Corso di laurea in Scienze Motorie
Corso di Statistica
Docente: Dott.ssa Immacolata
Scancarello
Lezione 14: Analisi della varianza (ANOVA)
1
Analisi della varianza
Analisi della varianza
(ANOVA)
ANOVA ad
un solo fattore
ANOVA a
due fattori
Test sulla varianza (2-Variances)
Si utilizza questo test per verificare se due campioni dimostrano o
meno di avere le stessa varianza.
2
L’analisi della varianza
• Consente la valutazione di differenze fra i valori medi per due o più
trattamenti (o popolazioni)
• Differenza rispetto al test t
– Possibilità di confrontare più di due trattamenti
– Si vuole confrontare l’effetto di un nuovo farmaco nella cure della
depressione rispetto a un farmaco standard tenendo conto che i
pazienti provengono da ospedali diversi e quindi l’azione
congiunta farmaco-ospedale può influenzare l’esito della cura
ANOVA a più fattori
3
Definizioni
•
•
•
•
Variabile indipendente: una variabile che il ricercatore sottopone a
manipolazione sperimentale
Variabile quasi-indipendente: una variabile utilizzata per distinguere fra
diversi gruppi di risultati
Variabile dipendente: una variabile il cui valore è determinato da quello dei
fattori
Nell’analisi della varianza le variabili indipendenti e quasi-indipendenti si
chiamano fattori
ANOVA valuta l’effetto dei fattori sulla variabile dipendente
4
ANOVA a un solo fattore:
misure indipendenti
Con ANOVA si confrontano due stime indipendenti della
varianza (test F).
Sia µ la media della variabile dipendente e siano µ1, µ2,
..., µk le medie delle popolazioni delle variabili dipendenti
misurate nei trattamenti indipendenti.
H0: µ1= µ2 =…= µk
H1: almeno due medie µi e µj delle popolazioni dei
trattamenti sono fra loro diverse
5
Il rapporto F
Il rapporto F e il test t restituiscono le stesse informazioni:
una forte differenza fra le medie (una elevata varianza) è
indice della presenza di una differenza significativa
test t: differenza fra due medie
≠
rapporto F: varianza di due o più medie
F=
varianza delle medie
varianza ipotizzata
6
Il rapporto F con misure
indipendenti
• F ~ 1 Il trattamento
non ha alcun effetto
• F ≠ 1 Il trattamento ha
un effetto significativo
F=
=
varianza fra i campioni
varianza all' interno dei campioni
varianzatrattamento + varianzacasuale
varianzacasuale
Se il trattamento non ha effetto
F=
0 + varianzacasuale varianzacasuale
=
=1
varianzacasuale
varianzacasuale
7
Procedura di ANOVA
Passo 1: Si calcolano le deviazioni quadratiche su
– Popolazione
– Tra campioni
– All’interno dei campioni
Passo 2: Si individuano i gradi di liberta
Passo 3: Si calcola la varianza
Passo 4: Si calcola il rapporto F
Passo 5: La decisione
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Passo 1: deviazioni quadratiche
Trattamento 1
Media
Trattamento 2
Trattamento 3
DATO01
DATO 06
DATO 11
DATO02
DATO 07
DATO 12
DATO03
DATO 08
DATO 13
DATO04
DATO 09
DATO 14
DATO05
DATO 10
DATO 15
MEDIA 1
MEDIA 2
MEDIA 3
Si calcola il totale delle
deviazioni quadratiche per
l’intera popolazione
Media totale
dei 15 dati
15
dev.q totale = ∑ (Dato i - Media totale) 2
i =1
Si calcola la somma delle
deviazioni quadratiche per
ciascun campione
dev.q int = ∑ ∑ (Dato j - Media i) 2
Il valore per le deviazioni
quadratiche fra campioni si
calcola come la differenza fra
dev.qtotale e dev.qall’interno dei
dev.q totale = dev.q fra + dev.q int
3
5
i =1 j =1
dev.q fra = dev.q totale − dev.q int
campioni
9
Passo 1: deviazioni quadratiche
Trattamento 1
Media
Si calcola il totale delle
deviazioni quadratiche per
l’intera popolazione
Si calcola la somma delle
deviazioni quadratiche per
ciascun campione
Il valore per le deviazioni
quadratiche fra campioni si
calcola come la differenza fra
dev.qtotale e dev.qall’interno dei
campioni
Trattamento 2
Trattamento 3
1
2
2
3
1
2
3
1
4
2
0
0
1
1
7
2
1
3
Somma delle deviazioni
quadratiche = 44
dev.q Tr.1
4
dev.q Tr.2
2
dev.q Tr.3
28
SOMMA
34
dev.q totale = dev.q fra + dev.q int
dev.q fra = dev.q totale − dev.q int
dev.q fra = 44 − 34 = 10
10
Passo 2: gradi di libertà
• gdltotale=N-1=15-1=14
Media
Trattamento 1
Trattamento 2
Trattamento 3
1
2
2
3
1
2
3
1
4
2
0
0
1
1
2
2
1
2
• gdlint=gdlTr.1+gdlTr.2+gdlTr.3
=4+4+4=12
• gdlfra = gdltotale-gdlinterno
=14-12=2
11
Passi 3-4: varianza e rapporto F
Media
Trattamento 1
Trattamento 2
Trattamento 3
1
2
2
3
1
2
3
1
4
2
0
0
1
1
2
2
1
2
Osservazione
Il rapporto F è un rapporto fra
due varianze (sempre
positive)
Il valore di F è sempre
positivo
Formula di riferimento
dev.q
varianza =
gdl
varianzafra =
dev.q fra 5
= = 2,5
2
gdl fra
varianzainterno =
dev.q interno 39
=
= 3,25
12
gdl interno
varianzafra
2,5
F=
=
= 0,77
varianzaint 3,25
12
Passo 5: la decisione
Anche per il rapporto F si confronta il valore calcolato con la
distribuzione statistica
Media
Trattamento 1
Trattamento 2
Trattamento 3
1
2
2
3
1
2
3
1
4
2
0
0
1
1
2
2
1
2
1.
2.
3.
F=0,77
Fcrit=3,89 per α=0,05,
gdlint=12, gdlfra =2
Si accetta l’ipotesi nulla
L’analisi della varianza non dimostra dunque una differenza significativa:
F(2,14)=0,77
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Validità di ANOVA
(ad un solo fattore)
• Occorre assumere che la popolazione sia distribuita
normalmente
• Osservazioni indipendenti
• I campioni devono avere la stessa varianza
14
ANOVA a due fattori
I fenomeni realmente osservati sono il risultato
dell’interazione fra più fattori
In questo contesto, si analizza il modello a due fattori che
studia quanta parte della varianza dipenda dal primo
fattore, dal secondo fattore (effetti principali) e dalla loro
interazione
15
ANOVA a due fattori
Un primo passo è lo studio degli effetti principali.
– Analisi della varianza per il fattore A
– Analisi della varianza per il fattore B
Un secondo passo è lo studio della presenza o
meno di effetti dovuti all’interazione tra i due fattori
– Presenza di interazioni. Il fattore A esercita il suo
effetto solo in presenza del fattore B
– Assenza di interazioni. I fattori A e B esercitano il
loro effetto in modo autonomo uno dall’altro.
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Formulazione delle ipotesi H0 e H1
• H0: tutti i valori osservati possono essere
spiegati in termini degli effetti principali
• H1: esiste almeno un valore che non può
essere spiegato solo in termini di effetti
principali
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Processo decisionale
1.
2.
3.
Analisi della varianza per effetto A
Analisi della varianza per effetto B
Analisi della varianza per interazione degli effetti A e B
Decisione
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Condizioni di validità per
l’ANOVA a due fattori
• Occorre assumere che la popolazione sia distribuita
normalmente
• Osservazioni indipendenti
• I campioni devono avere la stessa varianza
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