Concetti base di probabilità - Servizio di Hosting di Roma Tre

Concetti base di probabilità
Premessa
La variabilità connessa ai processi ed ai fenomeni di interesse dell’ingegnere civile
e dell’esperto in sicurezza stradale è dovuta ad una molteplicità di fattori
Spesso non disponiamo di modelli fisico matematici interpretativi sufficientemente
affidabili ovvero, talvolta, pur disponendo di modelli affidabili, la soluzione analitica
o numerica risulta troppo onerosa o impossibile
In questo senso, per “convenienza intellettuale”, si preferisce associare
all’accadimento di un evento possibile un grado di fiducia: la probabilità
La probabilità è dunque un numero compreso tra 0 e 1 che esprime il grado di
fiducia che si associa all’accadimento di un evento possibile (o impossibile p = 0)
Il valore di probabilità p pari ad 1 è associato all’evento certo
Il valore della probabilità deriva da un esperimento concettuale o reale in cui si
contano le na realizzazioni di un evento specifico A rispetto a tutte le realizzazioni n
La probabilità p è data dal rapporto p = na / n
ESEMPIO 2.1
Sul concetto di probabilità a posteriori
Si voglia studiare la probabilità che in un evento incidentale lungo una specifica
tratta stradale si verifichi la perdita di vite umane.
Se lungo la tratta si sono verificati nel periodo di osservazione 66 eventi incidentali
e solo in un caso si è verificata la perdita di vite umane la probabilità che ne deriva
è pari a
p = 1 / 66 ~ 0.015
E’ quindi possibile associare all’evento un livello di fiducia pari a 1.5 %.
ESEMPIO 2.2
Sul concetto di probabilità a priori
Si voglia stimare la probabilità che in un veicolo omologato per 5 posti siano presenti
due persone.
I campioni possibili derivati da un esperimento concettuale sono 5 e corrispondono
alla presenza di 1, 2, 3, 4 o 5 persone nel veicolo.
Nell’ipotesi che ciascun campione sia ugualmente probabile, la probabilità è pari a:
p = 1 / 5 ~ 0.200
E’ quindi possibile associare all’evento un livello di fiducia pari al 20.0 %.
Si definisce spazio dei campioni o spazio campionario (Ω) l’insieme di tutti i
possibili eventi generabili da un esperimento concettuale o reale
Un evento (A) è un sottoinsieme possibile o impossibile dello spazio campionario
Lo spazio campionario (eventi possibili) è un sottoinsieme dello spazio degli eventi
A (eventi possibili e impossibili)
ESEMPIO 2.3
Sullo spazio campionario
Si voglia studiare la gravità connessa ad un evento incidentale. E’ necessario
conoscere il numero di persone presenti in un veicolo.
Si definisca conseguentemente lo spazio campionario Ω.
Lo spazio campionario può ad esempio essere così definito:
campione a: è presente un solo individuo
campione b: sono presenti 2 individui
campione c: sono presenti da 3 a 4 individui
campione d: sono presenti da 5 a 8 individui
campione e: sono presenti più di 8 individui
Sullo spazio degli eventi
ESEMPIO 2.4
Con riferimento ad una specifica tratta stradale si è osservato che le condizioni di
maggiore rischio risultano quando la densità veicolare N/C è inferiore a 0.33
(aumentano le velocità e quindi la gravità dell’incidente per velocità inadeguate) e
quando N/C è maggiore di 0.75 (crescono le interferenze veicolari e quindi la
probabilità di incidente tra veicoli).
Si voglia quindi definire lo spazio degli eventi A
Gli eventi sono dati dalla combinazione dei tre campioni (che nel caso di specie
sono mutuamente incompatibili e le loro combinazioni danno luogo ad eventi
impossibili)
A1 = [ N/C > 0.75 ] ; A2 = [ 0.33 ≤ N/C ≤ 0.75 ] ; A3 = [ N/C < 0.33 ]
A = {A1; A2 ; A3 ; A1+A2 ; A1+ A3 ; A2+ A3 ; A1+ A2 + A3 }
L’intersezione tra eventi
L’intersezione tra due eventi rappresenta un terzo evento comune ai due.
Sia A l’evento caratterizzato dal seguente accadimento [a,b], sia B l’evento [b,c].
L’intersezione tra A e B è un evento C dato da [b].
L’intersezione viene indicata con i simboli del prodotto algebrico o con il simbolo ∩
Per cui scriveremo A B = C ovvero A ∩ B = C
L’unione di eventi
L’unione di due eventi è un evento composto dall’accadimento di entrambi.
Sia A l’evento caratterizzato dal seguente accadimento [a,b], sia B l’evento [b,c].
L’unione tra A e B è un evento D dato da [a,b,c].
L’unione viene indicata con i simboli della somma algebrica o con il simbolo U
Per cui scriveremo A + B = D ovvero A U B = D
L’evento nullo – l’intersezione tra eventi mutuamente escludenti
L’evento nullo è dato dall’intersezione di due eventi che mutuamente si escludono
e quindi la concomitante realizzazione risulta impossibile.
Con riferimento all’esempio 2.3, lo spazio campionario risulta composto di eventi
mutuamente escludenti, quindi da qualunque intersezione tra i campioni risulta un
evento nullo.
La proprietà associativa e la proprietà distributiva
L’intersezione e l’unione di eventi sono operatori che godono delle proprietà
distributive ed associative.
Quindi si può scrivere ad esempio:
(A + B) + C = A + (B + C)
(A U B) U C = A U (B U C)
(AB)C = A(BC)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
e anche:
(A + B)C = AC + BC
(A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C)
(AB) + C = (A + C) (B + C)
(A ∩ B) U C = (A U C) ∩ (B U C)
A scopo rappresentativo e per meglio chiarire i concetti di base è utile riferirsi alla
rappresentazione grafica di Venn: il diagramma di Venn e lo spazio degli eventi
(possibili e impossibili)
Il diagramma di Venn, utilizzando una rappresentazione comune nell’insiemistica,
associa al singolo evento un’area all’interno del dominio dei campioni
L’area in genere ha una dimensione superficiale proporzionale alla probabilità di
accadimento del singolo evento
Utilizzando il diagramma di Venn si possono illustrare con maggiore chiarezza i
concetti di unione, intersezione, proprietà associativa e distributiva
Sul diagramma di Venn
ESEMPIO 2.1
A
Ω
C
A
A+B
C
B
B
AB
C
(AB)C=A(BC)
AB+C=
(A+C)(B+C)
Sul diagramma di Venn
ESEMPIO 2.2
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A3 A4
A3 A4
A3 A4
A3 A4
A3 A4
A3 A4
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A3 A4
A3 A4
A3 A4
A3 A4
A3 A4
A3 A4
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A1 A2
A3 A4
A3 A4
A3 A4
A3 A4
ESEMPIO 2.3
Sul diagramma di Venn
Si voglia utilizzare il diagramma di Venn per valutare le conseguenze dello svio di
un veicolo stradale.
Uno svio può avere i soli due seguenti esiti:
a il veicolo è reimmesso in carreggiata dalla barriera
b il veicolo esce di strada
a
a
b
b
b
Ω
a
b
IMP
OS
S
a
IMP
OS
S
Utilizzando il diagramma di Venn si hanno i seguenti eventi possibili ed impossibili
ESEMPIO 2.4_1
Sempre sul diagramma di Venn
Si voglia utilizzare il diagramma di Venn per valutare le possibili conseguenze di un
evento incidentale.
Un incidente può avere i seguenti esiti:
A1
A2
A3
A4
nessun danno
danni alle cose
danni alle persone
morti
Utilizzando il diagramma di Venn si rappresentano i diversi eventi
Sul diagramma di Venn
ESEMPIO 2.4_2
A4
Ω
A3
Spazio degli eventi
Danni alle persone e morti
A2
A1
A3
Nessun danno
A2
Danni alle persone e alle cose
A2
A4
A3
Danni alle cose
Danni alle persone, alle cose e morti
La misura della probabilità
Abbiamo detto che il valore della probabilità deriva da un esperimento concettuale o
reale in cui si contano le na realizzazioni di un evento specifico A rispetto a tutte le
realizzazioni n
La probabilità p è data dal rapporto p = na / n
ESEMPIO 2.5
Sul calcolo della probabilità
Con riferimento all’esempio 1.7 si valuti la probabilità che dopo un anno la
permeabilità della pavimentazione sia inferiore a 0.30 l/s
misure di laboratorio [l/s]
misure su strada [l/s]
misure su strada ad 1 anno [l/s]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.53
0.60
0.55
0.61
0.62
0.55
0.58
0.49
0.49
0.59
0.55
0.66
0.72
0.77
0.59
0.81
0.78
0.67
0.52
0.80
0.44
0.34
0.40
0.51
0.22
0.09
0.32
0.41
0.23
0.48
Media
0.56
0.69
0.34
p = 3 / 10 = 0.30 = 30 %
Sul calcolo della probabilità
ESEMPIO 2.6
Con riferimento all’esempio 1.3 si valuti la probabilità che la velocità dei veicoli sia
superiore al limite localmente imposto pari 70 km/h
classi
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
90-95
95-100
frequenze
0
0
0
0
0
4
2
2
2
6
2
10
4
22
20
12
8
2
4
0
p = (20+12+8+2+4) / 100 = 0.46 = 46 %
Gli assiomi della teoria della probabilità
Pr[A] ≥ 0 per ogni A appartenente ad A
Pr [Ω] = 1
Se A1 e A2 appartengono ad A e se A1A2 = 0 allora Pr [A1+ A2] = Pr [A1] + Pr [A2]
ESEMPIO 2.7
Sugli assiomi della teoria della probabilità
Si considerino 15 anni di osservazione di incidenti su una tratta stradale omogenea,
come riportati in tabella
Si considerino i seguenti eventi mutuamente esclusivi e costituenti una partizione
dello spazio
anno
n° incidenti
A1
A2
A3
A4
meno di 5 incidenti
da 5 a 9 incidenti
da 10 a 19 incidenti
da 20 incidenti in su
p (A1)
p (A2)
p (A3)
p (A4)
= 0 / 15
= 5 / 15
= 7 / 15
= 3 / 15
= 0.00
= 0.33
= 0.47
= 0.20
Dai valori numerici è possibile verificare i 3 assiomi citati
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
5
7
6
9
8
14
13
12
17
21
14
19
21
18
22
Gli assiomi della teoria della probabilità
Le regole dell’addizione (unione)
Pr [A1+ A2+…+ An] = Pr [A1] + Pr [A2]+…+ Pr [An] se AiAj = 0
La probabilità dell’evento complementare
Pr [AC] = 1 – Pr [A]
La somma delle probabilità di due eventi
Pr [A1+ A2] = Pr [A1] + Pr [A2] – Pr [A1 A2]
La disuguaglianza di Boole
Pr [A1+ A2] ≤ Pr [A1] + Pr [A2]
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.8
Si consideri una infrastruttura stradale primaria e si voglia valutare la probabilità di
una interruzione di servizio a causa di uno di due eventi naturali temuti di origine
sismica ed idrologica.
L’infrastruttura si sviluppa infatti in zona sismica e attraversa una valle fluviale
soggetta ad esondazione.
Si valuti la probabilità del sisma con intensità critica pari a Pr [A] = 0.01
Si valuti la probabilità dell’alluvione pari a Pr [B] = 0.04
Si voglia valutare la probabilità dell’evento combinato A + B
Pr [A + B] = Pr [A] + Pr [B] – Pr [A B]
Considerando che l’accadimento dei due eventi simultaneamente è molto poco
probabile (e quindi ritenendoli indipendenti) si può scrivere ragionevolmente
Pr [A + B] ~ Pr [A] + Pr [B] = 0.01 + 0.04 = 0.05
Sugli assiomi della teoria della probabilità
Con riferimento all’esempio 1.3 si considerino i due eventi possibili:
A
40 km/h ≤ V ≤ 60 km/h e
B
50 km/h ≤ V ≤ 80 km/h
Pr [A] = 20 / 100 = 0.20
Pr [B] = 70 / 100 = 0.70
Pr [AB] = 12 / 100 = 0.12
Pr [A + B] = Pr [A] + Pr [B] – Pr [AB] = 0.20 + 0.70 – 0.12 = 0.78
Infatti
Pr [A + B] = 78 / 100 = 0.78
ESEMPIO 2.9
classi
0-5
5-10
10-15
15-20
20-25
25-30
30-35
35-40
40-45
45-50
50-55
55-60
60-65
65-70
70-75
75-80
80-85
85-90
90-95
95-100
frequenze
0
0
0
0
0
4
2
2
2
6
2
10
4
22
20
12
8
2
4
0
Gli assiomi della teoria della probabilità
La probabilità condizionata e le regole della moltiplicazione (intersezione)
Se A e B sono due eventi appartenenti allo spazio campionario Ω, la probabilità
dell’evento A assunto che l’evento B si sia verificato si dice probabilità condizionata
Pr [ A | B ] = Pr [ AB ] / Pr [ B ]
Dalla precedente si può ricavare
Pr [ AB ] = Pr [ A | B ] Pr [ B ] = Pr [ B | A ] Pr [ A ]
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.10_1
Si assumano i risultati in tabella di prove su campioni Marshall di permeabilità e rigidezza.
Si voglia valutare la probabilità di avere, con la miscela in esame, un provino con
permeabilità compresa tra 3.6 10-4 e 4.1 10-4 m/s (evento B), assunto che il provino abbia
rigidezza compresa tra 3.5 e 4.1 KN/mm (evento A), estremi esclusi
Rigidezza [kN/mm]
Permeabilità [m/s]
3
3.4
3.7
3
3.9
4.2
4.6
4
4
4.1
3.8
3.9
3.1
3.5
4.1
4.6
3.9
4.2
3.3
3.8
0.00043
0.0004
0.00032
0.00033
0.00038
0.00039
0.00045
0.00042
0.00034
0.00033
0.00037
0.00046
0.00043
0.0004
0.00041
0.00031
0.00037
0.00038
0.00035
0.00041
A 3.5 < R < 4.1 kN/mm
B 3.6 10-4 < R < 4.1 10-4 m/s
AB
x
x
x
x
x
X
x
X
x
x
x
x
x
x
x
x
x
X
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.10_2
Essendo A e B due eventi appartenenti allo spazio campionario Ω, la
probabilità dell’evento A assunto che l’evento B si sia verificato si dice
probabilità condizionata
Pr [ B | A ] = Pr [ AB ] / Pr [ A ]
Per cui essendo nel caso di specie
Pr [ A ] = 8 / 20 = 0.40
e
Pr [ AB ] = 3 / 20 = 0.15 ne deriva
Pr [ B | A ] = 0.15 / 0.40 = 0.375
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.10_3
0.00048
0.00046
0.00044
0.00042
0.0004
0.00038
0.00036
0.00034
0.00032
0.0003
2.5
3
3.5
4
4.5
5
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.11
Considerato che una sovrastruttura stradale può manifestare fenomeni critici di degrado a
seguito di cedimento strutturale degli strati portanti (evento A) o sovraccarico
conseguente ad un non corretto dimensionamento (evento B), note le probabilità dei
singoli eventi (Pr [ A ] = 0.012 ; Pr [ B ] = 0.008) e nota la probabilità condizionata che il
degrado si manifesti per un cedimento strutturale nel caso in cui ci sia stato un
sottodimensionamento (Pr [ A | B ] = 0.2), si voglia valutare la probabilità di
manifestazione del degrado.
Pr [ A + B ] = Pr [ A ] + Pr [ B ] – Pr [ AB ]
Essendo
Pr [ AB ] = Pr [ A | B ] Pr [ B ] = Pr [ B | A ] Pr [ A ]
Si ha
Pr [ A + B ] = Pr [ A ] + Pr [ B ] – Pr [ A | B ] Pr [ B ] =
= 0.012 + 0.008 – 0.2 x 0.008
= 0.0184
Gli assiomi della teoria della probabilità
La dipendenza stocastica
Due eventi si dicono stocasticamente indipendenti se la probabilità condizionata di uno
è uguale alla sua probabilità marginale o la probabilità dell’unione è pari al prodotto
delle probabilità marginali
Pr [ A | B ] = Pr [ A ]
Pr [ A + B ] = Pr [ A ] Pr [ A ]
Quindi A B = 0
Pr [ B | A ] = Pr [ B ]
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.13
Si consideri l’esempio 2.10 e si valuti la dipendenza stocastica tra i due eventi A & B
Pr [ A ] = 8 / 20 = 0.40
Pr [ B ] = 7 / 20 = 0.35
Pr [ AB ] = 3 / 20 = 0.15
ne deriva che i due eventi possono essere ragionevolmente considerati
stocasticamente indipendenti, infatti:
Pr [ B | A ] = 0.15 / 0.40 = 0.375
Pr [ A | B ] = 0.15 / 0.35 = 0.429
Gli assiomi della teoria della probabilità
Probabilità totale e teoremi di Bayes
Si consideri una partizione Bi di W (Bi mutuamente esclusivi e collettivamente esaustivi)
Pr [ A ] = Pr [ AB1 ] + Pr [ AB2 ] + … + Pr [ ABn ]
B1
B2
A
B3
Espandendo ciascun termine si ottiene l’espressione del teorema di Bayes o della
probabilità totale
Pr [ A ] =
Σ
i=1,n
Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ]
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.14_1
Con riferimento all’esempio 2.7 si considerino i seguenti eventi mutuamente esclusivi e
costituenti una partizione dello spazio
A1
meno di 5 incidenti
p (A1) = 0 / 15 = 0.00
A2
da 5 a 9 incidenti
p (A2) = 5 / 15 = 0.33
A3
da 10 a 19 incidenti
p (A3) = 7 / 15 = 0.47
A4
da 20 incidenti in su p (A4) = 3 / 15 = 0.20
Si supponga di voler investigare il caso B
corrispondente ad un numero di eventi compreso tra 8 e 15 eventi
Pr [ B | A1 ] = Pr [ A1B ] / Pr [ A1 ] = 0.00
Pr [ B | A2 ] = Pr [ A2B ] / Pr [ A2 ] = (2/15) / 0.33 = 0.404
Pr [ B | A3 ] = Pr [ A3B ] / Pr [ A3 ] = (4/15) / 0.47 = 0.567
Pr [ B | A4 ] = Pr [ A4B ] / Pr [ A4 ] = 0.00
anno
n° incidenti
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
5
7
6
9
8
14
13
12
17
21
14
19
21
18
22
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.14_2
Il teorema della probabilità totale dà quindi:
Pr [ B ] =
Σ
i=1,n
Pr [ B | Ai ] Pr [ Ai ]
Pr [ B ] = 0.000 x 0.00 + 0.404 x 0.33 + 0.567 x 0.47 + 0.000 x 0.20 =
0.13332 + 0.26649 = 0.40
Verificando dalla conta del numero di accadimenti dell’evento B si ha
Pr [ B ] = nB / n = 6 / 15 = 0.40
R [kN/mm]
4.08
2.73
3.03
3.25
3.06
3.23
3.11
3.03
3.15
3.27
3.37
3.45
3.53
3.60
3.78
3.46
3.56
3.64
3.72
3.80
3.64
3.72
3.80
3.87
3.93
3.99
4.05
4.10
4.15
4.19
4.23
4.27
4.31
4.35
4.38
4.63
4.66
4.68
K [mm/s]
0.23
0.44
0.40
0.38
0.34
0.32
0.32
0.41
0.40
0.39
0.38
0.37
0.37
0.36
0.32
0.34
0.34
0.33
0.32
0.32
0.32
0.32
0.31
0.31
0.30
0.30
0.30
0.29
0.29
0.29
0.28
0.28
0.28
0.27
0.27
0.25
0.25
0.25
ESEMPIO 2.15_1
Sugli assiomi della teoria della probabilità
Siano disponibili gli esiti di 38 prove di laboratorio effettuate su
provini Marshall realizzati con una medesima miscela drenante.
In particolare per ciascun provino si disponga di una misura di
permeabilità idraulica (K) e di una di rigidezza Marshall (R). In
tabella si riportano i valori.
La miscela ottimale dovrebbe garantire, secondo le ipotesi di
progetto i seguenti valori:
K = 0.32 mm/s
R = 3.75 KN/mm
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.15_2
Si ritengano accettabili valori compresi nel seguente intervallo attorno al valore ottimale:
0.27 < K < 0.37 mm/s
3.25 < R < 4.25 KN/mm
In questo caso definiamo l’evento corrispondente come evento A
Inoltre si voglia valutare la probabilità di ottenere caratteristiche migliori dal punto di vista
meccanico per la miscela (B2 U B3), una volta ottenute caratteristiche di accettabilità per la miscela
(appartenenti ad A)
Si definiscano inoltre gli eventi seguenti:
B1 = R ≤ 3.75 & K > 0.32
B2 = R > 3.75 & K > 0.32
B3 = R > 3.75 & K ≤ 0.32
B4 = R ≤ 3.75 & K ≤ 0.32
ESEMPIO 2.15_3
Sugli assiomi della teoria della probabilità
0.50
B1
B2
0.45
0.40
A
0.35
0.30
B3
B4
0.25
0.20
2.50
3.00
3.50
4.00
4.50
5.00
Sugli assiomi della teoria della probabilità
Le probabilità degli eventi Bi sono di facile valutazione:
Pr (B1)
Pr (B2)
Pr (B3)
Pr (B4)
= 17/38
= 0/38
= 19/38
= 2/38
= 0.447
= 0.000
= 0.500
= 0.050
Analogamente le probabilità condizionate
Pr (A|B1)
Pr (A|B2)
Pr (A|B3)
Pr (A|B4)
= 7/17 = 0.447
= indefinita
= 11/19 = 0.500
= 1/2 = 0.050
ESEMPIO 2.15_4
Sugli assiomi della teoria della probabilità
ESEMPIO 2.15_5
Applicando il Teorema della probabilità totale si calcola:
Pr [ A ] = Σi=1,4 Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ] = 0.500
Quindi la probabilità di ottenere una miscela con caratteristiche idonee è del 50%
Per quanto attiene il quesito iniziale di valutare la probabilità di ottenere caratteristiche idrauliche
migliori per la miscela (B2 U B3) una volta ottenute caratteristiche di accettabilità per la miscela
(appartenenti ad A)
Pr (B2|A) = Pr (A|B2) Pr(B2) /
Σ
i=1,4
Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ] = 0.00
Pr (B3|A) = Pr (A|B3) Pr(B3) / Σi=1,4 Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ] = 0.58
QUESITO 2.1
Si consideri un tunnel stradale di sviluppo pari a 5 km.
Si consideri che il numero massimo di veicoli che possono essere simultaneamente
presenti nel tunnel, rispettando le regolazioni del traffico che ammettono distanze minime
tra i mezzi pari a 25 m, è stimato pari a 400 (200 + 200).
Considerato che in un veicolo possano essere presenti da 1 a 5 individui, escludendo
quindi il caso di pullman, si rappresenti lo spazio campione e usando il diagramma di
Venn si riportino i seguenti eventi:
A. il numero totale dei veicoli presenti nel tunnel è inferiore a 150.
B. il numero totale di persone nel tunnel è superiore a 500
C. sono presenti nel tunnel 100 veicoli con 5 occupanti ciascuno
inoltre si rappresentino i seguenti eventi (AC + B) & (A B)
QUESITO 2.2
Per raggiungere Grenoble da Torino sono possibili due itinerari autostradali: uno diretto
Torino Grenoble e uno che passa per Chambery.
Sulla base delle previsioni metereologiche si possono determinare i seguenti scenari
critici caratterizzati dalle corrispettive probabilità
A. condizioni meteo critiche Torino Grenoble
Pr [A] = 0.60
B. condizioni meteo critiche Torino Chambery Pr [B] = 0.70
C. condizioni meteo critiche Chambery Grenoble Pr [C] = 0.40
Inoltre P[C | B] = 0.50 e Pr[A | BC] = 0.40
Qual è la probabilità che un utente riesca a raggiungere Grenoble da Torino ?
Qual è la probabilità che un utente riesca a raggiungere Grenoble da Torino passando da
Chambery ?
Quale itinerario dovrebbe essere scelto per massimizzare la probabilità di arrivare a
Grenoble ?
QUESITO 2.3
Da un’analisi condotta con Georadar su una viabilità extraurbana principale di recente
realizzazione emerge che per l’85% dello sviluppo la sovrastruttura risulta in condizioni di
qualità accettabile, con riferimento agli spessori degli strati e alla presenza di eventuali
degradi.
Da ricerche di letteratura si deduce che l’affidabilità del Georadar, per questa tipologia di
analisi, è del 75%, ovvero nel 25% dei casi si possono manifestare falsi allarmi.
Qual’è la probabilità che sulla base dell’indagine Georadar venga accettata una situazione
in cui la sovrastruttura non risulta adeguata agli standard di qualità?
Qual’è la probabilità che una sezione stradale di qualità adeguata non venga accettata
sulla base dell’indagine con Georadar ?
SOMMARIO
Concetti base di probabilità
la probabilità rappresenta il grado di fiducia che, sulla base di un esperimento reale o
concettuale, a priori o a posteriori, si associa all’accadimento di un evento
la probabilità è data dal rapporto tra numero di accadimenti di un evento specifico rispetto
al numero totale degli accadimenti
lo spazio dei campioni o spazio campionario (Ω) l’insieme di tutti i possibili eventi
l’intersezione e l’unione degli eventi godono delle proprietà distributiva ed associativa
il diagramma di Venn è uno strumento particolarmente utile per le rappresentazioni di
eventi e spazi campionari, utilizzando criteri di insiemistica
Gli assiomi della teoria della probabilità
SOMMARIO
Pr[A] ≥ 0 per ogni A appartenente ad A
Pr [Ω] = 1
Se A1 e A2 appartengono ad A e se A1A2 = 0 allora Pr [A1+ A2] = Pr [A1] + Pr [A2]
Le regole dell’addizione (unione)
Pr [A1+ A2+…+ An] = Pr [A1] + Pr [A2]+…+ Pr [An] se AiAj = 0
La probabilità dell’evento complementare
Pr [AC] = 1 – Pr [A]
La somma delle probabilità di due eventi
Pr [A1+ A2] = Pr [A1] + Pr [A2] – Pr [A1 A2]
La disuguaglianza di Boole
Pr [A1+ A2] ≤ Pr [A1] + Pr [A2]
La probabilità condizionata e le regole della moltiplicazione (intersezione)
Pr [ A | B ] = Pr [ AB ] / Pr [ B ]
Probabilità totale e teoremi di Bayes
teorema di Bayes o della probabilità totale
Pr [ A ] =
Σ
i=1,n
Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ] (Bi esclusivi e collettivamente esaustivi)