Continuità e derivabilità (vedi pag. V7 libro di testo) Teorema. Se una funzione f x è derivabile nel punto x0, allora la funzione f x è anche continua nel punto x0. Ipotesi: lim h 0 f x 0h− f x 0 = f ' x0 . h f x= f x 0 . Tesi: xlim x 0 [ f x 0h− f x 0 ] . Dimostrazione. Prendiamo in considerazione il lim h 0 Moltiplicando e dividendo all'interno del limite per l'incremento h, abbiamo: lim [ h 0 f x 0 h− f x 0 f x 0 h− f x 0 ⋅h]=lim [ ]⋅lim h h h h 0 h 0 in quanto il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti. Poiché, per ipotesi, la funzione è derivabile in x0, otteniamo: lim [ f x 0h− f x 0 ]= f ' x 0 ⋅0=0 . h 0 Questa uguaglianza esprime il fatto che la funzione è continua in x0. Infatti, ponendo x 0h=x , possiamo riscriverla come: lim [ f x− f x 0 ]=0 ⇒ lim f x−lim f x 0 =0 ⇒ lim f x= f x 0 x− x 0 0 x x0 x x0 x x0 come volevasi dimostrare. Il teorema si può anche esprimere nelle forme equivalenti: • Tutte le funzioni derivabili in x0 sono anche continue in x0. • Condizione sufficiente perché la funzione f x sia continua nel punto x0, è che la funzione sia derivabile nel punto x0. • Condizione necessaria perché la funzione f x sia derivabile nel punto x0, è che la funzione sia continua nel punto x0. Osserviamo inoltre che: • La proposizione inversa “Se f x è continua in x0, allora f x è derivabile in x0” è falsa. Infatti, basta considerare i controesempi delle funzioni y=∣x∣ o y=3 x , che sono continue per x=0 , ma non sono ivi derivabili. • La proposizione contraria “Se f x non è derivabile in x0, allora f x non è continua in x0” è falsa. Infatti, basta considerare i controesempi delle funzioni y=∣x∣ o y= 3 x , che non sono derivabili per x=0 , ma sono ivi continue. • La proposizione contronominale “Se f x non è continua in x0, allora f x non è derivabile in x0” è vera. Infatti, è noto dalla logica che essa è equivalente alla proposizione diretta, ovvero ha il suo stesso valore di verità.