Prova di Analisi I 16-09-2011 Sia N = n1 n2 n3 n4 n5 n6 il numero di matricola, e sia a = n3 + n4 e b = n5 + n6 1. Sia a come definito sopra. Per ogni intero n ≥ 0 si definisca Mn dalla formula Mn = n X n j . j j=1 (Si nota che per n = 0 la sommatoria é vuota, onde la somma risulta 0.) É vero o falso che per ogni intero non-negativo n = 0, 1, 2, . . . si ha che Mn = n2n−1 ? Dare una dimostrazione per giustificare la risposta. Dimostrazione: Per il teorema binomiale si ha che n X n j n (x + 1) = x j j=0 e quindi, derivando rispetto x si ottiene n(x + 1)n−1 = n n X n j−1 X n j−1 j x = j x j j j=0 j=1 (si puó sommare da 1 poiché il primo termine j = 0 contribuisce zero alla somma). Ora basta porre x = 1 per ottenere il risultato cercato. Per chi (a torto) non ama il teorema binomiale e derivate, si puó pure dare una dimostrazione per induzione. La base dell’induzione si ha con calcoli semplici (il caso n = 0, o per chi vuole partire da 1, il caso n = 1). Poi, per quanto riguarda il passo indottivo si ha Mn+1 n+1 X n+1 = j j j=1 n+1 X n n j j + = j−1 j j=1 j=1 n+1 X n+1 n X X n n j j + = j j−1 j=1 j=1 poiché n n+1 =0 n+1 X n n + per l’ipotesi induttiva e poiché j = (j − 1) + 1 = n2 + (j − 1) j−1 j−1 j=1 j=1 X n n X n n = n2n−1 + (`) + con la re-indicicizzazione ` = j − 1 ` ` n−1 n+1 X n−1 `=0 n−1 = n2 + n2 `=0 +2 n per l’ipotesis indottiva e il fatto che ci sono 2n sottoinsiemi di un insieme con n elemen = n2n + 2n = (n + 1)2n , come volevasi dimostrare. 2. É sorprendente che certi fatti elementari e “ben noti” NON fanno parte degli assiomi per R. Ad esempio, non é detto esplicitamente che −1 < 0. Dare una dimostrazione precisa di questo fatto arcinoto. (Si puó 1 assumere che per ogni a ∈ R si ha che a · 0 = 0, fatto dimostrato come esercizio in una delle prove precedenti di questo corso.) Giustificare i passi della dimostrazione citando gli assiomi usate o le regole della logica. Dimostrazione: Per la legge di trichotomia, si devono escludere i casi 0 = −1 e 0 < −1. Se 0 = −1 allora si ha che 0 + 1 = −1 + 1. Ma per assiome A4 si ha che 0 + 1 = 1 e per assiome A5 si ha che −1 + 1 = 0 e quindi si avrebbe che 1 = 0 e questo contradice M 4 (cioé, il fatto che 1 6= 0). Dunque non si puó avere 0 = −1. Se invece 0 < −1 allora per assiome O3 si avrebbe che 0 + 1 < −1 + 1, ossia per A4 che 1 < −1 + 1, e per A5 questo vorrebbe dire che 1 < 0. Allora per assiome O4 da 0 < −1 e 1 < 0 si avrebbe che 1 · (−1) < 0 · (−1) ma per il commento sul fatto che a · 0 = 0 · a = 0 per ogni a ∈ R e assiome M4 questo vorrebbe dire che −1 < 0, il che contradice la legge di trichotomia O1. Quindi, non si puó avere né 0 < −1 né 0 = −1 e dunque si deve avere −1 < 0. C.V.D. 3. Con a e b definite come sopra studiare la funzione f (x) = e−|x−a|(x−b) In particolare, dire dove la funzione f (x) é continua, e dove é derivabile e calcolare la sua derivata quando esiste. Dire pure dove la seconda derivata esiste e calcolarla quando esiste. Dire dove la funzione é crescente e dove é decrescente, specificare i suoi massimi e minimi locali, e trovare eventuali assintoti. Non é chiesto determinare i punti di inflessione, o dove la curva é convessa o concava. Soluzione: Giacché si ha x−a per x ≥ a |x − a| = −(x − a) per x < a si vede che la funzione f (x) puó essere descritta nel modo seguente: e−(x−a)(x−b) per x ≥ a f (x) = e(x−a)(x−b) per x < a In particolare, si nota che f (x) = 1 per x = a ed per x = b, e, in quanto esponenziale, NON É MAI UGUALE A ZERO. Si nota (completando il quadrato) che (x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab = (x − onde, se si pone c = ab − a+b 2 2 a+b 2 ) + ab − 2 a+b 2 2 si ha e(x−a)(x−b) = ec e(x− a+b 2 2 ) e in modo simile e−(x−a)(x−b) = e−c e−(x− a+b 2 2 ) Dunque, la nostra funzione é fatta di due pezzi: il pezzo che si estende da a a destra é una parte di una curva gaussiana (a campana) con centro di campana ad (a + b)/2, mentre da a a sinistra il grafico di f (x) é una funzione di cui il suo riciproco moltiplicativo é una curva gaussiana. Per vedere ancora meglio conviene fare la casistica a < b, a = b oppure a > b. Solo nel secondo caso la curva risulterá differenziabile nel punto a (che é allora l’ascisse del “centro della campana”. Quando a < b l’ascisse del centro della campana si trova a destra di a. Invece, quando b < a, l’ascisse del centro della campana si colloca a sinistra di a, e quindi, si ha “meno della mezzo destro” della campana gaussiana, con la parte a sinistra di a di nuovo dato dal reciproco di una curva gaussiana centrato in (a + b)/2. Si nota che per ogni scelta di b si ha che la derivata f 0 (x) é − (2x − (a + b)) f (x) per x > a 0 f (x) = (2x − (a + b)) f (x) per x < a e che questa derivata si annulla solo per x = (a + b)/2. Dunque, quando b > a, e quindi (a + b)/2 > a la funzione cresce tra a ed (a + b)/2 ed é decrescente per x < a e per x > (a + b)/2. Invece, quando a > b, di 2 modo che ora (a + b)/2 < a, la funzione decresce per −∞ < x < (a + b)/2, cresce tra x = (a + b)/2 ed x = a e decresce per x > a. Inoltre, nei casi tali per cui a 6= b si vede che in x = a le derivate unilaterali di f (x) esistono ma non sono uguali, il che vuol dire che f (x) non é differenziabile in x = a, sebbene essa é ivi continua con valore f (a) = 1. I due casi sono illustrati nel due file .jpeg disponibile nello stesso indirizzario di questo file. 4. Mostrare che Z ∞ 15 e ∞ Poi dare il valore del integrale e di Γ Dimostrazione. 5 2 −u2 7 du = 8 Γ 2 Come visto in classe, l’integrale coinvolge un funzione pari, onde Z ∞ 2 e−x dx = 2 ∞ ∞ 2 e−x dx. 0 Poi, la sostituzione x2 = u riduce la destra ad Γ(1/2) = Γ Z √ π. Ma √ 3 1 π = Γ((1/2) + 1) = Γ(1/2) = 2 2 2 e poi Γ(5/2) = Γ((3/2) + 1) = (3/2)Γ(3/2) = (3/4)Γ(1/2) ed infine Γ(7/2) = Γ((5/2) + 1) = (5/2)Γ(5/2) = (15/8)Γ(1/2). √ poiché abbiamo visto in classe che Γ 12 = π, e che vale l’equazione funzionale xΓ(x) = Γ(x + 1), applicata qua con x = 1/2, poi con x = 3/2 ed in fine con x = 5/2. 5. Con a e b come sopra calcolare la trasformata di Laplace {L(f )}(s) della funzione f (t) = a sinh(bt) e dire se lims→∞ {L(f )}(s) esiste. Se tale limite esiste calcolare il suo valore. Dimostrazione: Per gli appunti del corso (pagina v nel capitolo sulla trasformata di Laplace) o anche per un facile calcolo diretto usando la definizione della trasformata di Laplace, si ha subito che {L(sinh(bt))}(s) = s2 b . − b2 e quindi per f (t) = a sinh(bt) proprietá 2 degli appunti sulla trasformata di Laplace (o un facilissimo calcolo diretto) mostra che ab {L(f )}(s) = 2 . s − b2 É poi chiaro che il limite in questione esiste ed é uguale a zero. 3 Assiomi per i numeri reali Gli assiomi [A1]-[A5] relativi ad Addizione Gli assiomi [M1]-[M5] relativi a Moltiplicazione L’assiome [D] di Distributività di moltiplicazione rispetto addizione Gli assiomi [O1]-[O4] di Ordine L’assiome di Completezza: l’assiome del limite superiore [ [ [ [ [ Elenco degli assiomi per R I numeri reali R è un corpo ordinato completo, ossia essi sono caratterizzati dagli assiomi seguenti: Assiomi di addizione A1] Per ogni due elementi a, b ∈ R esiste un’operazione ben definita detto la loro “somma” ed indicata da a + b. A2] Per ogni terno a, b, c ∈ si ha a + (b + c) = (a + b) + c. A3] Per ogni paio di elementi a, b ∈ R vale a + b = b + a. A4] Esiste un elemento 0 ∈ R tale che per ogni a ∈ R vale a + 0 = a. A5] Per ogni a ∈ R esiste un elemento (che si indica con −a) tale che a + (−a) = 0. Assiomi di moltiplicazione Indichiamo con R\{0} la collezione di tutti gli elementi di R diversi da zero, ossia il complemento del insieme {0} in R. [ M1] Per ogni due elementi a, b ∈ R esiste un’operazione ben definita detto la loro “prodotto” ed indicata da a · b (o spesso anche da ab). [ M2] Per ogni terno a, b, c ∈ R vale a · (b · c) = (a · b) · c. [ M3] Per ogni coppia a, b ∈ R vale a · b = b · a. [ M4] Esiste un elemento 1 ∈ R\{0} tale che per ogni a ∈ R vale a · 1 = a. [ M5] Per ogni a ∈ R\{0} esiste un elemento (che si indica con a−1 ) tale che a · a−1 = 1. Assiome di Distribuitiva di moltiplicazione rispetto ad addizione [ D] Per ogni terno a, b, c di elementi di R vale a · (b + c) = a · b + a · c. Assiomi di Ordine [ O1 ] Su R si ha una relazione < tale che per ogni coppia a, b di elementi di R vale esattamente una delle alternative seguenti: a < b oppure a = b oppure b < a. [ O2 ] Se a, b, c ∈ R e valgono sia a ≤ b che b ≤ c allora vale a ≤ c. [ O3 ] Se a, b ∈ R ed a < b allora per ogni c ∈ R vale a + c < b + c. [ O4 ] Se a, b ∈ R soddisfanno a < b e c ∈ R soddisfa 0 < c allora a · c < b · c. Come si fa al solito si scrive a ≤ b per indicare che a < b oppure a = b. Assiome di Completezza [ Limite Superiore ] Se S è un sottoinsieme non-vuoto di R tale che esiste un elemento B ∈ R per cui vale s ≤ B per ogni s ∈ S, allora esiste un elemento L di R tale che L è un limite superiore minimale per S, cioè tale che P er ogni s ∈ S si ha s ≤ L. S e B ∗ è qualsiasi elemento di R tale che per ogni s ∈ S si ha s ≤ B ∗ allora B ≤ B ∗ . 4