Prova scritta di MATEMATICA DISCRETA
C.L. Informatica e tecnologie per la produzione del software
10 febbraio 2011
1. Stabilire se la seguente congruenza lineare
1155 x ≡ 231 (mod 616)
ammette soluzioni e, in caso affermativo, determinarle tutte.
2. È dato il gruppo abeliano (Z6 × Z2 , +), dove
∀(x, y), (z, t) ∈ Z6 × Z2 , (x, y) + (z, t) = (x + z, y + t),
ovvero il gruppo somma diretta Z6 ⊕ Z2 .
(a) Stabilire se Z6 ⊕ Z2 è ciclico
(b) determinare gli ordini degli elementi (3, 0), (0, 1)
(c) determinare il sottogruppo ciclico di Z6 ⊕ Z2 generato da (3, 0)
(d) verificare che H = {(0, 0), (0, 1), (3, 0), (3, 1)} è un sottogruppo di
Z6 ⊕ Z2
(e) stabilire se H è ciclico.
3. Determinare i divisori dello zero e gli elementi unitari dell’anello (Z14 , +, ·).
4. È assegnato il reticolo D63 dei divisori di 63 ordinato per divisibilità.
(a) Tracciare il diagramma di Hasse di D63
(b) determinare gli eventuali complementi di tutti gli elementi di D63
(c) stabilire se D63 è distributivo
(d) stabilire se D63 è di Boole.
5. Sono assegnate le seguenti matrici a coefficienti in Z5
1 0 2 0
2 0
3 1 2 0
1 1
A=
1 2 3 4 B = 2 3 .
2 0 1 0
2 4
(a) Stabilire se A è invertibile in M4 (Z5 ) e in caso affermativo determinare l’inversa
(b) calcolare, se possibile, A · B.
6. È assegnato il seguente grafo G
•
Z
LLZZ•
•Z
L
JZ
L
J Z
L
J Z
• J•
ZL•
(a) Stabilire se G è planare ed in caso affermativo verificare la formula
di Eulero
(b) stabilire se G ammette un cammino o un circuito Euleriano e in
caso affermativo evidenziarlo
(c) tracciare un albero di supporto (o generatore) di G .
2
