ×.
× gode notoriamente della proprietà associativa e commutativa, 1 è l’elemento
unità ed ogni elemento è l’inverso di se stesso. ⇒ G è un gruppo abeliano.
f(z1 + z2) = (−1)z1+z2 = (− 1)z1 × (− 1)z2 = f(z1 )× f (z 2 ) ∀z1, z2 ∈ Z ⇒ f è un omomorfismo.
ESERCIZIO N°3
Si provi che la struttura S = (Q, +, *) è un campo essendo * l’operazione così
5
definita: x ∗ y = x ⋅ y , ∀x, y ∈ Q e + l’ordinaria addizione tra razionali.
9
5
Posto S = (Q, +, ⋅) si provi che l’applicazione f : S → S , f(x)= x è un omomorfismo
9
verificando inoltre che è f(1S ) = 1S .
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Sappiamo che un campo è un corpo in cui la moltiplicazione è commutativa,
ossia un anello in cui gli elementi diversi da zero formano un gruppo rispetto alla
moltiplicazione (ricordiamo che un anello è un insieme non vuoto A con due
operazioni algebriche binarie (+, *) definite su di esso tali che (A, +) è un gruppo
abeliano, (A, *) è un semigruppo e valgono le propr. distributive della
moltiplicazione rispetto all’addizione sia a destra che a sinistra)
(1)
(2)
(Q, +) è un gruppo abeliano, ossia che:
1) vale la proprietà associativa;
2) esiste l’elemento neutro;
3) ogni elemento ammette l’inverso.
(Q, *) è un semigruppo.
Infatti: l’operazione * è:
- interna ;
- associativa: ∀x, y, z ∈ Q
(x ∗ y )∗ z = 5 x ⋅ y ∗ z = 5 ⋅ 5 x ⋅ y ⋅ z = 5 x ⋅ 5 y ⋅ z = x ∗ 5 yz = x ∗ (y ∗ z)
9
9 9
9 9
9
(3) Gli elementi diversi da zero formano un gruppo rispetto all’operazione *.
Infatti: l’operazione * è:
5
5
xy = yx
- commutativa : ∀x, y ∈ Q (x ∗ y ) = (y ∗ x) ⇒
9
9
- esiste l’elemento unità:
5
9
∀x ∈ Q x ∗ e = x ⇔
xe = x ⇒ e =
9
5
- gli elementi diversi da zero sono invertibili: ∀x ∈ Q, x≠0
x∗x = e ⇔
9 5
9
81
x∗x =
xx =
⇒ x=
.
5 9
5
25x
(4) Vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma (basterà
verificarlo in un solo caso poiché abbiamo provato che vale la propr.
commutativa):
5
5
5
a ∗ (b + c ) = a(b + c) = ab + ac = a ∗ b + a ∗ c ∀a, b, c∈ Q
9
9
9
Da (1) (2) (3) (4) ⇒ S è un campo.
f è un omomorfismo, infatti:
5
5
5
∀x, y ∈ Q f(x + y) = (x + y) = x + y = f(x) + f(y)
9
9
9
5
5 5
5 5
∀x, y ∈ Q f (x ∗ y ) = x ∗ y =
xy = x y = f(x) ∗ f(y)
9
9 9
9 9
9
5 9
f( ) =
=1
5
9 5
ESERCIZIO N°4
Verificare che l’insieme M = Q-{-2} rispetto all’operazione o così definita:
a o b = ab + 2a +2b + 2 risulta un gruppo abeliano.
Determinare gli elementi di M di ordine 2.
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(M, o ) sarà un gruppo abeliano se è un semigruppo con elemento unità nel quale
ogni elemento è simmetrizzabile e l’operazione gode della proprietà commutativa.
(M, o ) è chiuso rispetto all’operazione o , infatti:
a o b = ab + 2a +2b + 2
aggiungendo e
sottraendo 2
=
(a + 2)(b + 2) – 2 ≠ - 2
∀a, b ∈ M.
Si verifica facilmente che l’operazione o è associativa e commutativa ⇒ (M, o ) è
un semigruppo abeliano (1).
Verifichiamo che esiste l’elemento unità:
a o x = a ∀a ∈ M
a o x = ax + 2a + 2x + 2 = a ⇔ (x + 1)a + 2(x + 1) = 0 ∀a ∈ M ⇒ x = -1
(2)
Verifichiamo che ogni elemento è simmetrizzabile:
a o x = -1 ∀a ∈ M
ax + 2a + 2x + 2 = - 1
⇒ (a + 2)x = -3 – 2a ⇒
x=
- 3 - 2a
è il simmetrico di a
a +2
(3)
Da (1) (2) (3) ⇒ (M, o ) è un gruppo abeliano.
Gli elementi di ordine 2 sono tra quelli per cui è: a o a = - 1 ⇒
a2 + 2a + 2a + 2 = - 1 ⇒
a2 + 4a + 3 = 0
⇒ a1= - 3 e a2 = -1 ⇒ a1= - 3 è l’unico di ordine 2
perché a2 = -1 è l’elemento neutro ed è di ordine 1.