formulario sui gruppi - Digilander

Formulario di Geometria ed Algebra
GRUPPI
Sia dato un insieme G con G≠∅ nel quale sia assegnata una legge di composizione interna
binaria •: G x G → G ; allora (G,•) è GRUPPO se :
1. g1,g2,g3 ∈ G → g1 •( g2 • g3 ) = (g1 • g2) • g3
2. e ∈ G / ∀ g ∈ G → e • g = g • e = g
3. ∀g∈G ∃ g'∈G / g'• g = g • g' = e
Prop.Associativa
Elem. Neutro
Elem. Simmetrico
se la legge • è anche commutativa → (G,•) è GRUPPO ABELIANO .
Proprietà :
1. ∀ a,b,c ∈G → a•b=b•c → b=a ;
2. ∀ a,b,c ∈G ∃ ! x∈G / a•x=b;
3. ∀ a,b,c ∈G ∃ ! y∈G / y•a=b→ y= b•a-1;
Assiomi del
Quoziente (2,3)
SOTTOGRUPPI
DEF: dato il gruppo (G,•) e l'insieme S⊆G, con S≠∅ si dice che (S,•) è Sottogruppo di G se è
gruppo con la stessa legge di composizione di G :
quindi S è sottogruppo se e solo se :
1. s1,s2 ∈S → s1•s2 ∈S ;
2. e ∈G ( e: elemento neutro di G);
3. ∀ s∈S → s-1 ∈ S (s-1 elemento simmetrico di s in G );
Sottogruppi impropri : sono sottogruppi che esistono sempre ; sono il gruppo stesso e l'elemento
neutro .
CLASSI LATERALI
DEF: dato il gruppo (G,•) ed il sottogruppo (S,•), si chiama classe laterale sinistra di G modulo S
l'insieme : x•S={x•s} s•S ,∀ x∈G .
Proprietà : due classi laterali o coincidono o sono disgiunte.
DEF: Dato l’insieme X e dei sottoinsiemi di X i , Xi ={xi }i∈I , Xi ⊆ X , si dice che questi insiemi
formano una partizione di X quando :
• ∀ i ∈ I , , Xi ≠ ∅ ;
• Xi ∩, Xj ≠ ∅ , i≠j ;
• ∪i∈I = X ;
perciò le classi laterali formano una partizione del gruppo di partenza, in questo caso nasce una
RELAZIONE DI EQUIVALENZA : x ∼ y ↔ x • S = y • S in particolare
• x • S = y • S ↔ y -1 • x ∈ S ;
classe laterale sx
-1
• S •x = S • y ↔ x • y ∈ S;
classe laterale dx
Proprietà : le classi laterali dx e sx coincidono se e solo se il gruppo di partenza è abeliano.
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Formulario di Geometria ed Algebra
Teorema di Lagrange per i gruppi finiti : Sia dato un gruppo G di ordine | G | = n < +∞ , sia inoltre S
un sottogruppo di ordine p<n, S= { s1,s2, ….., sp}. Consideriamo la classe x • S che si trovano come
: x • S = { x • s1,…….,x • sp }, x ∈ G , per cui i suoi elementi sono ≤ p ( sono pari a p quando i
composti sono tutti diversi ).
Per la legge di cancellazione x • si = x • sj ↔ si = sj per cui | x • S | = p.
Da ciò segue che le classi laterali sono in numero h.
Se |G|=n< +∞ e se |S|=p<n allora p divide n cioè n=hp.
DEF: Un sottogruppo S di G si dice normale se x • S = S • x ∀ x ∈G.
S è normale ↔ x • S = S • x ↔ x • S • x -1 ⊆ S
DEF: Si chiamano matrici speciali SL(n,|R) quelle che hanno determinante pari a 1.
Si chiamo INSIEME QUOZIENTE GL/SL (GL modulo SL) l’insieme delle classi in cui viene suddiviso GL
dalla relazione di equivalenza indotta da SL.
MORFISMO
DEF: dati due gruppi (G,•) e (G’,*) si definisce Morfismo f : G → G’ l’applicazione tale che:
∀ a,b ∈ G f(a • b)=f(a) * f(b)
Proprietà :
• Dati gli elementi neutri e ∈G ed e’ ∈G’ si ha : f(e)=e’;
• a → f(a) allora a -1 →[f(a)] -1;
DEF: si definisce Ker f l’insieme : Ker f = { x∈G / f(x)=e’ }
•
•
Ker f = { e } ↔ f è iniettiva ;
Ker f è un sottogruppo normale ;
DEF : si definisce Im f l’insieme : Im f = { x’ ∈G’ / ∃ x∈G ; f(x) = x’ }
•
Im f è sottogruppo di G’;
DEF: Sia dato un gruppo G ed un suo sottogruppo S. Consideriamo le classi laterali sx . L’insieme
delle classi laterali sinistre si dice insieme quoziente e e si indica con
G/S = { x • s } , ∀ x∈G. Si definisce proiezione canonica π l’applicazione :
G → G/S
x → x • S
DEF: Composizione tra classi : ( x • s )
(y • s)=(x • y)• S .
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