Esercizio 1. Sia G un gruppo finito e p un numero primo. Dimostrare

PROVA SCRITTA DI ALGEBRA 2
ANNO ACCADEMICO 2015-2016, 15 LUGLIO 2016
NOME, COGNOME, MATRICOLA, EMAIL DELLO STUDENTE:
Esercizio 1. Sia G un gruppo finito e p un numero primo. Dimostrare che G ha un quoziente di
ordine p se e solo se, per ogni P ∈ Sylp (G), si ha P ∩ G0 6= P (dove G0 indica il sottogruppo derivato
di G).
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Esercizio 2. Sia G un gruppo, e siano a, b elementi di G. Si provino le seguenti conclusioni.
(a) Se (ab)2 = a2 b2 , allora ab = ba.
(b) Se (ab)n = an bn per tre interi n consecutivi, allora ab = ba.
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Esercizio 3. Sia (A, ·) un gruppo abeliano e sia H l’insieme di tutti gli omomorfismi di (Z, +) in
(A, ·).
(a) Si provi che H è un gruppo rispetto all’operazione ? definita da (f ? g)(z) = f (z) · g(z), per ogni
f, g ∈ H e per ogni z ∈ Z.
(b) Si provi che (H, ?) è isomorfo ad A.