Formulario di Geometria ed Algebra GRUPPI Sia dato un insieme G con G≠∅ nel quale sia assegnata una legge di composizione interna binaria •: G x G → G ; allora (G,•) è GRUPPO se : 1. g1,g2,g3 ∈ G → g1 •( g2 • g3 ) = (g1 • g2) • g3 2. e ∈ G / ∀ g ∈ G → e • g = g • e = g 3. ∀g∈G ∃ g'∈G / g'• g = g • g' = e Prop.Associativa Elem. Neutro Elem. Simmetrico se la legge • è anche commutativa → (G,•) è GRUPPO ABELIANO . Proprietà : 1. ∀ a,b,c ∈G → a•b=b•c → b=a ; 2. ∀ a,b,c ∈G ∃ ! x∈G / a•x=b; 3. ∀ a,b,c ∈G ∃ ! y∈G / y•a=b→ y= b•a-1; Assiomi del Quoziente (2,3) SOTTOGRUPPI DEF: dato il gruppo (G,•) e l'insieme S⊆G, con S≠∅ si dice che (S,•) è Sottogruppo di G se è gruppo con la stessa legge di composizione di G : quindi S è sottogruppo se e solo se : 1. s1,s2 ∈S → s1•s2 ∈S ; 2. e ∈G ( e: elemento neutro di G); 3. ∀ s∈S → s-1 ∈ S (s-1 elemento simmetrico di s in G ); Sottogruppi impropri : sono sottogruppi che esistono sempre ; sono il gruppo stesso e l'elemento neutro . CLASSI LATERALI DEF: dato il gruppo (G,•) ed il sottogruppo (S,•), si chiama classe laterale sinistra di G modulo S l'insieme : x•S={x•s} s•S ,∀ x∈G . Proprietà : due classi laterali o coincidono o sono disgiunte. DEF: Dato l’insieme X e dei sottoinsiemi di X i , Xi ={xi }i∈I , Xi ⊆ X , si dice che questi insiemi formano una partizione di X quando : • ∀ i ∈ I , , Xi ≠ ∅ ; • Xi ∩, Xj ≠ ∅ , i≠j ; • ∪i∈I = X ; perciò le classi laterali formano una partizione del gruppo di partenza, in questo caso nasce una RELAZIONE DI EQUIVALENZA : x ∼ y ↔ x • S = y • S in particolare • x • S = y • S ↔ y -1 • x ∈ S ; classe laterale sx -1 • S •x = S • y ↔ x • y ∈ S; classe laterale dx Proprietà : le classi laterali dx e sx coincidono se e solo se il gruppo di partenza è abeliano. 1 Formulario di Geometria ed Algebra Teorema di Lagrange per i gruppi finiti : Sia dato un gruppo G di ordine | G | = n < +∞ , sia inoltre S un sottogruppo di ordine p<n, S= { s1,s2, ….., sp}. Consideriamo la classe x • S che si trovano come : x • S = { x • s1,…….,x • sp }, x ∈ G , per cui i suoi elementi sono ≤ p ( sono pari a p quando i composti sono tutti diversi ). Per la legge di cancellazione x • si = x • sj ↔ si = sj per cui | x • S | = p. Da ciò segue che le classi laterali sono in numero h. Se |G|=n< +∞ e se |S|=p<n allora p divide n cioè n=hp. DEF: Un sottogruppo S di G si dice normale se x • S = S • x ∀ x ∈G. S è normale ↔ x • S = S • x ↔ x • S • x -1 ⊆ S DEF: Si chiamano matrici speciali SL(n,|R) quelle che hanno determinante pari a 1. Si chiamo INSIEME QUOZIENTE GL/SL (GL modulo SL) l’insieme delle classi in cui viene suddiviso GL dalla relazione di equivalenza indotta da SL. MORFISMO DEF: dati due gruppi (G,•) e (G’,*) si definisce Morfismo f : G → G’ l’applicazione tale che: ∀ a,b ∈ G f(a • b)=f(a) * f(b) Proprietà : • Dati gli elementi neutri e ∈G ed e’ ∈G’ si ha : f(e)=e’; • a → f(a) allora a -1 →[f(a)] -1; DEF: si definisce Ker f l’insieme : Ker f = { x∈G / f(x)=e’ } • • Ker f = { e } ↔ f è iniettiva ; Ker f è un sottogruppo normale ; DEF : si definisce Im f l’insieme : Im f = { x’ ∈G’ / ∃ x∈G ; f(x) = x’ } • Im f è sottogruppo di G’; DEF: Sia dato un gruppo G ed un suo sottogruppo S. Consideriamo le classi laterali sx . L’insieme delle classi laterali sinistre si dice insieme quoziente e e si indica con G/S = { x • s } , ∀ x∈G. Si definisce proiezione canonica π l’applicazione : G → G/S x → x • S DEF: Composizione tra classi : ( x • s ) (y • s)=(x • y)• S . 2