Esercizio 1. Sia X un insieme infinito e, per f ∈ Sym(X), sia fix(f) = {x

PROVA SCRITTA DI ALGEBRA 2
ANNO ACCADEMICO 2015-2016, 24 GIUGNO 2016
NOME, COGNOME, MATRICOLA DELLO STUDENTE:
Esercizio 1. Sia X un insieme infinito e, per f ∈ Sym(X), sia fix(f ) = {x ∈ X | f (x) = x}. sia G
l’insieme delle permutazioni f ∈ Sym(X) tali che X \ fix(f ) sia finito. Provare che:
(a) fix(g −1 f g) = fix(f ) · g (trasformato di fix(f ) mediante g ) per ogni f, g ∈ Sym(X);
(b) G è un sottogruppo normale non abeliano di Sym(X);
(c) G è infinito, ma ogni f ∈ G ha periodo finito.
(d) Sym(X) ha elementi di periodo infinito.
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Esercizio 2. Determinare, a meno di isomorfismi, i gruppi di ordine 175.
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Esercizio 3. Sia G un gruppo abeliano finito, e sia H un suo sottogruppo tale che |H| sia coprimo
con |G : H|: provare che G è ciclico se e solo se lo sono H e G/H . Si dica poi se tale enunciato vale
anche per G non abeliano (supponendo H G).