PROVA SCRITTA DI ALGEBRA 2 ANNO ACCADEMICO 2015-2016, 24 GIUGNO 2016 NOME, COGNOME, MATRICOLA DELLO STUDENTE: Esercizio 1. Sia X un insieme infinito e, per f ∈ Sym(X), sia fix(f ) = {x ∈ X | f (x) = x}. sia G l’insieme delle permutazioni f ∈ Sym(X) tali che X \ fix(f ) sia finito. Provare che: (a) fix(g −1 f g) = fix(f ) · g (trasformato di fix(f ) mediante g ) per ogni f, g ∈ Sym(X); (b) G è un sottogruppo normale non abeliano di Sym(X); (c) G è infinito, ma ogni f ∈ G ha periodo finito. (d) Sym(X) ha elementi di periodo infinito. 1 2 Esercizio 2. Determinare, a meno di isomorfismi, i gruppi di ordine 175. 3 Esercizio 3. Sia G un gruppo abeliano finito, e sia H un suo sottogruppo tale che |H| sia coprimo con |G : H|: provare che G è ciclico se e solo se lo sono H e G/H . Si dica poi se tale enunciato vale anche per G non abeliano (supponendo H G).