APPELLO DEL 21-settembre 2015, Prova di Logica 1. Nella logica

APPELLO DEL 21-settembre 2015, Prova di Logica
1. Nella logica delle proposizioni, sapendo che “se la luna è bianca allora è
fatta di formaggio” e che “la luna non è nera” dimostrare che “se la luna è
bianca o nera allora è fatta di formaggio”
a) Con le tavole di verità
b) Con la deduzione naturale
c) Con la risoluzione
a) Indichiamo con A la frase “la luna è bianca”, con B la frase ““la luna è fatta di
formaggio”, con C la frase “la luna è nera”, allora le ipotesi sono AB e C,
la tesi da dimostrare è (AC)B. Con le tavole di verità
A B C C AB AC (AC)B
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b)
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AB
premessa
C
premessa
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0
1
1
(AC)
assunz. per -intro.
C
A
import
-elim.
AB
import
B
--elim
(AC)B
Le interpretazioni in cui le ipotesi
sono vere sono segnate dalla linea
rossa, e si vede che in tali casi anche
la tesi è vera, e quindi ne è
conseguenza logica, e quindi un
teorema
export -intro
c) In forma di clausola AB diventa AB, e la negazione della tesi
 ((AC)B) diventa (AC) (B), allora l’algoritmo di risoluzione ci dà:
AB
C
B
A
AC
A

2. a) Scrivere come formula della logica dei predicati i due assiomi:
“c non segue nessun elemento”, “per ogni elemento c’è un elemento che lo
segue”
utilizzando la costante ‘c’ e il predicato binario ‘segue’.
b) con le tavole semantiche ricavare tutti i modelli del sistema formato dai
due assiomi
a) le formule sono x segue(c,x) e x y segue(y,x)
b)
x segue(c,x)
x y segue(y,x)
L’universo di Herbrandt all’inizio è
formato dal solo c:
H ={c}
segue(c,c)
y segue(y,c)
x segue(c,x)
x y segue(y,x)
segue(c,c)
segue(d,c)
x segue(c,x)
x y segue(y,x)
L’universo di Herbrandt diventa ora
H ={c, d}.
Ripetendo le regole precedenti sul
nuovo termine d;
L’universo di Herbrandt diventa ora
segue(c,c)
segue(d,c)
segue(c,d)
segue(d’,d)
x segue(x,c)
x y segue(y,x)
H ={c, d, d’}.
Iterando sempre le stesse regole verranno creati infiniti
termini e l’universo di Herbrandt diventa
H ={c, d, d’, d”, d”’, ….}. che in quest’ordine si seguono
mentre c non segue alcun termine:
c
d
d’
d”
d”’
………
Tutti i modelli che verificano questa condizione sono modelli dei due assiomi.
Se invece il primo assioma era “nessun elemento segue c” i due assiomi non
ammetterebbero modelli essendo contraddittori: nelle tavole sarebbero
apparsi segue(d,c) e segue(d,c)
3. a) Scrivere come formule della logica dei predicati le seguenti frasi “Nessun
A è B”, ”Qualche C è A e qualche C è B”, “Tutti i C sono D”, Non tutti i B sono
D e non tutti gli A sono D” .
b) Considerando A, B, C, D come insiemi estensione dei predicati,
rappresentare graficamente la situazione descritta dalle frasi precedenti.
a) x A(x)  B(x)
x (A(x)  C(x))  x (B(x)  C(x))
x C(x)  D(x)
 x (B(x)  D(x))   x (A(x)  D(x))
b) A  B = 
A  C  , B  C  
CD
B  D  , A  D  
4. Definire le proprietà di correttezza e completezza.
Una logica si dice corretta se per ogni sistema di assiomi Ass e per ogni formula T
se
Ass  T allora Ass  T
“tutto ciò che è dimostrabile è vero”
Una logica si dice completa se per ogni sistema di assiomi Ass e per ogni formula T
se
Ass  T allora Ass  T
“tutto ciò che è vero è dimostrabile”