Prova di Analisi I 16-09-2011 Sia N = n 1n2n3n4n5n6 il numero di

Prova di Analisi I
16-09-2011
Sia N = n1 n2 n3 n4 n5 n6 il numero di matricola, e sia a = n3 + n4 e b = n5 + n6
1.
Sia a come definito sopra. Per ogni intero n ≥ 0 si definisca Mn dalla formula
Mn =
n
X
n
j
.
j
j=1
(Si nota che per n = 0 la sommatoria é vuota, onde la somma risulta 0.) É vero o falso che per ogni intero
non-negativo n = 0, 1, 2, . . . si ha che
Mn = n2n−1 ?
Dare una dimostrazione per giustificare la risposta.
Dimostrazione: Per il teorema binomiale si ha che
n X
n j
n
(x + 1) =
x
j
j=0
e quindi, derivando rispetto x si ottiene
n(x + 1)n−1 =
n
n
X
n j−1 X n j−1
j
x
=
j
x
j
j
j=0
j=1
(si puó sommare da 1 poiché il primo termine j = 0 contribuisce zero alla somma). Ora basta porre x = 1
per ottenere il risultato cercato.
Per chi (a torto) non ama il teorema binomiale e derivate, si puó pure dare una dimostrazione per
induzione. La base dell’induzione si ha con calcoli semplici (il caso n = 0, o per chi vuole partire da 1, il
caso n = 1). Poi, per quanto riguarda il passo indottivo si ha
Mn+1
n+1
X
n+1
=
j
j
j=1
n+1
X n n
j
j
+
=
j−1
j
j=1
j=1
n+1
X
n+1
n
X
X n n
j
j
+
=
j
j−1
j=1
j=1
poiché
n
n+1
=0
n+1
X n n
+
per l’ipotesi induttiva e poiché j = (j − 1) + 1
= n2
+
(j − 1)
j−1
j−1
j=1
j=1
X
n
n X
n
n
= n2n−1 +
(`)
+
con la re-indicicizzazione ` = j − 1
`
`
n−1
n+1
X
n−1
`=0
n−1
= n2
+ n2
`=0
+2
n
per l’ipotesis indottiva e il fatto che ci sono 2n sottoinsiemi di un insieme con n elemen
= n2n + 2n
= (n + 1)2n ,
come volevasi dimostrare.
2. É sorprendente che certi fatti elementari e “ben noti” NON fanno parte degli assiomi per R. Ad esempio,
non é detto esplicitamente che −1 < 0. Dare una dimostrazione precisa di questo fatto arcinoto. (Si puó
1
assumere che per ogni a ∈ R si ha che a · 0 = 0, fatto dimostrato come esercizio in una delle prove precedenti
di questo corso.) Giustificare i passi della dimostrazione citando gli assiomi usate o le regole della logica.
Dimostrazione: Per la legge di trichotomia, si devono escludere i casi 0 = −1 e 0 < −1. Se 0 = −1
allora si ha che 0 + 1 = −1 + 1. Ma per assiome A4 si ha che 0 + 1 = 1 e per assiome A5 si ha che
−1 + 1 = 0 e quindi si avrebbe che 1 = 0 e questo contradice M 4 (cioé, il fatto che 1 6= 0). Dunque non si
puó avere 0 = −1. Se invece 0 < −1 allora per assiome O3 si avrebbe che 0 + 1 < −1 + 1, ossia per A4 che
1 < −1 + 1, e per A5 questo vorrebbe dire che 1 < 0. Allora per assiome O4 da 0 < −1 e 1 < 0 si avrebbe
che 1 · (−1) < 0 · (−1) ma per il commento sul fatto che a · 0 = 0 · a = 0 per ogni a ∈ R e assiome M4 questo
vorrebbe dire che −1 < 0, il che contradice la legge di trichotomia O1. Quindi, non si puó avere né 0 < −1
né 0 = −1 e dunque si deve avere −1 < 0. C.V.D.
3.
Con a e b definite come sopra studiare la funzione
f (x) = e−|x−a|(x−b)
In particolare, dire dove la funzione f (x) é continua, e dove é derivabile e calcolare la sua derivata quando
esiste. Dire pure dove la seconda derivata esiste e calcolarla quando esiste. Dire dove la funzione é crescente
e dove é decrescente, specificare i suoi massimi e minimi locali, e trovare eventuali assintoti. Non é chiesto
determinare i punti di inflessione, o dove la curva é convessa o concava.
Soluzione: Giacché si ha
x−a
per x ≥ a
|x − a| =
−(x − a) per x < a
si vede che la funzione f (x) puó essere descritta nel modo seguente:
e−(x−a)(x−b) per x ≥ a
f (x) =
e(x−a)(x−b)
per x < a
In particolare, si nota che f (x) = 1 per x = a ed per x = b, e, in quanto esponenziale, NON É MAI UGUALE
A ZERO. Si nota (completando il quadrato) che
(x − a)(x − b) = x2 − (a + b)x + ab = (x −
onde, se si pone c = ab −
a+b 2
2
a+b 2
) + ab −
2
a+b
2
2
si ha
e(x−a)(x−b) = ec e(x−
a+b 2
2 )
e in modo simile
e−(x−a)(x−b) = e−c e−(x−
a+b 2
2 )
Dunque, la nostra funzione é fatta di due pezzi: il pezzo che si estende da a a destra é una parte di una
curva gaussiana (a campana) con centro di campana ad (a + b)/2, mentre da a a sinistra il grafico di f (x) é
una funzione di cui il suo riciproco moltiplicativo é una curva gaussiana. Per vedere ancora meglio conviene
fare la casistica a < b, a = b oppure a > b. Solo nel secondo caso la curva risulterá differenziabile nel punto a
(che é allora l’ascisse del “centro della campana”. Quando a < b l’ascisse del centro della campana si trova a
destra di a. Invece, quando b < a, l’ascisse del centro della campana si colloca a sinistra di a, e quindi, si ha
“meno della mezzo destro” della campana gaussiana, con la parte a sinistra di a di nuovo dato dal reciproco
di una curva gaussiana centrato in (a + b)/2. Si nota che per ogni scelta di b si ha che la derivata f 0 (x) é
− (2x − (a + b)) f (x) per x > a
0
f (x) =
(2x − (a + b)) f (x)
per x < a
e che questa derivata si annulla solo per x = (a + b)/2. Dunque, quando b > a, e quindi (a + b)/2 > a la
funzione cresce tra a ed (a + b)/2 ed é decrescente per x < a e per x > (a + b)/2. Invece, quando a > b, di
2
modo che ora (a + b)/2 < a, la funzione decresce per −∞ < x < (a + b)/2, cresce tra x = (a + b)/2 ed x = a
e decresce per x > a.
Inoltre, nei casi tali per cui a 6= b si vede che in x = a le derivate unilaterali di f (x) esistono ma non
sono uguali, il che vuol dire che f (x) non é differenziabile in x = a, sebbene essa é ivi continua con valore
f (a) = 1. I due casi sono illustrati nel due file .jpeg disponibile nello stesso indirizzario di questo file.
4.
Mostrare che
Z
∞
15
e
∞
Poi dare il valore del integrale e di Γ
Dimostrazione.
5
2
−u2
7
du = 8 Γ
2
Come visto in classe, l’integrale coinvolge un funzione pari, onde
Z
∞
2
e−x dx = 2
∞
∞
2
e−x dx.
0
Poi, la sostituzione x2 = u riduce la destra ad Γ(1/2) =
Γ
Z
√
π. Ma
√
3
1
π
= Γ((1/2) + 1) = Γ(1/2) =
2
2
2
e poi
Γ(5/2) = Γ((3/2) + 1) = (3/2)Γ(3/2) = (3/4)Γ(1/2)
ed infine
Γ(7/2) = Γ((5/2) + 1) = (5/2)Γ(5/2) = (15/8)Γ(1/2).
√
poiché abbiamo visto in classe che Γ 12 = π, e che vale l’equazione funzionale xΓ(x) = Γ(x + 1),
applicata qua con x = 1/2, poi con x = 3/2 ed in fine con x = 5/2.
5. Con a e b come sopra calcolare la trasformata di Laplace {L(f )}(s) della funzione f (t) = a sinh(bt) e
dire se lims→∞ {L(f )}(s) esiste. Se tale limite esiste calcolare il suo valore.
Dimostrazione: Per gli appunti del corso (pagina v nel capitolo sulla trasformata di Laplace) o anche
per un facile calcolo diretto usando la definizione della trasformata di Laplace, si ha subito che
{L(sinh(bt))}(s) =
s2
b
.
− b2
e quindi per f (t) = a sinh(bt) proprietá 2 degli appunti sulla trasformata di Laplace (o un facilissimo calcolo
diretto) mostra che
ab
{L(f )}(s) = 2
.
s − b2
É poi chiaro che il limite in questione esiste ed é uguale a zero.
3
Assiomi per i numeri reali
Gli assiomi [A1]-[A5] relativi ad Addizione
Gli assiomi [M1]-[M5] relativi a Moltiplicazione
L’assiome [D] di Distributività di moltiplicazione rispetto addizione
Gli assiomi [O1]-[O4] di Ordine
L’assiome di Completezza: l’assiome del limite superiore
[
[
[
[
[
Elenco degli assiomi per R
I numeri reali R è un corpo ordinato completo, ossia essi sono caratterizzati dagli assiomi seguenti:
Assiomi di addizione
A1] Per ogni due elementi a, b ∈ R esiste un’operazione ben definita detto la loro “somma” ed indicata
da a + b.
A2] Per ogni terno a, b, c ∈ si ha a + (b + c) = (a + b) + c.
A3] Per ogni paio di elementi a, b ∈ R vale a + b = b + a.
A4] Esiste un elemento 0 ∈ R tale che per ogni a ∈ R vale a + 0 = a.
A5] Per ogni a ∈ R esiste un elemento (che si indica con −a) tale che
a + (−a) = 0.
Assiomi di moltiplicazione
Indichiamo con R\{0} la collezione di tutti gli elementi di R diversi da zero, ossia il complemento del
insieme {0} in R.
[ M1] Per ogni due elementi a, b ∈ R esiste un’operazione ben definita detto la loro “prodotto” ed indicata
da a · b (o spesso anche da ab).
[ M2] Per ogni terno a, b, c ∈ R vale a · (b · c) = (a · b) · c.
[ M3] Per ogni coppia a, b ∈ R vale a · b = b · a.
[ M4] Esiste un elemento 1 ∈ R\{0} tale che per ogni a ∈ R vale a · 1 = a.
[ M5] Per ogni a ∈ R\{0} esiste un elemento (che si indica con a−1 ) tale che
a · a−1 = 1.
Assiome di Distribuitiva di moltiplicazione rispetto ad addizione
[ D] Per ogni terno a, b, c di elementi di R vale a · (b + c) = a · b + a · c.
Assiomi di Ordine
[ O1 ] Su R si ha una relazione < tale che per ogni coppia a, b di elementi di R vale esattamente una
delle alternative seguenti: a < b oppure a = b oppure b < a.
[ O2 ] Se a, b, c ∈ R e valgono sia a ≤ b che b ≤ c allora vale a ≤ c.
[ O3 ] Se a, b ∈ R ed a < b allora per ogni c ∈ R vale a + c < b + c.
[ O4 ] Se a, b ∈ R soddisfanno a < b e c ∈ R soddisfa 0 < c allora a · c < b · c.
Come si fa al solito si scrive a ≤ b per indicare che a < b oppure a = b.
Assiome di Completezza
[ Limite Superiore ] Se S è un sottoinsieme non-vuoto di R tale che esiste un elemento B ∈ R per cui
vale s ≤ B per ogni s ∈ S, allora esiste un elemento L di R tale che L è un limite superiore minimale
per S, cioè tale che
P er ogni s ∈ S si ha s ≤ L.
S e B ∗ è qualsiasi elemento di R tale che per ogni s ∈ S si ha s ≤ B ∗ allora B ≤ B ∗ .
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