Assiomi per i numeri reali Gli assiomi [A1]-[A5] relativi ad Addizione Gli assiomi [M1]-[M5] relativi a Moltiplicazione L’assiome [D] di Distributività di moltiplicazione rispetto addizione Gli assiomi [O1]-[O4] di Ordine L’assiome di Completezza: l’assiome del limite superiore [ [ [ [ [ Elenco degli assiomi per R I numeri reali R è un corpo ordinato completo, ossia essi sono caratterizzati dagli assiomi seguenti: Assiomi di addizione A1] Per ogni due elementi a, b ∈ R esiste un’operazione ben definita detto la loro “somma” ed indicata da a + b. A2] Per ogni terno a, b, c ∈ si ha a + (b + c) = (a + b) + c. A3] Per ogni paio di elementi a, b ∈ R vale a + b = b + a. A4] Esiste un elemento 0 ∈ R tale che per ogni a ∈ R vale a + 0 = a. A5] Per ogni a ∈ R esiste un elemento (che si indica con −a) tale che a + (−a) = 0. Assiomi di moltiplicazione Indichiamo con R\{0} la collezione di tutti gli elementi di R diversi da zero, ossia il complemento del insieme {0} in R. [ M1] Per ogni due elementi a, b ∈ R esiste un’operazione ben definita detto la loro “prodotto” ed indicata da a · b (o spesso anche da ab). [ M2] Per ogni terno a, b, c ∈ R vale a · (b · c) = (a · b) · c. [ M3] Per ogni coppia a, b ∈ R vale a · b = b · a. [ M4] Esiste un elemento 1 ∈ R tale che per ogni a ∈ R vale a · 1 = a. [ M5] Per ogni a ∈ R\{0} esiste un elemento (che si indica con a−1 ) tale che a · a−1 = 1. Assiome di Distribuitiva di moltiplicazione rispetto ad addizione [ D] Per ogni terno a, b, c di elementi di R vale a · (b + c) = a · b + a · c. Assiomi di Ordine [ O1 ] Su R si ha una relazione < tale che per ogni coppia a, b di elementi di R vale esattamente una delle alternative seguenti: a ≤ b oppure a = b oppure b < a. [ O2 ] Se a, b, c ∈ R e valgono sia a ≤ b che b ≤ c allora vale a ≤ c. [ O3 ] Se a, b ∈ R ed a < b allora per ogni c ∈ R vale a + c < b + c. [ O4 ] Se a, b ∈ R soddisfanno a < b e c ∈ R soddisfa 0 < c allora a · c < b · c. Come si fa al solito si scrive a ≤ b per indicare che a < b oppure a = b. Assiome di Completezza [ Limite Superiore ] Se S è un sottoinsieme non-vuoto di R tale che esiste un elemento B ∈ R per cui vale s ≤ B per ogni s ∈ S, allora esiste un elemento L di R tale che L è un limite superiore minimale per S, cioè tale che P er ogni s ∈ S si ha s ≤ L. S e B ∗ è qualsiasi elemento di R tale che per ogni s ∈ S si ha s ≤ B ∗ allora B ≤ B ∗ . 1 Analisi Matematica I Esercizi per la prova scritta di 18-01-2010 Sia n1 n2 n3 n4 n5 n6 = N , il numero di matricola. (Esempio: se il numero di matricola è 534772, allora n1 = 5, n2 = 3, n3 = 4, . . . , n6 = 2. 1. Se n6 è pari svolgere quesito a); se n6 è dispari svolgere quesito b). a) Sia z un numero reale tale che z + r = r per OGNI numero reale r. Mostrare (usando gli assiomi per i numeri reali) che z = 0. Basta scrivere poche righe, ma con giustificazione assiomatica per ogni riga. b) Sia u un numero reale tale che ur = r per OGNI numero reale r. Mostrare (usando gli assiomi per i numeri reali) che u = 1. 2. Con la notazione introdotta sopra, se n5 è pari svolgere quesito a); se n5 è dispari svolgere quesito b). a) Trovare una “formula chiusa” per Sn = 1 − 3 + 5 − · · · + (−1)n−1 (2n − 1) e dare una dimostrazione di tale formula tramite induzione matematica. a) Trovare una “formula chiusa” per Sn = 2 − 4 + 6 − · · · + (−1)n−1 2n e dare una dimostrazione di tale formula tramite induzione matematica. 3. Con la notazione introdotta sopra, se n4 è pari svolgere quesito a); se n4 è dispari svolgere quesito b). a) Studiare la funzione f (x) = | tan(x)|. In particolare, dire dove la funzione è derivabile e calcolare la sua derivata quando esiste. Dire pure dove la seconda derivata esiste e calcolarla quando esiste. Dire dove la funzione è crescente e dove essa è decrescente, e specificare dove essa è convessa e dove è concava. b) Studiare la funzione f (x) = | cot(x)|. In particolare, dire dove la funzione è derivabile e calcolare la sua derivata quando esiste. Dire pure dove la seconda derivata esiste e calcolarla quando esiste. Dire dove la funzione è crescente e dove essa è decrescente, e specificare dove essa è convessa e dove è concava. 4. Con la notazione introdotta sopra, se n3 è pari svolgere quesito a); se n3 è dispari svolgere quesito b). R∞ 2 a) Calcolare (in forma concettuale) −∞ e(−t−1) dt. R∞ 2 b) Calcolare (in forma concettuale) −∞ e(−t+1) dt. 5. Con la notazione introdotta sopra, se n6 è ≤ 4 svolgere quesito a); se n6 è ≥ 5 svolgere quesito b). a) Calcolare la serie di Fourier della funzione f (x) che è periodica con periodo 2π ed è definita da f (x) = n 0 1 se −π ≤ x ≤ 0 se 0 < x < π. b) Calcolare la serie di Fourier della funzione f (x) che è periodica con periodo 2π definita da f (x) = n 1 se −π ≤ x ≤ 0 0 se 0 < x < π. 2