Continuità e derivabilità (vedi pag. V7 libro di testo) Teorema. Se

Continuità e derivabilità
(vedi pag. V7 libro di testo)
Teorema. Se una funzione f  x è derivabile nel punto x0, allora la funzione f  x è anche
continua nel punto x0.
Ipotesi: lim
h 0
f  x 0h− f  x 0 
= f '  x0 .
h
f  x= f  x 0  .
Tesi: xlim
x
0
[ f  x 0h− f  x 0 ] .
Dimostrazione. Prendiamo in considerazione il lim
h 0
Moltiplicando e dividendo all'interno del limite per l'incremento h, abbiamo:
lim [
h 0
f  x 0 h− f  x 0 
f  x 0 h− f  x 0 
⋅h]=lim [
]⋅lim h
h
h
h 0
h 0
in quanto il limite di un prodotto è uguale al prodotto dei limiti.
Poiché, per ipotesi, la funzione è derivabile in x0, otteniamo:
lim [ f  x 0h− f  x 0 ]= f '  x 0 ⋅0=0 .
h 0
Questa uguaglianza esprime il fatto che la funzione è continua in x0.
Infatti, ponendo x 0h=x , possiamo riscriverla come:
lim [ f  x− f  x 0 ]=0 ⇒ lim f  x−lim f  x 0 =0 ⇒ lim f  x= f  x 0 
x− x 0 0
x  x0
x  x0
x  x0
come volevasi dimostrare.
Il teorema si può anche esprimere nelle forme equivalenti:
•
Tutte le funzioni derivabili in x0 sono anche continue in x0.
•
Condizione sufficiente perché la funzione f  x sia continua nel punto x0, è che la funzione sia
derivabile nel punto x0.
•
Condizione necessaria perché la funzione f  x sia derivabile nel punto x0, è che la funzione
sia continua nel punto x0.
Osserviamo inoltre che:
•
La proposizione inversa “Se f  x  è continua in x0, allora f  x è derivabile in x0” è falsa.
Infatti, basta considerare i controesempi delle funzioni y=∣x∣ o y=3 x , che sono continue
per x=0 , ma non sono ivi derivabili.
•
La proposizione contraria “Se f  x non è derivabile in x0, allora f  x non è continua in x0”
è falsa. Infatti, basta considerare i controesempi delle funzioni y=∣x∣ o y= 3 x , che non
sono derivabili per x=0 , ma sono ivi continue.
•
La proposizione contronominale “Se f  x non è continua in x0, allora f  x non è derivabile
in x0” è vera. Infatti, è noto dalla logica che essa è equivalente alla proposizione diretta, ovvero
ha il suo stesso valore di verità.