Concetti base di probabilità Premessa La variabilità connessa ai processi ed ai fenomeni di interesse dell’ingegnere civile e dell’esperto in sicurezza stradale è dovuta ad una molteplicità di fattori Spesso non disponiamo di modelli fisico matematici interpretativi sufficientemente affidabili ovvero, talvolta, pur disponendo di modelli affidabili, la soluzione analitica o numerica risulta troppo onerosa o impossibile In questo senso, per “convenienza intellettuale”, si preferisce associare all’accadimento di un evento possibile un grado di fiducia: la probabilità La probabilità è dunque un numero compreso tra 0 e 1 che esprime il grado di fiducia che si associa all’accadimento di un evento possibile (o impossibile p = 0) Il valore di probabilità p pari ad 1 è associato all’evento certo Il valore della probabilità deriva da un esperimento concettuale o reale in cui si contano le na realizzazioni di un evento specifico A rispetto a tutte le realizzazioni n La probabilità p è data dal rapporto p = na / n ESEMPIO 2.1 Sul concetto di probabilità a posteriori Si voglia studiare la probabilità che in un evento incidentale lungo una specifica tratta stradale si verifichi la perdita di vite umane. Se lungo la tratta si sono verificati nel periodo di osservazione 66 eventi incidentali e solo in un caso si è verificata la perdita di vite umane la probabilità che ne deriva è pari a p = 1 / 66 ~ 0.015 E’ quindi possibile associare all’evento un livello di fiducia pari a 1.5 %. ESEMPIO 2.2 Sul concetto di probabilità a priori Si voglia stimare la probabilità che in un veicolo omologato per 5 posti siano presenti due persone. I campioni possibili derivati da un esperimento concettuale sono 5 e corrispondono alla presenza di 1, 2, 3, 4 o 5 persone nel veicolo. Nell’ipotesi che ciascun campione sia ugualmente probabile, la probabilità è pari a: p = 1 / 5 ~ 0.200 E’ quindi possibile associare all’evento un livello di fiducia pari al 20.0 %. Si definisce spazio dei campioni o spazio campionario (Ω) l’insieme di tutti i possibili eventi generabili da un esperimento concettuale o reale Un evento (A) è un sottoinsieme possibile o impossibile dello spazio campionario Lo spazio campionario (eventi possibili) è un sottoinsieme dello spazio degli eventi A (eventi possibili e impossibili) ESEMPIO 2.3 Sullo spazio campionario Si voglia studiare la gravità connessa ad un evento incidentale. E’ necessario conoscere il numero di persone presenti in un veicolo. Si definisca conseguentemente lo spazio campionario Ω. Lo spazio campionario può ad esempio essere così definito: campione a: è presente un solo individuo campione b: sono presenti 2 individui campione c: sono presenti da 3 a 4 individui campione d: sono presenti da 5 a 8 individui campione e: sono presenti più di 8 individui Sullo spazio degli eventi ESEMPIO 2.4 Con riferimento ad una specifica tratta stradale si è osservato che le condizioni di maggiore rischio risultano quando la densità veicolare N/C è inferiore a 0.33 (aumentano le velocità e quindi la gravità dell’incidente per velocità inadeguate) e quando N/C è maggiore di 0.75 (crescono le interferenze veicolari e quindi la probabilità di incidente tra veicoli). Si voglia quindi definire lo spazio degli eventi A Gli eventi sono dati dalla combinazione dei tre campioni (che nel caso di specie sono mutuamente incompatibili e le loro combinazioni danno luogo ad eventi impossibili) A1 = [ N/C > 0.75 ] ; A2 = [ 0.33 ≤ N/C ≤ 0.75 ] ; A3 = [ N/C < 0.33 ] A = {A1; A2 ; A3 ; A1+A2 ; A1+ A3 ; A2+ A3 ; A1+ A2 + A3 } L’intersezione tra eventi L’intersezione tra due eventi rappresenta un terzo evento comune ai due. Sia A l’evento caratterizzato dal seguente accadimento [a,b], sia B l’evento [b,c]. L’intersezione tra A e B è un evento C dato da [b]. L’intersezione viene indicata con i simboli del prodotto algebrico o con il simbolo ∩ Per cui scriveremo A B = C ovvero A ∩ B = C L’unione di eventi L’unione di due eventi è un evento composto dall’accadimento di entrambi. Sia A l’evento caratterizzato dal seguente accadimento [a,b], sia B l’evento [b,c]. L’unione tra A e B è un evento D dato da [a,b,c]. L’unione viene indicata con i simboli della somma algebrica o con il simbolo U Per cui scriveremo A + B = D ovvero A U B = D L’evento nullo – l’intersezione tra eventi mutuamente escludenti L’evento nullo è dato dall’intersezione di due eventi che mutuamente si escludono e quindi la concomitante realizzazione risulta impossibile. Con riferimento all’esempio 2.3, lo spazio campionario risulta composto di eventi mutuamente escludenti, quindi da qualunque intersezione tra i campioni risulta un evento nullo. La proprietà associativa e la proprietà distributiva L’intersezione e l’unione di eventi sono operatori che godono delle proprietà distributive ed associative. Quindi si può scrivere ad esempio: (A + B) + C = A + (B + C) (A U B) U C = A U (B U C) (AB)C = A(BC) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) e anche: (A + B)C = AC + BC (A U B) ∩ C = (A ∩ C) U (B ∩ C) (AB) + C = (A + C) (B + C) (A ∩ B) U C = (A U C) ∩ (B U C) A scopo rappresentativo e per meglio chiarire i concetti di base è utile riferirsi alla rappresentazione grafica di Venn: il diagramma di Venn e lo spazio degli eventi (possibili e impossibili) Il diagramma di Venn, utilizzando una rappresentazione comune nell’insiemistica, associa al singolo evento un’area all’interno del dominio dei campioni L’area in genere ha una dimensione superficiale proporzionale alla probabilità di accadimento del singolo evento Utilizzando il diagramma di Venn si possono illustrare con maggiore chiarezza i concetti di unione, intersezione, proprietà associativa e distributiva Sul diagramma di Venn ESEMPIO 2.1 A Ω C A A+B C B B AB C (AB)C=A(BC) AB+C= (A+C)(B+C) Sul diagramma di Venn ESEMPIO 2.2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3 A4 A3 A4 A3 A4 A3 A4 A3 A4 A3 A4 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3 A4 A3 A4 A3 A4 A3 A4 A3 A4 A3 A4 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A1 A2 A3 A4 A3 A4 A3 A4 A3 A4 ESEMPIO 2.3 Sul diagramma di Venn Si voglia utilizzare il diagramma di Venn per valutare le conseguenze dello svio di un veicolo stradale. Uno svio può avere i soli due seguenti esiti: a il veicolo è reimmesso in carreggiata dalla barriera b il veicolo esce di strada a a b b b Ω a b IMP OS S a IMP OS S Utilizzando il diagramma di Venn si hanno i seguenti eventi possibili ed impossibili ESEMPIO 2.4_1 Sempre sul diagramma di Venn Si voglia utilizzare il diagramma di Venn per valutare le possibili conseguenze di un evento incidentale. Un incidente può avere i seguenti esiti: A1 A2 A3 A4 nessun danno danni alle cose danni alle persone morti Utilizzando il diagramma di Venn si rappresentano i diversi eventi Sul diagramma di Venn ESEMPIO 2.4_2 A4 Ω A3 Spazio degli eventi Danni alle persone e morti A2 A1 A3 Nessun danno A2 Danni alle persone e alle cose A2 A4 A3 Danni alle cose Danni alle persone, alle cose e morti La misura della probabilità Abbiamo detto che il valore della probabilità deriva da un esperimento concettuale o reale in cui si contano le na realizzazioni di un evento specifico A rispetto a tutte le realizzazioni n La probabilità p è data dal rapporto p = na / n ESEMPIO 2.5 Sul calcolo della probabilità Con riferimento all’esempio 1.7 si valuti la probabilità che dopo un anno la permeabilità della pavimentazione sia inferiore a 0.30 l/s misure di laboratorio [l/s] misure su strada [l/s] misure su strada ad 1 anno [l/s] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.53 0.60 0.55 0.61 0.62 0.55 0.58 0.49 0.49 0.59 0.55 0.66 0.72 0.77 0.59 0.81 0.78 0.67 0.52 0.80 0.44 0.34 0.40 0.51 0.22 0.09 0.32 0.41 0.23 0.48 Media 0.56 0.69 0.34 p = 3 / 10 = 0.30 = 30 % Sul calcolo della probabilità ESEMPIO 2.6 Con riferimento all’esempio 1.3 si valuti la probabilità che la velocità dei veicoli sia superiore al limite localmente imposto pari 70 km/h classi 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85 85-90 90-95 95-100 frequenze 0 0 0 0 0 4 2 2 2 6 2 10 4 22 20 12 8 2 4 0 p = (20+12+8+2+4) / 100 = 0.46 = 46 % Gli assiomi della teoria della probabilità Pr[A] ≥ 0 per ogni A appartenente ad A Pr [Ω] = 1 Se A1 e A2 appartengono ad A e se A1A2 = 0 allora Pr [A1+ A2] = Pr [A1] + Pr [A2] ESEMPIO 2.7 Sugli assiomi della teoria della probabilità Si considerino 15 anni di osservazione di incidenti su una tratta stradale omogenea, come riportati in tabella Si considerino i seguenti eventi mutuamente esclusivi e costituenti una partizione dello spazio anno n° incidenti A1 A2 A3 A4 meno di 5 incidenti da 5 a 9 incidenti da 10 a 19 incidenti da 20 incidenti in su p (A1) p (A2) p (A3) p (A4) = 0 / 15 = 5 / 15 = 7 / 15 = 3 / 15 = 0.00 = 0.33 = 0.47 = 0.20 Dai valori numerici è possibile verificare i 3 assiomi citati 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 5 7 6 9 8 14 13 12 17 21 14 19 21 18 22 Gli assiomi della teoria della probabilità Le regole dell’addizione (unione) Pr [A1+ A2+…+ An] = Pr [A1] + Pr [A2]+…+ Pr [An] se AiAj = 0 La probabilità dell’evento complementare Pr [AC] = 1 – Pr [A] La somma delle probabilità di due eventi Pr [A1+ A2] = Pr [A1] + Pr [A2] – Pr [A1 A2] La disuguaglianza di Boole Pr [A1+ A2] ≤ Pr [A1] + Pr [A2] Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.8 Si consideri una infrastruttura stradale primaria e si voglia valutare la probabilità di una interruzione di servizio a causa di uno di due eventi naturali temuti di origine sismica ed idrologica. L’infrastruttura si sviluppa infatti in zona sismica e attraversa una valle fluviale soggetta ad esondazione. Si valuti la probabilità del sisma con intensità critica pari a Pr [A] = 0.01 Si valuti la probabilità dell’alluvione pari a Pr [B] = 0.04 Si voglia valutare la probabilità dell’evento combinato A + B Pr [A + B] = Pr [A] + Pr [B] – Pr [A B] Considerando che l’accadimento dei due eventi simultaneamente è molto poco probabile (e quindi ritenendoli indipendenti) si può scrivere ragionevolmente Pr [A + B] ~ Pr [A] + Pr [B] = 0.01 + 0.04 = 0.05 Sugli assiomi della teoria della probabilità Con riferimento all’esempio 1.3 si considerino i due eventi possibili: A 40 km/h ≤ V ≤ 60 km/h e B 50 km/h ≤ V ≤ 80 km/h Pr [A] = 20 / 100 = 0.20 Pr [B] = 70 / 100 = 0.70 Pr [AB] = 12 / 100 = 0.12 Pr [A + B] = Pr [A] + Pr [B] – Pr [AB] = 0.20 + 0.70 – 0.12 = 0.78 Infatti Pr [A + B] = 78 / 100 = 0.78 ESEMPIO 2.9 classi 0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 60-65 65-70 70-75 75-80 80-85 85-90 90-95 95-100 frequenze 0 0 0 0 0 4 2 2 2 6 2 10 4 22 20 12 8 2 4 0 Gli assiomi della teoria della probabilità La probabilità condizionata e le regole della moltiplicazione (intersezione) Se A e B sono due eventi appartenenti allo spazio campionario Ω, la probabilità dell’evento A assunto che l’evento B si sia verificato si dice probabilità condizionata Pr [ A | B ] = Pr [ AB ] / Pr [ B ] Dalla precedente si può ricavare Pr [ AB ] = Pr [ A | B ] Pr [ B ] = Pr [ B | A ] Pr [ A ] Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.10_1 Si assumano i risultati in tabella di prove su campioni Marshall di permeabilità e rigidezza. Si voglia valutare la probabilità di avere, con la miscela in esame, un provino con permeabilità compresa tra 3.6 10-4 e 4.1 10-4 m/s (evento B), assunto che il provino abbia rigidezza compresa tra 3.5 e 4.1 KN/mm (evento A), estremi esclusi Rigidezza [kN/mm] Permeabilità [m/s] 3 3.4 3.7 3 3.9 4.2 4.6 4 4 4.1 3.8 3.9 3.1 3.5 4.1 4.6 3.9 4.2 3.3 3.8 0.00043 0.0004 0.00032 0.00033 0.00038 0.00039 0.00045 0.00042 0.00034 0.00033 0.00037 0.00046 0.00043 0.0004 0.00041 0.00031 0.00037 0.00038 0.00035 0.00041 A 3.5 < R < 4.1 kN/mm B 3.6 10-4 < R < 4.1 10-4 m/s AB x x x x x X x X x x x x x x x x x X Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.10_2 Essendo A e B due eventi appartenenti allo spazio campionario Ω, la probabilità dell’evento A assunto che l’evento B si sia verificato si dice probabilità condizionata Pr [ B | A ] = Pr [ AB ] / Pr [ A ] Per cui essendo nel caso di specie Pr [ A ] = 8 / 20 = 0.40 e Pr [ AB ] = 3 / 20 = 0.15 ne deriva Pr [ B | A ] = 0.15 / 0.40 = 0.375 Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.10_3 0.00048 0.00046 0.00044 0.00042 0.0004 0.00038 0.00036 0.00034 0.00032 0.0003 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.11 Considerato che una sovrastruttura stradale può manifestare fenomeni critici di degrado a seguito di cedimento strutturale degli strati portanti (evento A) o sovraccarico conseguente ad un non corretto dimensionamento (evento B), note le probabilità dei singoli eventi (Pr [ A ] = 0.012 ; Pr [ B ] = 0.008) e nota la probabilità condizionata che il degrado si manifesti per un cedimento strutturale nel caso in cui ci sia stato un sottodimensionamento (Pr [ A | B ] = 0.2), si voglia valutare la probabilità di manifestazione del degrado. Pr [ A + B ] = Pr [ A ] + Pr [ B ] – Pr [ AB ] Essendo Pr [ AB ] = Pr [ A | B ] Pr [ B ] = Pr [ B | A ] Pr [ A ] Si ha Pr [ A + B ] = Pr [ A ] + Pr [ B ] – Pr [ A | B ] Pr [ B ] = = 0.012 + 0.008 – 0.2 x 0.008 = 0.0184 Gli assiomi della teoria della probabilità La dipendenza stocastica Due eventi si dicono stocasticamente indipendenti se la probabilità condizionata di uno è uguale alla sua probabilità marginale o la probabilità dell’unione è pari al prodotto delle probabilità marginali Pr [ A | B ] = Pr [ A ] Pr [ A + B ] = Pr [ A ] Pr [ A ] Quindi A B = 0 Pr [ B | A ] = Pr [ B ] Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.13 Si consideri l’esempio 2.10 e si valuti la dipendenza stocastica tra i due eventi A & B Pr [ A ] = 8 / 20 = 0.40 Pr [ B ] = 7 / 20 = 0.35 Pr [ AB ] = 3 / 20 = 0.15 ne deriva che i due eventi possono essere ragionevolmente considerati stocasticamente indipendenti, infatti: Pr [ B | A ] = 0.15 / 0.40 = 0.375 Pr [ A | B ] = 0.15 / 0.35 = 0.429 Gli assiomi della teoria della probabilità Probabilità totale e teoremi di Bayes Si consideri una partizione Bi di W (Bi mutuamente esclusivi e collettivamente esaustivi) Pr [ A ] = Pr [ AB1 ] + Pr [ AB2 ] + … + Pr [ ABn ] B1 B2 A B3 Espandendo ciascun termine si ottiene l’espressione del teorema di Bayes o della probabilità totale Pr [ A ] = Σ i=1,n Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ] Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.14_1 Con riferimento all’esempio 2.7 si considerino i seguenti eventi mutuamente esclusivi e costituenti una partizione dello spazio A1 meno di 5 incidenti p (A1) = 0 / 15 = 0.00 A2 da 5 a 9 incidenti p (A2) = 5 / 15 = 0.33 A3 da 10 a 19 incidenti p (A3) = 7 / 15 = 0.47 A4 da 20 incidenti in su p (A4) = 3 / 15 = 0.20 Si supponga di voler investigare il caso B corrispondente ad un numero di eventi compreso tra 8 e 15 eventi Pr [ B | A1 ] = Pr [ A1B ] / Pr [ A1 ] = 0.00 Pr [ B | A2 ] = Pr [ A2B ] / Pr [ A2 ] = (2/15) / 0.33 = 0.404 Pr [ B | A3 ] = Pr [ A3B ] / Pr [ A3 ] = (4/15) / 0.47 = 0.567 Pr [ B | A4 ] = Pr [ A4B ] / Pr [ A4 ] = 0.00 anno n° incidenti 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 5 7 6 9 8 14 13 12 17 21 14 19 21 18 22 Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.14_2 Il teorema della probabilità totale dà quindi: Pr [ B ] = Σ i=1,n Pr [ B | Ai ] Pr [ Ai ] Pr [ B ] = 0.000 x 0.00 + 0.404 x 0.33 + 0.567 x 0.47 + 0.000 x 0.20 = 0.13332 + 0.26649 = 0.40 Verificando dalla conta del numero di accadimenti dell’evento B si ha Pr [ B ] = nB / n = 6 / 15 = 0.40 R [kN/mm] 4.08 2.73 3.03 3.25 3.06 3.23 3.11 3.03 3.15 3.27 3.37 3.45 3.53 3.60 3.78 3.46 3.56 3.64 3.72 3.80 3.64 3.72 3.80 3.87 3.93 3.99 4.05 4.10 4.15 4.19 4.23 4.27 4.31 4.35 4.38 4.63 4.66 4.68 K [mm/s] 0.23 0.44 0.40 0.38 0.34 0.32 0.32 0.41 0.40 0.39 0.38 0.37 0.37 0.36 0.32 0.34 0.34 0.33 0.32 0.32 0.32 0.32 0.31 0.31 0.30 0.30 0.30 0.29 0.29 0.29 0.28 0.28 0.28 0.27 0.27 0.25 0.25 0.25 ESEMPIO 2.15_1 Sugli assiomi della teoria della probabilità Siano disponibili gli esiti di 38 prove di laboratorio effettuate su provini Marshall realizzati con una medesima miscela drenante. In particolare per ciascun provino si disponga di una misura di permeabilità idraulica (K) e di una di rigidezza Marshall (R). In tabella si riportano i valori. La miscela ottimale dovrebbe garantire, secondo le ipotesi di progetto i seguenti valori: K = 0.32 mm/s R = 3.75 KN/mm Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.15_2 Si ritengano accettabili valori compresi nel seguente intervallo attorno al valore ottimale: 0.27 < K < 0.37 mm/s 3.25 < R < 4.25 KN/mm In questo caso definiamo l’evento corrispondente come evento A Inoltre si voglia valutare la probabilità di ottenere caratteristiche migliori dal punto di vista meccanico per la miscela (B2 U B3), una volta ottenute caratteristiche di accettabilità per la miscela (appartenenti ad A) Si definiscano inoltre gli eventi seguenti: B1 = R ≤ 3.75 & K > 0.32 B2 = R > 3.75 & K > 0.32 B3 = R > 3.75 & K ≤ 0.32 B4 = R ≤ 3.75 & K ≤ 0.32 ESEMPIO 2.15_3 Sugli assiomi della teoria della probabilità 0.50 B1 B2 0.45 0.40 A 0.35 0.30 B3 B4 0.25 0.20 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 Sugli assiomi della teoria della probabilità Le probabilità degli eventi Bi sono di facile valutazione: Pr (B1) Pr (B2) Pr (B3) Pr (B4) = 17/38 = 0/38 = 19/38 = 2/38 = 0.447 = 0.000 = 0.500 = 0.050 Analogamente le probabilità condizionate Pr (A|B1) Pr (A|B2) Pr (A|B3) Pr (A|B4) = 7/17 = 0.447 = indefinita = 11/19 = 0.500 = 1/2 = 0.050 ESEMPIO 2.15_4 Sugli assiomi della teoria della probabilità ESEMPIO 2.15_5 Applicando il Teorema della probabilità totale si calcola: Pr [ A ] = Σi=1,4 Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ] = 0.500 Quindi la probabilità di ottenere una miscela con caratteristiche idonee è del 50% Per quanto attiene il quesito iniziale di valutare la probabilità di ottenere caratteristiche idrauliche migliori per la miscela (B2 U B3) una volta ottenute caratteristiche di accettabilità per la miscela (appartenenti ad A) Pr (B2|A) = Pr (A|B2) Pr(B2) / Σ i=1,4 Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ] = 0.00 Pr (B3|A) = Pr (A|B3) Pr(B3) / Σi=1,4 Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ] = 0.58 QUESITO 2.1 Si consideri un tunnel stradale di sviluppo pari a 5 km. Si consideri che il numero massimo di veicoli che possono essere simultaneamente presenti nel tunnel, rispettando le regolazioni del traffico che ammettono distanze minime tra i mezzi pari a 25 m, è stimato pari a 400 (200 + 200). Considerato che in un veicolo possano essere presenti da 1 a 5 individui, escludendo quindi il caso di pullman, si rappresenti lo spazio campione e usando il diagramma di Venn si riportino i seguenti eventi: A. il numero totale dei veicoli presenti nel tunnel è inferiore a 150. B. il numero totale di persone nel tunnel è superiore a 500 C. sono presenti nel tunnel 100 veicoli con 5 occupanti ciascuno inoltre si rappresentino i seguenti eventi (AC + B) & (A B) QUESITO 2.2 Per raggiungere Grenoble da Torino sono possibili due itinerari autostradali: uno diretto Torino Grenoble e uno che passa per Chambery. Sulla base delle previsioni metereologiche si possono determinare i seguenti scenari critici caratterizzati dalle corrispettive probabilità A. condizioni meteo critiche Torino Grenoble Pr [A] = 0.60 B. condizioni meteo critiche Torino Chambery Pr [B] = 0.70 C. condizioni meteo critiche Chambery Grenoble Pr [C] = 0.40 Inoltre P[C | B] = 0.50 e Pr[A | BC] = 0.40 Qual è la probabilità che un utente riesca a raggiungere Grenoble da Torino ? Qual è la probabilità che un utente riesca a raggiungere Grenoble da Torino passando da Chambery ? Quale itinerario dovrebbe essere scelto per massimizzare la probabilità di arrivare a Grenoble ? QUESITO 2.3 Da un’analisi condotta con Georadar su una viabilità extraurbana principale di recente realizzazione emerge che per l’85% dello sviluppo la sovrastruttura risulta in condizioni di qualità accettabile, con riferimento agli spessori degli strati e alla presenza di eventuali degradi. Da ricerche di letteratura si deduce che l’affidabilità del Georadar, per questa tipologia di analisi, è del 75%, ovvero nel 25% dei casi si possono manifestare falsi allarmi. Qual’è la probabilità che sulla base dell’indagine Georadar venga accettata una situazione in cui la sovrastruttura non risulta adeguata agli standard di qualità? Qual’è la probabilità che una sezione stradale di qualità adeguata non venga accettata sulla base dell’indagine con Georadar ? SOMMARIO Concetti base di probabilità la probabilità rappresenta il grado di fiducia che, sulla base di un esperimento reale o concettuale, a priori o a posteriori, si associa all’accadimento di un evento la probabilità è data dal rapporto tra numero di accadimenti di un evento specifico rispetto al numero totale degli accadimenti lo spazio dei campioni o spazio campionario (Ω) l’insieme di tutti i possibili eventi l’intersezione e l’unione degli eventi godono delle proprietà distributiva ed associativa il diagramma di Venn è uno strumento particolarmente utile per le rappresentazioni di eventi e spazi campionari, utilizzando criteri di insiemistica Gli assiomi della teoria della probabilità SOMMARIO Pr[A] ≥ 0 per ogni A appartenente ad A Pr [Ω] = 1 Se A1 e A2 appartengono ad A e se A1A2 = 0 allora Pr [A1+ A2] = Pr [A1] + Pr [A2] Le regole dell’addizione (unione) Pr [A1+ A2+…+ An] = Pr [A1] + Pr [A2]+…+ Pr [An] se AiAj = 0 La probabilità dell’evento complementare Pr [AC] = 1 – Pr [A] La somma delle probabilità di due eventi Pr [A1+ A2] = Pr [A1] + Pr [A2] – Pr [A1 A2] La disuguaglianza di Boole Pr [A1+ A2] ≤ Pr [A1] + Pr [A2] La probabilità condizionata e le regole della moltiplicazione (intersezione) Pr [ A | B ] = Pr [ AB ] / Pr [ B ] Probabilità totale e teoremi di Bayes teorema di Bayes o della probabilità totale Pr [ A ] = Σ i=1,n Pr [ A | Bi ] Pr [ Bi ] (Bi esclusivi e collettivamente esaustivi)