APPELLO DEL 21-settembre 2015, Prova di Logica 1. Nella logica delle proposizioni, sapendo che “se la luna è bianca allora è fatta di formaggio” e che “la luna non è nera” dimostrare che “se la luna è bianca o nera allora è fatta di formaggio” a) Con le tavole di verità b) Con la deduzione naturale c) Con la risoluzione a) Indichiamo con A la frase “la luna è bianca”, con B la frase ““la luna è fatta di formaggio”, con C la frase “la luna è nera”, allora le ipotesi sono AB e C, la tesi da dimostrare è (AC)B. Con le tavole di verità A B C C AB AC (AC)B 0 0 0 0 1 1 1 1 b) 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 AB premessa C premessa 1 0 1 1 0 0 1 1 (AC) assunz. per -intro. C A import -elim. AB import B --elim (AC)B Le interpretazioni in cui le ipotesi sono vere sono segnate dalla linea rossa, e si vede che in tali casi anche la tesi è vera, e quindi ne è conseguenza logica, e quindi un teorema export -intro c) In forma di clausola AB diventa AB, e la negazione della tesi ((AC)B) diventa (AC) (B), allora l’algoritmo di risoluzione ci dà: AB C B A AC A 2. a) Scrivere come formula della logica dei predicati i due assiomi: “c non segue nessun elemento”, “per ogni elemento c’è un elemento che lo segue” utilizzando la costante ‘c’ e il predicato binario ‘segue’. b) con le tavole semantiche ricavare tutti i modelli del sistema formato dai due assiomi a) le formule sono x segue(c,x) e x y segue(y,x) b) x segue(c,x) x y segue(y,x) L’universo di Herbrandt all’inizio è formato dal solo c: H ={c} segue(c,c) y segue(y,c) x segue(c,x) x y segue(y,x) segue(c,c) segue(d,c) x segue(c,x) x y segue(y,x) L’universo di Herbrandt diventa ora H ={c, d}. Ripetendo le regole precedenti sul nuovo termine d; L’universo di Herbrandt diventa ora segue(c,c) segue(d,c) segue(c,d) segue(d’,d) x segue(x,c) x y segue(y,x) H ={c, d, d’}. Iterando sempre le stesse regole verranno creati infiniti termini e l’universo di Herbrandt diventa H ={c, d, d’, d”, d”’, ….}. che in quest’ordine si seguono mentre c non segue alcun termine: c d d’ d” d”’ ……… Tutti i modelli che verificano questa condizione sono modelli dei due assiomi. Se invece il primo assioma era “nessun elemento segue c” i due assiomi non ammetterebbero modelli essendo contraddittori: nelle tavole sarebbero apparsi segue(d,c) e segue(d,c) 3. a) Scrivere come formule della logica dei predicati le seguenti frasi “Nessun A è B”, ”Qualche C è A e qualche C è B”, “Tutti i C sono D”, Non tutti i B sono D e non tutti gli A sono D” . b) Considerando A, B, C, D come insiemi estensione dei predicati, rappresentare graficamente la situazione descritta dalle frasi precedenti. a) x A(x) B(x) x (A(x) C(x)) x (B(x) C(x)) x C(x) D(x) x (B(x) D(x)) x (A(x) D(x)) b) A B = A C , B C CD B D , A D 4. Definire le proprietà di correttezza e completezza. Una logica si dice corretta se per ogni sistema di assiomi Ass e per ogni formula T se Ass T allora Ass T “tutto ciò che è dimostrabile è vero” Una logica si dice completa se per ogni sistema di assiomi Ass e per ogni formula T se Ass T allora Ass T “tutto ciò che è vero è dimostrabile”