Classificazione dei gruppi abeliani finiti.

Lezione 27
Prerequisiti: Gruppi ciclici. Somma diretta di gruppi.
Riferimenti ai testi: [H] Sezione 2.14; [PC] Sezione 5.17.
Classificazione dei gruppi abeliani finiti.
Le strutture dei gruppi abeliani finiti sono classificate dal seguente:
Teorema 27.1 (Teorema di struttura per i gruppi abeliani finiti) Ogni gruppo abeliano finito è
isomorfo alla somma diretta di gruppi ciclici i cui ordini sono potenze di numeri primi.
In altri termini, se G un gruppo abeliano e G = n , allora
s
G ≅ ∏ p ai
i
i =1
dove tutti i numeri pi sono primi (non necessariamente distinti), e gli esponenti ai sono interi
positivi. Uguagliando gli ordini dei gruppi a primo e secondo membro, si deduce che
s
i
n = ∏ pi a .
i =1
Esistono quindi, a meno di isomorfismo, tanti gruppi abeliani di ordine n quanti sono i modi di
decomporre n nel prodotto di potenze di numeri primi: queste decomposizioni si ricavano dalla
fattorizzazione di n raggruppando opportunamente i fattori uguali. In particolare vale il seguente:
Corollario 27.2 Se p è un numero primo, esistono, a meno di isomorfismo, tanti gruppi abeliani di
ordine pn quante sono le partizioni di n.
Esempi 27.3
a) I gruppi abeliani di ordine 8 = 23 sono, a meno di isomorfismo, i seguenti:
8 , 2 × 4 , 2 × 2 × 2.
b) I gruppi abeliani di ordine 72 = 23 ⋅ 32 sono, a meno di isomorfismi, i seguenti:
72 ,
8 × 9 , 2 × 4 × 9 , 2 × 2 × 2 × 9 ,
8 × 3 × 3 , 2 × 4 × 3 × 3 , 2 × 2 × 2 × 3 × 3.
c) A meno di isomorfismo, esiste un unico gruppo abeliano di ordine
se p1 , p2 ,… , ps sono primi distinti:
p1 p2 ps ,
p1 × p2 × × ps .
Questo gruppo è ciclico in base all’Esercizio 4.13
Nota: Si osservi che l’ordine in cui i gruppi compaiono in una somma diretta è irrilevante:
cambiando l’ordine, si ottiene un gruppo isomorfo a quello di partenza.
Rimandiamo ai testi consigliati per la dimostrazione del Teorema 27.1 e per ulteriori
approfondimenti.
L’argomento di questa ultima lezione non è stato scelto a caso: in effetti esso offre un collegamento
con la teoria dei moduli, che viene trattata, in varie forme, nei seguenti corsi del III anno del Corso
di Laurea in Matematica: Istituzioni di Algebra Superiore, Algebra n.3, Algebra Commutativa,
Algebra Superiore. Il Teorema 27.1 è solo un caso particolare di un enunciato più generale: ogni
modulo finitamente generato su di un dominio ad ideali principali è somma diretta di un numero
finito di moduli ciclici. Un gruppo (additivo) abeliano non è altro che un modulo sull’anello .
Per il momento, ci accontentiamo di utilizzare il Teorema 27.1 per studiare le proprietà dei gruppi
abeliani aventi un certo ordine. I prossimi esercizi sono esempi delle infinite possibili applicazioni.
Esercizio 27.4 Determinare, a meno di isomorfismo, un gruppo abeliano di ordine 120 avente
esattamente 3 elementi di ordine 2.
Svolgimento: Si ha la fattorizzazione 120 = 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 . Quindi un gruppo abeliano di ordine 120 è
isomorfo ad uno dei seguenti:
8 × H , 2 × 4 × H , 2 × 2 × 2 × H , dove H = 3 × 5 .
In questi gruppi, gli elementi di ordine 2 sono quelli del sottogruppo
8 , 2 × 4 , 2 × 2 × 2 rispettivamente. L’unico tra questi ad avere esattamente 3 elementi di
ordine 2 è 2 × 4 : tali elementi sono ([1]2 , [0]4 ), ([1]2 , [2]4 ), ([0]2 , [2]4 ) . In 8 , invece, v’è un
solo elemento di ordine 2, [4]8 , mentre in 2 × 2 × 2 gli elementi siffatti sono tutti tranne lo zero
(e quindi sono 7). Quindi il gruppo cercato è isomorfo a
2 × 4 × 3 × 5 .
Esercizio 27.5 Provare che un gruppo abeliano avente come ordine un multiplo di 10 possiede un
sottogruppo ciclico di ordine 10.
Svolgimento: Un gruppo abeliano di ordine divisibile per 10 ha un sottogruppo isomorfo a
2n × 5m per opportuni interi positivi n, m. In base alla Proposizione 12.1, 2n ha un
sottogruppo H di ordine 2, e 5m ha un sottogruppo
K di ordine 5. Allora
sottogruppo di 2n × 5m avente ordine 10, e, in base all’Esercizio 4.13, è ciclico.
H × K è un