Funzioni goniometriche documento PDF

Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Funzioni goniometriche
Definizione di angolo
Consideriamo due semirette a , b aventi l’origine O in comune.
Le due semirette individuano due porzioni di piano che sono dette angoli di lati a e b e vertice
O. Si presentano tre casi:
1) a e b non appartengono alla stessa retta
In questo caso abbiamo un angolo convesso  (presi comunque due punti appartenenti all’angolo
il segmento che li unisce appartiene all’angolo) e un angolo concavo  (esistono coppie di punti
appartenenti all’angolo tali che il segmento che li unisce non appartiene all’angolo).
2) a e b appartengono alla stessa retta (ma non coincidono)
In questo caso vengono individuati due angoli uguali (convessi) chiamati angoli piatti.
3) a e b coincidono : in questo caso abbiamo l’angolo nullo (ci sono solo i lati) e l’angolo giro
(tutto il piano).
1
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Misura degli angoli
Gli angoli possono essere misurati in gradi o in radianti.
1
grado =
(angolo giro)
360
radiante = angolo che, tracciata una circonferenza di raggio qualsiasi avente centro nel vertice
dell’angolo, sottende un arco uguale al raggio.
 misura 1 radiante
Da notare che questa definizione non dipende dalla
circonferenza considerata perché se  sottende un
arco uguale al raggio per una data circonferenza,
allora accadrà lo stesso per ogni circonferenza
centrata nel suo vertice.
Misure in gradi
Angolo giro 
Angolo piato 
Angolo retto 
ecc…
360°
180°
90°
Non si usano sottomultipli decimali ma sessagesimali cioè si considera

il primo
 1 
 1' = 
  1° = 60'
 60 
il secondo
 1 
 1' ' =  
 60 
'
 1' = 60' '
Esempio:


1
 90 
1
di angolo retto =   = 22,5° = 22°+   = 22° +
4
 4
2
'
1 
 60  = 22° 30'
2 
Esempio:
'
1

angolo retto  5,625
16
''




 625 
5 
'
60  = 5° 37,5 = 5° 37'  60  = 5° 37' 30' '
= 5° + 
 1000 
 10 




2
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
ESERCIZI
1)
Trasformare in frazioni di grado i seguenti angoli:






a)

30

15° 30' = 15 
60


b)
7
1   10800  420  1   11221 

3° 7' 1' ' =  3 

 =
 =

60 3600  
3600

  3600 

1

 31 
= 15     
2

2

2)



Trasformare in gradi, primi e secondi la seguente frazione di grado:
'


1 
 1201   1200
 1

'
60
=
=
4°
+
= 4° 0,2  = 4° 0,2 60' ' = 4° 12' '


 



 300 
 300   300 300 




Misure in radianti
Per misurare α in radianti traccio una circonferenza di raggio r, con centro il vertice di α e se l è
la lunghezza dell’arco sotteso da α
r 
Quindi:
2r
 2 rad
r
angolo piatto   rad

angolo retto 
rad
2
angolo giro

3
l
rad   (se l  r ritrovo  r = 1 rad )
r
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Relazione tra la misura in gradi e la misura in radianti di un angolo 
Indichiamo con  o
Avremo che
la misura in gradi di un angolo  e con  r la sua misura in radianti.
 ° :  r = 360° : 2 
Questo ci permetterà di determinare  o se conosciamo  r e viceversa.
360
180
= r
2

2

= °
r =  °
360
180
 ° = r
Esercizi
1) Esprimere in radianti le seguenti misure espresse in gradi
a)  ° = 12°
12 : a r  360 : 2
 r = 12


=
180 15
b)  ° = 10° 30'
Trasformo prima in frazione di grado:




30   21 

10° 30' = 10   =  
60   2 



r =
21 
7
=
2 180 120
2) Esprimere in gradi le seguenti misure di angoli espresse in radianti
a)  r = 1 rad
 o : 1  360 : 2   ° = 1
180
(  57,3°)


rad
3

 180
= 60°
 o :  360 : 2   ° =
3
3 
b)  r =
4
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Angoli orientati
Un angolo, oltre che come parte di piano, può essere associato al concetto di rotazione cioè al
movimento che porta uno dei lati dell’angolo a sovrapporsi all’altro.
La rotazione però può essere in verso orario o antiorario.
Possiamo stabilire quale considerare come 1° lato (lato origine della rotazione) e allora avremo un
angolo “orientato”: per convenzione stabilisco di chiamare positivo un angolo orientato se la
rotazione che porta il primo lato sul secondo lato spazzando l’angolo è antioraria , negativo se è
invece una rotazione oraria.

Con la scrittura ab intendiamo che a sia il 1° lato,

Nel nostro esempio ab è un angolo positivo.

Con la scrittura ba intendiamo che il 1° lato sia b .

Nel nostro esempio ba è un angolo negativo.
.
Considerando il concetto di rotazione possiamo avere anche angoli di ampiezza maggiore
dell’angolo giro perché possiamo pensare di ruotare di un certo numero k di giri completi:  e
  2 sono angoli rappresentati dalla stessa parte di piano ma associati a rotazioni diverse
perché nel secondo angolo ho fatto un giro in più.
In generale scrivendo   2k considererò l’angolo associato alla rotazione di ampiezza  più k
giri completi (se k  0 ruoto in senso antiorario, se k  0 in senso orario).
5
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
La circonferenza goniometrica
Possiamo rappresentare gli angoli orientati su una circonferenza che viene detta “circonferenza
goniometrica”.
Fissato un sistema di riferimento (O;x,y) la circonferenza goniometrica è una circonferenza di
centro l’origine e raggio 1.
Possiamo associare ad un angolo orientato  un punto sulla circonferenza goniometrica
riportando il 1° lato dell’angolo sul semiasse positivo delle ascisse: il 2° lato dell’angolo
intersecherà la circonferenza in un punto P che risulterà quindi il punto associato all’angolo  .
Osserviamo che lo stesso punto P sulla circonferenza è associato a più angoli, non solo perché
posso sommare 2k ma anche perché posso ruotare in senso orario o antiorario. Per esempio il

7

7
punto P in figura può rappresentare  ma anche  (oltre che   2k e   2k ).
4
4
4
4
Esercizio: rappresenta gli angoli di 30°, 45°, 60° ecc. sulla circonferenza goniometrica.
6
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Definizione di seno, coseno e tangente di un angolo acuto

Consideriamo un angolo  acuto.
Prendiamo un punto P appartenente ad un lato (vedi figura) e proiettiamo sull’altro lato e sia A la

proiezione. Il triangolo OPA è un triangolo rettangolo.
I) Consideriamo il rapporto
AP
OP
Questo rapporto risulta minore di 1 ed è indipendente dalla scelta del punto P: infatti considerando


un altro punto P’e la sua proiezione A’ il triangolo OP' A' risulta simile al triangolo OPA e quindi
A' P' AP

OP' OP
Questo rapporto viene chiamato seno dell’angolo  ed indicato con la scrittura sen .
Quindi per definizione abbiamo:
def
sen 
AP
OP

Considerando il triangolo rettangolo OPA possiamo dire che :
sen 
cateto.opposto.ad .
ipotenusa
7
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Calcoliamo il seno di qualche angolo.
a)


(45°)
4
Per semplicità possiamo prendere OP  1 .

Poiché il triangolo OPA in questo caso è metà di un quadrato avremo AP 
Quindi
b)
sen

1
2
( OP  AP  2 ).

1

4
2

(30°)
6

Prendiamo sempre OP  1 . Poiché OPA risulta la metà di un triangolo equilatero avremo
1
( OP  2  AP ).
AP 
2
 1
Quindi
sen 
6 2
c)


(60°)
3

Se OP  1 , poiché OPA è la metà di un triangolo equilatero in cui AP è l’altezza, avremo
3
3
( AP  OP 
)
AP 
2
2
Quindi
sen

3

3
2
8
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Nota

In questi esempi abbiamo considerato angoli “particolari” nel senso che nel triangolo OPA siamo
riusciti a determinare AP in funzione di OP sfruttando proprietà geometriche.
In generale per calcolare il seno di un angolo occorre fare una costruzione precisa del triangolo

OPA e misurare AP e OP .
Noi non dovremo comunque fare queste misurazioni perché il valore del seno di un qualsiasi
angolo può essere ricavato da delle “tavole” o, ancora più semplicemente, utilizzando la
calcolatrice.
Basterà indicare la misura dell’angolo (attenzione all’unità di misura utilizzata : DEG sta per gradi
e RAD per radianti)e poi premere il tasto SIN (o viceversa a seconda del tipo di calcolatrice).
Per esempio:
sen31  0,5150...
Naturalmente anche con la calcolatrice ritroveremo per esempio che
sen30  0,5
ecc.
9
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche II) Consideriamo il rapporto
OA
OP
Anche questo rapporto risulta minore di 1 ed è indipendente dalla scelta del punto P (vedi
motivazione data in I)).
Questo rapporto viene chiamato coseno dell’angolo  e indicato con la scrittura cos  .
Quindi abbiamo
def
cos  
OA
OP

e considerando il triangolo rettangolo OPA possiamo dire
cos  
Proviamo a calcolare il coseno di
a)  
cateto.adiacente.ad .
ipotenusa
  
, , .
4 6 3

4
Se prendiamo OP  1 con le stesse considerazioni fatte per il seno avremo che OA 
cos
b)  
2
e quindi

1

4
2

6

Se OP  1 considerando OPA come metà di un triangolo equilatero avremo OA 
cos
c)  
1

3
Se OP  1 avremo OA 

3

6
2
1
e quindi
2
cos
 1

3 2
10
3
e quindi
2
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Osservazione




e cos  sen .
 cos
3
6
3
6
 
Questo dipende chiaramente dal fatto che
e
sono angoli complementari e che quindi il ruolo
3
6
di cateto adiacente e opposto si scambiano portando ad uno scambio dei valori del seno e del
coseno.
Osserviamo che sen
sen
 AP

6 OP
; cos
 AP

3 OP

sen


 cos
6
3
Questo vale naturalmente per tutte le coppie di angoli complementari:
sen 
AP
OP


 sen  cos   
2


 AP
cos    
2
 OP


E’ chiaro che vale anche cos   sen    .
2

Proprio da questa ultima relazione deriva la denominazione di coseno che significa
complementi sinus
cioè seno dell’angolo complementare.
Nota
Per calcolare il coseno di angoli per i quali non si possono utilizzare proprietà geometriche per
determinare OA in funzione di OP valgono le stesse considerazioni fatte per il seno e quindi
utilizzeremo la calcolatrice.
Per esempio: cos 31  0,8571...
11
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
III) Consideriamo infine il rapporto
PA
OA
Questo rapporto, a differenza dei precedenti, può risultare anche un numero molto grande o molto
piccolo in relazione all’angolo  considerato ed è indipendente dalla scelta del punto P per le
stesse motivazioni date in I) e II).
Questo rapporto viene chiamato tangente dell’angolo  e indicato con la scrittura tg , cioè si ha
def
tg 
PA
OA

e considerando il triangolo rettangolo OPA possiamo scrivere
tg 
Calcoliamo la tangente di
a)  

4
Se OP  1 PA  OA 
b)  
2
  
,
, .
4 6 3
 tg

1
4

6
Se OP  1 PA 
c)  
1
catet.opposto.ad .
cateto.adiacente.ad .
1
3

1
, OA 
 tg 
2
2
6
3

3
Se OP  1 PA 
3
1

, OA   tg  3
2
2
3
In generale, per calcolare la tangente di un angolo  , per le stesse considerazioni svolte in I) e II)
useremo la calcolatrice.
E’ importante osservare che
tg 
sen
cos 
12
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Estensione della definizione di seno,coseno e tangente

Osserviamo che se nel triangolo OAP l’ipotenusa OP  1 abbiamo
sen  AP
cos   OA
Questo suggerisce un metodo per estendere la definizione di seno e coseno anche per angoli
  90 .
Riportiamo l’angolo  sulla circonferenza goniometrica e poiché OP  1 avremo:
sen  PH  y P
cos   OH  x P
Diamo allora la seguente definizione di seno e coseno di  :
def
sen  y P
def
cos   x P
dove P è il punto associato all’angolo orientato  sulla circonferenza goniometrica.
Osserviamo che con questa definizione i valori del seno e del coseno di un angolo possono essere
anche negativi, ma che comunque sono numeri compresi tra -1 e 1.
Vediamo meglio come variano i valori di sen e cos  .
13
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Variazione del seno di un angolo
  0  sen  0
0 


 i valori aumentano da 0 a 1
2

 sen  1
2

     i valori diminuiscono da 1 a 0
2
    sen  0
3
      i valori diminuiscono da 0 a -1
2
3
    sen  1
2
3
    2  i valori aumentano da -1 a 0
2
  2  sen  0
sen  yP
Osserviamo che il grafico si ripete ogni 2 cioè la funzione y  senx è periodica di periodo 2 .
14
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Variazione del coseno di un angolo
  0  cos   1
0 


 i valori diminuiscono da 1 a 0
2

 cos   0
2

     i valori diminuiscono da 0 a -1
2
    cos   1
3
      i valori aumentano da -1 a 0
2
3
    cos   0
2
3
    2  i valori aumentano da 0 a 1
2
  2  cos   1
cos  xP
Osserviamo che anche la funzione y  cos x è periodica di periodo 2 .
Osservazione
Il grafico di y  cos x corrisponde a quello di y  senx “traslato” verso sinistra di


dipende dal fatto che , come vedremo, cos   sen    .
2

15

: questo
2
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Tangente di un angolo orientato
Vediamo come possiamo estendere la definizione di tangente data per un angolo  acuto
utilizzando la circonferenza goniometrica
.
Tracciamo la tangente t alla circonferenza goniometrica nel punto A(1;0) e consideriamo il punto
T di intersezione tra t e il prolungamento del 2° lato dell’angolo  .


Osservando i triangoli simili OPH e OAT potremo scrivere
tg 
PH TA

 TA  yT
OH OA
def
Definiamo allora
tg  yT
dove T è il punto di intersezione del prolungamento del 2° lato dell’angolo α con la tangente alla
circonferenza goniometrica nel punto A(1;0).
Naturalmente possiamo anche scrivere che
tg 
sen
cos 

3
 2k e    2k la tangente non è definita (il 2° lato dell’angolo
2
2
non incontra la tangente t ).
Osserviamo che per  
16
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Inoltre osserviamo che  e    avranno la stessa tangente in quanto sono associati allo stesso
punto T.
tg      tg
Questo significa che, considerando la variazione della tangente, i valori si ripeteranno dopo un
periodo di  (e non di 2  come per seno e coseno).
Vediamo come risulta il grafico di y  tgx .
  0  tg  0

0     i valori della tangente aumentano e sono positivi
2

   la tangente non è definita
2

     i valori della tangente sono negativi e aumentano
2
    tg  0

è un asintoto verticale del grafico
2
di y = tgx

( x   k sono gli asintoti verticali del
2
grafico)
x
Quindi la funzione y = tgx è definita per

x   k ed ha periodo  .
2
17
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Osservazione
Osserviamo che la tangente di un angolo α è uguale al coefficiente angolare di una retta per
l’origine che forma un angolo  con il semiasse positivo delle x.
r : y  mx
y
tga   m
x
Esempio: se considero y  2 x ho che tga  2
(se  è acuto  m  0 )
Esempio: se considero y  2 x ho che tg  2
( se  è ottuso  m  0 )
Se la retta non passa per l’origine il suo coefficiente angolare continua ad avere lo stesso
significato.
y  2 x  1 tg  2
18
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Cosecante, secante e cotangente di un angolo
Vengono definite, oltre al seno, coseno e tangente di un angolo  , anche altre tre funzioni
goniometriche:
1
  k 
sen
1



secante  sec  
    k 
cos 
2


cos 
  k 
cotangente  cotg  
sen
cosecante  cosec  
Nota: possiamo ottenere la cotangente di  intersecando il secondo lato dell’angolo con la
tangente della circonferenza goniometrica in (0;1)


Poiché i triangoli OPH e OBQ sono simili abbiamo:
cotg  
cos  OH BQ


 BQ  xQ (ascissa di Q)
sen PH OB
Il grafico di y = cotgx risulta
Infatti se   0 ma è positivo avremmo valori
grandi valori di cotg  ( cos   1 e sen  0 )
mentre se    ed è minore di  avremo valori
molto piccoli perché il coseno sarà negativo e il seno
positivo  0 .
19
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Un po’ di storia delle funzioni goniometriche
Lo studio della trigonometria nasce con gli astronomi della scuola di Alessandria di Egitto ed
infatti la prima ad essere sviluppata fu la trigonometria sferica cioè lo studio dei triangoli sferici
(tracciati sulla superficie di una sfera e i cui lati sono archi di cerchio).
Il fondatore della trigonometria è considerato Ipparco da Rodi (II sec a.C.) che visse ad
Alessandria ma la maggior parte delle notizie sui metodi trigonometrici alessandrini ci vengono
dal massimo astronomo dell’antichità, Tolomeo (II sec d.C.) che scrisse “Composizione
matematica” mutata poi in “Grande Composizione” e chiamata infine Almagesto (nome arabo che
deriva dal greco  , il massimo) in cui pose le basi della teoria astronomica.
La differenza fondamentale tra la trigonometria antica e quella moderna è che al posto della
definizione
sen  y P
la trigonometria alessandrina usava questa definizione
c   PQ (corda sottesa dall’angolo α)

(praticamente PQ  2 sen
)
2
Seguendo la tradizione babilonese, gli alessandrini dividevano la semicirconferenza in 180 parti
uguali, i gradi, e il suo diametro in 120 e così per esempio la corda di un angolo di 60° è 60.
20
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
AB  120
c60  AP  60
AP  AO  OP 
E’ chiaro che così facendo l’unità di misura degli archi è diversa dall’unità di misura delle corde

perché se AB  120 dovremmo avere AB    60 e quindi avremo la stessa unità di misura solo
se consideriamo   3 .
Nel 1° libro dell’Almagesto di Tolomeo troviamo una “tavola delle corde” che procede di mezzo
grado in mezzo grado da 1° a 180°. Per ottenerla Tolomeo ricavò il cosiddetto “teorema di
Tolomeo”* da cui dedusse la relazione per trovare la corda dell’angolo differenza    e la

corda dell’angolo
: in questo modo dalla corda di 60° e 72° trova per differenza la corda di 12°
2
e poi, per successivi dimezzamenti c(6°), c(3°), c(1° 30' ) e poi ottiene un’approssimazione della
corda di 1°.
*Teorema di Tolomeo: in un quadrilatero iscritto in un cerchio il prodotto delle diagonali è uguale
alla somma dei prodotti dei lati opposti.
AC  BD  AB  CD  AD  BC

Se applichiamo questo teorema quando AD è un diametro abbiamo che (ponendo AB   e

AC   )
c(  )  c180     c   c(180   )  120  c(    )
da cui si ricava c   
21
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Il seno come lo definiamo attualmente fu introdotto in India e furono calcolati i seni degli angoli
(tavola dei seni) intorno al V sec. d.C.
Inoltre gli astronomi indiani introdussero anche il coseno definito come seno dell’angolo
complementare e la tangente definita come l’ombra che un’asta, infissa perpendicolarmente su un
muro verticale (gnomone) e di lunghezza 1, proietta sul muro per una data altezza del sole
sull’orizzonte (angolo  ) (si tradusse in latino con “umbra versa”*). Il termine tangente fu
introdotto solo nel 1600.
AC  1
AB  tg
* La cotangente (tangente dell’angolo complementare) era definita come l’ombra proiettata da un
orologio orizzontale (“umbra recta”)
AB  cotg 
22
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Relazioni fondamentali tra senα, cosα e tgα
1.Osservando la circonferenza goniometrica ed applicando il teorema di Pitagora si ha subito che
2
2
PH  OH  OP
sen 2  cos  2
2
1
Per convenzione sen  si scrive sen 2 e quindi scriveremo
2
sen 2  cos 2   1
(1° relazione fondamentale)
2.Avevamo già osservato più volte che
tg 
sen
cos 
(2° relazione fondamentale)
Utilizzando queste relazioni è possibile, conoscendo una funzione goniometrica dell’angolo  ,
ricavare le altre due supponendo però di sapere in quale “quadrante” si trova l’angolo.
23
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche Esempi
a. Se sen 
1

e
    determinare cos  e tg .
3
2
1
:
3
questa individua sulla circonferenza goniometrica due punti e noi dovremo considerare quello del

2° quadrante poiché sappiamo che     .
2
Osserviamo che per individuare graficamente l’angolo  possiamo tracciare la retta y 
Quindi dalla 1° relazione avremo:
cos 2   1  sen 2
e nel nostro caso ,essendo il coseno negativo, abbiamo
1
2
cos    1  sen 2   1   
2
9
3
Poi dalla 2° relazione abbiamo
1
sen
1
tg 
 3 
cos   2 2
2 2
3
24
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche b. Se cos  
3
3
e     2 determina sen e
5
2
tg .
Possiamo intersecare la circonferenza goniometrica con la
3
retta x  per individuare graficamente  .
5
Osserviamo che il seno di  risulta negativo.
4
4
tg  5  
3
3
5

sen    1  cos 2    1 
c. Se tg  2 e

 
2
9
4

25
5
determina sen e cos  .
Possiamo ricavare graficamente  considerando la tangente t
e su di essa il punto T di ordinata -2: tracciando la retta OT
otteniamo i punti associati sulla circonferenza goniometrica
In questo caso dobbiamo risolvere un sistema dove utilizziamo insieme le relazioni fondamentali:
 sen
 2

 cos 
sen 2  cos 2   1

2

sen   5


cos    1
5

sen  2 cos 

1

2
2
2
4 cos   cos   1  5 cos   1  cos    5

25
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
NOTA: possiamo ricavare una relazione tra sen e tg , cos  e tg in modo da non essere
costretti a risolvere il sistema precedente. Infatti possiamo scrivere:
sen 2 
sen 2
sen 2
tg 2


1
sen 2  cos 2  tg 2  1
sen 2 
cioè
(abbiamo diviso num. e denom. per cos 2  )
tg 2
tg 2  1
e analogamente
cos 2  
cioè
cos 2 
cos 2 
1

 2
2
2
1
sen   cos  tg   1
cos 2  
(abbiamo diviso num. e denom. per cos 2  )
1
tg   1
2
Per esempio nell’esercizio c. avremo potuto procedere così:
sen 2 
cos 2  
 2 2  4  sen 
 2 2  1 5
1
 2 
2
1

2
5
1
1
 cos   
5
5


   
2

26
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Esercizi
Determina le rimanenti funzioni goniometriche dell’angolo 
circonferenza:
1) sen 
1
4

 
2
2) cos  
1
4
3
    2
2
3) tg 
1
4
3
   
2
4) sen  
3
5
3
   
2
5) cos   
4
5

 
2

 
2
6) tg  3

2
7) sen 
1
5
0 
8) cos  
2
5
3
    2
2
9) tg  
1
2
3
    2
2
10) sen  
2
3
3
    2
2
27
e rappresenta 
sulla
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Angoli associati
Dalla conoscenza delle funzioni goniometriche di un angolo  si possono ricavare informazioni
sulle funzioni goniometriche di altri angoli, detti “angoli associati” ad  .
Osserviamo la seguente figura:
Consideriamo i punti Q, R, S simmetrici di P (rispetto all’asse y, all’origine e all’asse x).
Se P è il punto della circonferenza goniometrica che rappresenta  si dimostra facilmente che:
Q  
R  
S  2   (oppure   )
Questi angoli si dicono “angoli associati” ad  .
Quindi, ricordando la definizione di seno (y) e coseno(x), avremo:
sen     sen

cos      cos 
sen      sen

cos      cos 
sen2      sen

cos2     cos 
sen      sen
cos     cos 
Di conseguenza
tg      tg
tg      tg
tg 2     tg
tg     tg
28
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Consideriamo per esempio gli angoli associati a

:
4
3
1
3
1
, cos   
sen  
4
4
2
2
 
Vediamo gli angoli associati a
e :
6
3
Abbiamo quindi
7
5
Esercizio: calcola: sen  , tg  ecc…
6
3
Ci sono anche altri 2 angoli associati ad  :
ecc…

  (angolo complementare di  ) e
2

 .
2
P 

Q  
2


I triangoli OPH e OQK sono uguali poiché sono


triangoli rettangoli , OQ  OP  1 e HOP    OQK
quindi
 

sen 2     cos 
 

(come avevamo già osservato)

cos      sen
  2

29
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Vediamo

 :
2
P 

Q  
2


I triangoli OPH e OQK sono uguali
( OP  OQ  1 triangoli rettangoli e


POH    OQK ) e quindi, considerando
i segni:
 

sen 2     y Q  x P  cos 
 


cos      x   y   sen
Q
P
  2

Di conseguenza:


sen   


2
  cos   cot g
tg     
2
 cos     sen


2



sen   


2
   cos    cot g
tg     
sen
2
 cos    


2

30
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Esercizi
1)
Calcolare le seguenti espressioni:
7
2
3
5
4
5
a. cos   tg   sen   tg   sen   tg 
6
3
4
6
3
3
2)
1 
 1
 2  3 


3
2
11
5
b. tg   sen   cos   tg 
4
3
6
4
0
7
5
5
11
c. tg   cos   sen   tg 
6
3
6
6
0
Sviluppa le seguenti espressioni:




a. tg      sen    cos     cos     tg 2     cos   
2

2

 1

 tg  tg 






b. sen     cos    sen     cos   
2

2







c. cos     sen     tg      sen     cos   
2

2

2



d. tg      sen     sen2   
2



e. tg      cos2     sen   
2

31
1
 1 
 tg 


0
tg 
Progetto Matematica in Rete
- Funzioni goniometriche -
Esercizi di ricapitolazione
1) Ricava le rimanenti funzioni goniometriche di  ,determina graficamente  nella
circonferenza goniometrica e calcolane il valore approssimato usando la calcolatrice:
a) sen 

  <
2
1
5
b) cos   
c) tg  
1
4
3
2
3
   
2
3
    2
2
2) Sviluppa le seguenti espressioni:
7
2
3
5
4
7
4
a) cos   tg   sen   tg   sen   cos   tg 
6
3
4
6
3
4
3
b) cos(   )  tg (


  )  sen( )  cos(   )  cos(   )  tg (2   )
2
2
3) Verifica la seguente identità:
sen(


  ) cos( )  sen(   ) cos(   )
tg (   )
2
2


2( sen 2  cos 2  )
tg (   )  cot g ( )
2
Soluzioni
1) a) cos   
2
1
6 ; tg  
5
2 6
15
; tg  15
4
3
2
c) sen  
; cos  
13
13
b) sen  
2) a) 
1
3
b) tg  cot g
32