Ercole Suppa [email protected]
Rosanna Tupitti [email protected]
Il triangolo aritmetico come appare nell'opera del matematico
cinese Chu Shih-Chieh Yuan Yii Chien (1303).
Versione preliminare – 5 aprile 2012
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om bin ato ia
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A
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i
Indice
Indice
iii
Prefazione
iv
Indice dei simboli
v
1 Il linguaggio della matematica
1.1 Elementi di teoria degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Relazioni e funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Gli assiomi di Peano e il principio di induzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
4
2 Principi e tecniche combinatorie
2.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Tecniche elementari di enumerazione
2.3 Metodo del doppio conteggio . . . .
2.4 Principio dei cassetti . . . . . . . . .
2.5 Problemi esemplificativi . . . . . . .
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7
7
9
11
16
20
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26
26
28
30
32
35
37
41
42
4 Successioni e relazioni ricorsive
4.1 Successioni numeriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Relazioni di ricorrenza lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
44
46
5 Problemi di ricapitolazione
5.1 Problemi di livello base . . . . . . . .
5.2 Problemi di livello intermedio . . . .
5.3 Problemi di livello avanzato . . . . .
5.4 Problemi tratti da gare matematiche
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52
52
61
66
70
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86
86
87
89
96
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3 Permutazioni, disposizioni, combinazioni
3.1 Permutazioni e disposizioni . . . . . . . . . . . .
3.2 Disposizioni circolari . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Combinazioni semplici . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Proprietà dei coefficienti binomiali . . . . . . . .
3.5 Il teorema del binomio e il triangolo di Tartaglia
3.6 Combinazioni con ripetizione . . . . . . . . . . .
3.7 Coefficienti multinomiali . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Funzioni tra insiemi finiti . . . . . . . . . . . . .
A Soluzioni
A.1 Problemi
A.2 Problemi
A.3 Problemi
A.4 Problemi
di livello
di livello
di livello
tratti da
base . . . . . . . .
intermedio . . . .
avanzato . . . . .
gare matematiche
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iii
INDICE
Bibliografia
99
Indice analitico
E. Suppa, R. Tupitti
100
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
Prefazione
Questa dispensa è il frutto delle lezioni sul calcolo combinatorio che abbiamo impartito alle nostre classi del Liceo Scientifico ”A.Einstein” dal 1995 ad oggi. Il testo, corredato da numerosi esempi svolti ed
esercizi proposti, è rivolto agli studenti del Liceo e a chiunque è interessato all’analisi combinatoria. Al
lettore desideroso di approfondire le tematiche trattate si raccomanda la consultazione di testi specialistici
(Bibliografia).
Saranno graditi commenti, suggerimenti, correzioni, etc., che potranno essere inviati per email al seguente
indirizzo.
Ercole Suppa
[email protected]
iv
Rosanna Tupitti
[email protected]
Indice dei simboli
p, q
proposizioni
¬p
negazione di p (NOT)
p∧q
congiunzione logica di p e q (AND)
p∨q
disgiunzione logica di p e q (OR)
p⇔q
equivalenza logica
p⇒q
∀x
implicazione logica
per ogni x (quantificatore universale)
∃x
esiste qualche x (quantificatore esistenziale)
:=
indica che il simbolo alla sua sinistra è definito da ciò che è scritto alla sua destra
#
numero di
x∈A
x appartiene ad A
|
tale che
x 6∈ A
x non appartiene ad A
:
tale che
∅
insieme vuoto
Ω
insieme universo
B⊆A
B è un sottoinsieme di A
A∩B
intersezione di A e B: {x|(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
B⊂A
A∪B
ArB
A
B è un sottoinsieme proprio di A
unione di A e B: {x|(x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
differenza tra A e B: {x|(x ∈ A) ∧ (x 6∈ B)}
complementare di A: {x|(x ∈ Ω) ∧ (x 6∈ A)}
A×B
prodotto cartesiano di A e B: {(x, y)|(x ∈ A) ∧ (y ∈ B)}
R⊆A×A
R è una relazione sull’insieme A
R⊆A×B
R è una relazione tra A e B
P(A)
insieme delle parti (o sottoinsiemi) di A
y = f (x)
y è l’immagine di x tramite la funzione f
f (X)
data f : A → B ed X ⊆ A, f (X) = {f (x) : x ∈ X}
f :A→B
Im(f )
N
N0
f è una funzione da A verso B
data f : A → B, Im(f ) := f (A) = {f (x) : x ∈ A}
insieme dei numeri naturali: {0, 1, 2, 3, . . . }
insieme dei numeri naturali positivi: N0 = N r {0}
v
vi
Z
insieme dei numeri interi
Z+
insieme dei numeri interi positivi
Z−
insieme dei numeri interi negativi
Q
insieme dei numeri razionali
Q+
insieme dei numeri razionali positivi
Q−
insieme dei numeri razionali negativi
R
insieme dei numeri reali
R+
insieme dei numeri reali positivi
R−
n
P
insieme dei numeri reali negativi
somma dei termini x1 , x2 , . . . , xn
xi
i=1
a|b
a divide b, dove a, b ∈ Z ed a 6= 0
(a, b) := MCD(a, b)
massimo comun divisore di a e b
a∤b
a non divide b, dove a, b ∈ Z ed a 6= 0
[a, b] := mcm(a, b)
minimo comune multiplo di a e b
[x]
parte intera del numero reale x
(n)k
fattoriale decrescente di n, di lunghezza k
n!
n
k
n k
fattoriale di n
n
n1 , n2 , . . . , nk
PFC
numero di k-sottoinsiemi di un n-insieme (coefficiente binomiale)
numero di k-multinsiemi di un n-insieme
coefficiente multinomiale, dove n = n1 + n2 + · · · + nk
principio fondamentale del calcolo combinatorio
PIE
principio di inclusione esclusione
MO
Mathematical Olympiad
IMO
International Mathematical Olympiad
TST
Team Selection Test
ItaMO
Italian Mathematical Olympiad
ItaTST
Italian Team Selection Test
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
Capitolo 1
Il linguaggio della matematica
1.1
Elementi di teoria degli insiemi
Non daremo una definizione formale di insieme, che verrà invece assunto come concetto primitivo, cioè non
riconducibile a nozioni più elementari. Possiamo dare però la seguente definizione intuitiva:
Definizione 1.1.1. Un insieme è una collezione di oggetti.
Osserviamo che il termine oggetto è stato usato in modo informale, senza specificare cosa sia. Questa
descrizione di un insieme come una collezione di oggetti, basata sul concetto intuitivo di oggetto, fu formulata per la prima volta dal matematico tedesco George Cantor nel 1895. La teoria che si sviluppa a
partire da questa definizione di insieme e l’uso dell’idea intuitiva che, scelta una qualsiasi proprietà, vi sia
un insieme formato dagli oggetti che la soddisfano, conduce a delle contraddizioni chiamate paradossi o
antinomie. Il primo che evidenziò l’esistenza di tali antinomie fu il filosofo inglese Bertrand Russel nel 1902.
Il paradosso di Russell è considerato una delle più celebri antinomie della storia del pensiero logico e matematico: la sua scoperta ebbe ampia risonanza all’interno della comunità di studiosi che agli inizi del
Novecento si occupavano della sistemazione dei fondamenti della matematica. Il paradosso recita così:
Un villaggio ha tra i suoi abitanti uno ed un solo barbiere, uomo ben sbarbato. Sull’insegna del suo negozio
è scritto: il barbiere rade tutti, e unicamente, coloro che non si radono da soli. La domanda a questo punto
è: chi rade il barbiere?
Una semplice analisi dell’antinomia porta alla luce un’evidente contraddizione. Se infatti il barbiere si rade
da solo, violiamo la premessa secondo cui il barbiere, rasandosi, non raderebbe unicamente coloro che non si
radono da soli. Se invece il barbiere è raso da qualcun altro, si viola la premessa secondo cui il barbiere rade
tutti coloro che non si radono da soli: per dirla in altre parole, il barbiere se si rade da solo non dovrebbe
radersi, se non si rade da solo dovrebbe radersi. Eppure il barbiere è ben sbarbato . . .
Queste antinomie potrebbero essere evitate costruendo una teoria degli insiemi basata su opportuni assiomi
(teoria assioamtica degli insiemi ). Noi però adottermo la teoria degli insiemi sviluppata da Cantor (teoria
ingenua degli insiemi ), poichè tutti gli insiemi che considereremo in questo libro possono essere trattati in
maniera logica consistente anche senza ricorrere ad un’impostazione assiomatica.
Gli oggetti di un insieme sono chiamati elementi dell’insieme. Indicheremo abitualmente gli insiemi con
lettere maiuscole A, B, . . . e gli elementi di un insieme con lettere minuscole. scriveremo a ∈ A per indicare che a è un elemento dell’insieme A, mentre la notazione a 6∈ A sta ad indicare che a non è elemento
dell’insieme A.
Un insieme può essere indicato:
1
2
Capitolo 1
• elencando tra parentesi graffe i suoi elementi (rappresentazione tabulare), ad esempio A = {1, 2, 3}.
• specificando una proprietà caratteristica,
ossia una proprietà
soddisfatta da tutti e soli gli elementi
2
dell’insieme, ad esempio: A = x ∈ R|x − 5x + 6 = 0 .
• con una rappresentazione grafica (diagramma di Venn).
Valgono le seguenti definizioni:
• Un insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e si indica con ∅.
• Un insieme A si dice finito (infinito) se possiede un numero finito (infinito) di elementi.
• Un insieme avente un solo elemento si dice insieme puntiforme (o singleton).
• Due insiemi A e B si dicono uguali se e solo se hanno gli stessi elementi. Per indicare che A e B sono
uguali scriveremo A = B.
• Un insieme A si dice sottoinsieme di un insieme B se ogni elemento di A è anche elemento di B. Per
indicare che A è un sottoinsieme di B si usa la notazione A ⊆ B. Se A è un sottoinsieme proprio di
B, ossia se esiste almeno un elemento dell’insieme A che non appartiene a B, scriveremo A ⊂ B.
• I sottoinsiemi impropri di un insieme A sono ∅ ed A.
• Si dice insieme delle parti di un insieme Ω e si indica con P(Ω), la collezione di tutti i sottoinsiemi
di Ω. Ad esempio se Ω = {1, 2, 3} abbiamo:
P(Ω) = {∅, {1} , {2} , {3} , {1, 2} , {1, 3} , {2, 3} , {1, 2, 3}}
• Si definisce complementare di un insieme A (rispetto all’universo Ω) l’insieme A formato dagli elementi
di Ω che non appartengono ad A:
A := {x ∈ Ω | x 6∈ A}
• La differenza di due insiemi A e B, indicata con A r B, è l’insieme formato dagli elementi di A che
non appartengono a B:
A r B := {x ∈ A | x 6∈ B}
• L’unione di due insiemi A e B, indicata con A∪B, è l’insieme formato dagli elementi che appartengono
ad A o a B (o ad entrambi).
A ∪ B := {x ∈ Ω | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)}
• L’intersezione di due insiemi A e B, indicata con A ∩ B, è l’insieme formato dagli elementi che
appartengono sia ad A che a B:
A ∩ B := {x ∈ Ω | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)}
• Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune, ossia se A ∩ B = ∅.
• Il prodotto cartesiano di due insiemi A e B, indicato con A × B, è l’insieme formato da tutte le coppie
ordinate (a, b), dove il primo elemento varia in A ed il secondo varia in B:
A × B := {(x, y) | (x ∈ A) ∧ (y ∈ B)}
• Si dice ricoprimento di un insieme Ω una famiglia di suoi sottoinsiemi non vuoti la cui unione è Ω.
• Si dice partizione di un insieme Ω una famiglia di suoi sottoinsiemi non vuoti, a due a due disgiunti,
la cui unione è Ω.
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
3
Relazioni e funzioni
1.2
Relazioni e funzioni
Definizione 1.2.1. Dati due insiemi A e B si dice corrispondenza o relazione tra A e B un sottoinsieme
R del prodotto cartesiano A × B.
Definizione 1.2.2. Dato un insieme A si dice relazione su A un sottoinsieme R del prodotto cartesiano
A × A.
Definizione 1.2.3. Dati due insiemi A e B si dice funzione o applicazione da A in B una legge f che
associa ad ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B. L’insieme A è detto dominio, l’insieme B è
detto codominio e la funzione è indicata con f : A → B oppure con
f
A→B
Per ogni a ∈ A, l’elemento b ∈ B che in modo unico gli viene associato mediante la f è indicato con f (a) ed
è detto immagine di a tramite f . L’insieme delle immagini degli elementi di A è detto immagine della
funzione f ed è indicato con:
Im(f ) = f (A) = {f (a) | a ∈ A}
Si dice grafico della funzione f il seguente sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B
G = {(a, b) ∈ A × B | b = f (a)}
L’insieme di tutte le funzioni f : A → B si indica con F(A, B) oppure con B A .
Definizione 1.2.4. Una funzione f : A → B si dice iniettiva se elementi distinti di A hanno immagini
distinte. Pertanto la condizione di iniettività può essere espressa in una delle forme seguenti:
•
∀x, y ∈ A, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y)
•
∀x, y ∈ A, x = y ⇒ f (x) = f (y)
L’insieme di tutte le funzioni iniettive f : A → B si indica con I(A, B).
Definizione 1.2.5. Una funzione f : A → B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di
almeno un elemento di A, cioè se Im(f ) = B. In simboli la condizione di suiettività è:
∀b ∈ B, ∃a ∈ A | f (a) = b
L’insieme di tutte le funzioni suiettive f : A → B si indica con S(A, B).
Definizione 1.2.6. Una funzione f : A → B si dice biunivoca o biettiva se è contemporaneamente iniettiva
e suriettiva, cioè se ogni elemento di B è immagine di uno ed un solo elemento di A. In simboli la condizione
di biettività è :
∀b ∈ B, ∃! a ∈ A | f (a) = b
(il simbolo ∃! si legge: esiste un unico)
Una funzione biettiva f : A → A è detta una permutazione di A. L’insieme di tutte le funzioni biettive
f : A → B si indica con B(A, B).
Le funzioni iniettive, suiettive, biettive si chiamano anche, rispettivamente, iniezioni, suiezioni, biezioni.
E. Suppa, R. Tupitti
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4
Capitolo 1
1.3
Gli assiomi di Peano e il principio di induzione
L’insieme N = {0, 1, 2, 3, . . . } dei numeri naturali può essere definito mediante i seguenti postulati che
furono introdotti nel 1889 dal matematico torinese Giuseppe Peano.
Definizione 1.3.1. Esiste una terna (N, 0, S) verificante i seguenti assiomi:
(P1 ) N è un insieme e 0 ∈ N
(P2 ) S : N → N è un’applicazione da N in N chiamata ”successore”.
(P3 ) S è iniettiva
(P4 ) S(x) 6= 0 per ogni x ∈ N
(P5 ) Se A è un sottinsieme di N tale che
(i) 0 ∈ A
(ii) se x ∈ A ⇒ S(x) ∈ A
allora A = N.
L’insieme N è chiamato l’insieme dei numeri naturali.
I cinque assiomi di Peano definiscono l’insieme N in modo assiomatico, prescindendo dalla natura dei suoi
elementi: accettiamo (senza dimostrazione) l’esistenza di un insieme N verificante gli assiomi P1 -P5 . I
numeri naturali rimangono pertanto degli oggetti non definiti, però sono ben definite le loro proprietà che
costituiscono le fondamenta dell’intero edificio matematico. E’ possibile costruire un modello concreto dei
numeri naturali a partire dalla teoria assiomatica degli insiemi, ma non ci occuperemo di questo argomento.
L’assioma (P5 ) è chiamato principio di induzione e fornisce un metodo di dimostrazione di fondamentale
importanza in matematica. Vediamo in cosa consiste una dimostrazione con il metodo di induzione:
Induzione classica. Sia P (n) una famiglia di enunciati dipendenti da un parametro n ∈ N, che possono
essere veri o falsi a seconda del valore di n. Se dimostriamo che:
(i) P (0) è vera.
(ii) se P (n) è vera ⇒ P (n + 1) è vera.
allora possiamo affermare che P (n) è vera per ogni n ∈ N.
Terminologia. Generalmente il punto (i) si dice Passo base, il punto (ii) si dice Passo induttivo.
Osservazione 1.3.1. Dato k ∈ N, se sostituiamo (i) con: ”P (k) è vera”, allora possiamo affermare che
P (n) è vera per ogni n ≥ k.
Esempio 1.3.1. Dimostrare che per ogni n ≥ 1 vale la seguente identità:
P (n) :
1 + 2 + 3 + ··· + n =
n(n + 1)
2
Dimostrazione.
Passo base: P (1) è vera in quanto 1 =
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1(1+1)
.
2
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Gli assiomi di Peano e il principio di induzione
Passo induttivo: Se P (n) è vera allora
1 + 2 + 3 + · · · + n + (n + 1) =
(n + 1)(n + 2)
n(n + 1)
+ (n + 1) =
2
2
e quindi anche P (n + 1) è vera.
Per il principio di induzione P (n) è vera per ogni n ∈ N.
Osservazione 1.3.2. Possiamo visualizzare il principio di induzione con l’immagine di una sequenza di
pezzi di domino, posti verticalmente in equilibrio ad una distanza minore della loro altezza. Facendo cadere
il primo della fila, gli altri pezzi cadranno successivamente uno dopo l’altro (1.1):
1
2
3
4
5
Figura 1.1.
Osservazione 1.3.3. Il principio di induzione ammette le seguenti formulazioni equivalenti che, in alcune
dimostrazioni, possono essere più convenienti da utilizzare (per la dimostrazione consultare [24]):
Induzione forte. Sia P (n) una famiglia di enunciati dipendenti da un parametro n ∈ N, che possono
essere veri o falsi a seconda del valore di n. Se dimostriamo che:
(i) P (0) è vera.
(ii) se P (k) è vera per ogni k ∈ {1, 2, . . . , n} ⇒ P (n + 1) è vera.
allora P (n) è vera per ogni n ∈ N.
Principio del buon ordinamento. Se A ⊆ N è un sottoinsieme non vuoto allora A ammette un minimo,
ossia esiste un elemento m ∈ A tale che m ≤ a per ogni a ∈ A.
Principio della discesa infinita. Se {an } ⊆ N è una successione debolmente crescente di numeri naturali
allora an è costante da un certo punto in poi.
Esercizi
Esercizio 1.3.1. Dimostrare le seguenti identità:
➊
➋
➌
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2
12 + 22 + · · · + n2 =
13 + 23 + · · · + n3 =
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n(n + 1)(2n + 1)
6
2
n (n + 1)
4
Esercizio 1.3.2. Se a un numero reale diverso da 1
dimostrare che
1 + a + a2 + · · · + an =
an+1 − 1
a−1
Esercizio 1.3.3. Dimostrare la seguente identità:
2
1 · 2 + 2 · 3 + · · · + n(n + 1) =
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n(n + 1)(n + 2)
3
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6
Capitolo 1
Esercizio 1.3.4. Dimostrare che per ogni n ∈ N0 vale la Esercizio 1.3.17. Dimostrare che n3 − n è divisibile per
seguente identità:
3 per ogni n ∈ N.
1
3
n
n+2
2
+ 2 + 3 + ··· + n = 2 − n
2 2
2
2
2
Esercizio 1.3.18. Dimostrare che la somma dei cubi di
tre numeri naturali consecutivi è divisibile per 9.
Esercizio 1.3.5. Dimostrare la seguente identità:
1
1
1
1
n+1
· 1−
· 1−
· ··· · 1 − 2 =
1−
4
9
16
n
2n
Esercizio 1.3.19. Dimostrare che se n è un intero
positivo dispari allora n2 − 1 è divisibile per 8.
Esercizio 1.3.6. Dimostrare la seguente identità:
12 − 22 + 32 − · · · + (−1)n−1 n2 = (−1)n−1
n(n + 1)
2
Esercizio 1.3.7. Dimostrare la seguente identità:
1 × 1! + 2 × 2! + · · · + n × n! = (n + 1)! − 1
Esercizio 1.3.8. Dimostrare la seguente identità:
sen x + sen 2x + · · · + sen nx =
sen
sen (n+1)x
2
sen x2
nx
2
Esercizio 1.3.9. Dimostrare la seguente identità:
cos x + cos 3x + · · · + cos(2n − 1)x =
sen(2nx)
2 sen x
Esercizio 1.3.10. Trova una formula per
1
1
1
+
+ ··· +
1·2 2·3
n(n + 1)
esaminando i valori di questa espressione per piccoli valori
di n. Dimostrare la formula ottenuta.
Esercizio 1.3.20. Dimostrare che 5n − 1 è divisibile per
4 per ogni n ∈ N0 .
Esercizio 1.3.21. Dimostrare che 5n + 2 · 11n è divisibile
per 3 per ogni n ∈ N.
Esercizio
1.3.22. Dimostrare
ceh
i
numeri
1007, 10017, 100117, 1001117, . . . sono tutti divisibili per
53.
Esercizio 1.3.23. Dimostrare che per ogni n ≥ 8
l’equazione
3x + 5y = n
ammette soluzioni (x, y) ∈ N × N.
Esercizio 1.3.24. Dimostrare che un insieme di n
elementi ha 2n sottoinsiemi.
Esercizio 1.3.25. Dimostrare che ogni numero naturale
n ≥ 2 è prodotto di numeri primi. (Suggerimento: usare
l’induzione forte).
Esercizio 1.3.26. Dire qual è il maggior numero di parti
in cui il piano può essere suddiviso da n rette.
Esercizio 1.3.27. Dire qual è il maggior numero di parti
Esercizio 1.3.11. Dimostrare che per ogni n ∈ N vale la in cui il piano può essere suddiviso da n circonferenze.
disuguaglianza 2n ≥ n + 1.
Esercizio 1.3.28. In Sikinia ogni coppia di città è colEsercizio 1.3.12. Dimostrare che n! > 4n per ogni legata da esattamente una strada. Dimostra che esiste
n ≥ 9.
sempre una città che può essere raggiunta da ogni città
Esercizio 1.3.13. Dire per quali valori di n vale la direttamente o passando per al massimo un’altra città.
disuguaglianza 3n ≥ n + 4.
Esercizio 1.3.14. Dimostrare la seguente disuguaglianza
1
1
1
+ 2 + ··· + 2 < 2
2
1
2
n
Esercizio 1.3.29. Una cavalletta si trova sulla prima casella di una tabella 1 × n. Ogni minuto si sposta verso destra di 1 o 2 caselle. Dire in quanti modi può raggiungere
l’ultima casella.
Esercizio 1.3.30. n ≥ 2 persone siedono al ristorante ad
Esercizio 1.3.15. Dimostrare la disuguaglianza di
un tavolo rotondo. Si possono scegliere 3 menu. Nessuna
Bernoulli :
persona vuole mangiare lo stesso menu dei suoi due vici(1 + x)n ≥ 1 + nx
ni. In quanti modi possono ordinare i loro pranzi queste
persone? (Suggerimento: Per cominciare si deve pensare
per ogni n ∈ N e x ∈ R, x > −1.
a una formula ricorsiva, poi calcolare i primi termini delEsercizio 1.3.16. Dimostrare che se x+ x1 è intero allora la successione e trovare un modello. Infine dimostra per
xn + x1n è intero per ogni n ∈ N.
induzione la formula trovata.)
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Capitolo 2
Principi e tecniche combinatorie
2.1
Introduzione
Il calcolo combinatorio è la branca della matematica che si occupa del conteggio degli elementi di un insieme
finito, a partire da altri insiemi di cui è noto il numero degli elementi. I problemi di calcolo combinatorio
possono essere espressi nelle forme più varie e possono riferirsi agli argomenti più disparati, come appare
dai seguenti esempi:
➊ Quanti sono i triangoli che compaiono nella seguente figura (2.1):
Figura 2.1.
➋ Si disputa una partita a battaglia navale con uno schema di 10 righe (indicate da lettere dell’alfabeto)
e 12 colonne (indicate da numeri naturali). Quante sono le possibili chiamate?
➌ Quattordici Studenti devono sostenere un esame orale e segnano il loro nome su un foglio per stabilire
l’ordine delle interrogazioni. In quanti modi può essere compilata una tale lista?
➍ Stessa situazione dell’Esempio precedente. Si supponga ora che la Commissione Esaminatrice decida
di interrogare i Candidati in due giorni diversi, a gruppi di 7. In quanti modi può essere compilata la
lista degli Studenti da interrogare il primo giorno?
➎ Quante sono le possibili cinquine in un’estrazione del lotto su una ruota?
➏ Quanti sono i sottoinsiemi di un insieme di n elementi?
➐ Quanti sono i numeri di 10 cifre in cui compare tre volte la cifra 1, cinque volte la cifra 2, due volte
la cifra 3?
➑ Quante sono le possibili colonne della schedina del totocalcio?
7
8
Capitolo 2
➒ In quanti modi si possono collocare 20 biglie, fra loro uguali, in 5 scatole numerate?
➓ Quanti sono i numeri minori o uguali di 50, divisibili per 3 o per 5
Come appare chiaro dagli esempi precedenti lo scopo del calcolo combinatorio è quello di rispondere alla
domanda quanti sono? Un problema, per essere risolubile, deve essere formulato in maniera chiara e
inequivocabile. Solo dopo che sono stati stabiliti con chiarezza i termini del quesito, si può pensare alla sua
risoluzione.
Non esistono metodi generali per la risoluzione di ogni tipo di problema. In linea di principio, si potrebbe
pensare di contare uno alla volta tutti gli elementi dell’insieme, ma questo procedimento è, in genere,
sconsigliabile se non, addirittura, impraticabile. A volte, però, questa è l’unica via possibile.
Esempio 2.1.1. La figura (2.2) rappresenta la pianta di un labirinto. Un uomo parte da A e vuole arrivare
in M . Ogni volta che si trova ad un bivio, egli prende una delle strade possibili e la segue finché non scopre
che questa è chiusa oppure si vede costretto a percorrere un sentiero già utilizzato; in tal caso, ritorna
indietro fino a un bivio che gli permetta di seguire un nuovo cammino. Dopo quanti tentativi, al più, il
nostro esploratore raggiungerà la meta?
D
G
H
C
M
E
I
F
L
A
B
Figura 2.2.
Soluzione. Rappresentiamo i bivi con dei punti del piano e congiungiamo con degli archi quelli che indicano
incroci uniti da sentieri. Si ottiene così il seguente grafo:
D
G
H
E
C
F
J
I
B
L
A
K
M
Figura 2.3.
Non ci resta che annotare uno alla volta i percorsi possibili: ABA, ACDC, CEF E, EGHIGI, IJHJ,
JKLK, KM. I tentativi sono perciò, al massimo, 7.
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9
Tecniche elementari di enumerazione
Vogliamo imparare qualche strategia più razionale e redditizia ma, proprio per questo, meno universale.
A parte i casi più semplici e immediati, per arrivare al risultato è, quasi sempre, opportuno scindere il
problema in altri più semplici e riconducibili ai Problemi Tipo che esporremo tra poco.
Un problema di conteggio presenta, di regola, due ordini di difficoltà: quali sono gli elementi da contare
e, poi, quanti sono. Solo il secondo punto è di pertinenza del Calcolo Combinatorio; il primo è di natura
completamente diversa e può essere legato al modo di esprimersi o a questioni proprie di scienze diverse
(matematiche e non).
2.2
Tecniche elementari di enumerazione
Un insieme con un numero finito di elementi si dice un insieme finito. Diciamo che un insieme A ha
cardinalità n, e scriviamo |A| = n , se A è formato da n elementi . Un insieme A di cardinalità n è detto
un n-insieme e può essere messo in corrispondenza biunivoca con l’insieme I(n) = {1, 2, · · · , n}.
Dati due insiemi finiti A e B, sussistono le seguenti proprietà:
• |∅| = 0
• A ⊆ B ⇒ |A| ≤ |B|
• Corrispondenza Biunivoca. Due insiemi finiti A e B hanno la stessa cardinalità se e solo se esiste
una funzione biettiva f : A → B .
• Regola della somma. Se A e B sono disgiunti : |A ∪ B| = |A| + |B|
• Principio di inclusione esclusione (PIE).
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Infatti (Fig.2.4) l’espressione che compare nel secondo membro conta una volta ogni elemento che
si trova in esattamente uno dei due insiemi A, B, conta due volte ogni elemento che si trova
nell’intersezione, una volta considerandolo come elemento di A e un’altra volta come elemento di
B.
C
A
B
A
Figura 2.5.
Figura 2.4.
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B
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10
Capitolo 2
Il PIE è valido anche per tre (Fig.2.5) o più insiemi. Per tre insiemi finiti A, B, C si ha:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
(*)
Il numero :
|A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C|
conta:
– una volta ogni elemento che si trova in esattamente uno dei tre insiemi A, B, C.
– una volta ogni elemento che si trova nell’intersezione di due degli insiemi A, B, C.
– zero volte ogni elemento che si trova in A ∩ B ∩ C.
e da ciò discende la formula (*).
Formula generale di inclusione-esclusione. Non è difficile convincersi che la formula generale
per contare gli elementi che si trovano nell’unione di n insiemi finiti A1 , A2 , ·, An è :
X
1≤i≤n
|Ai | −
X
1≤i<j≤n
|Ai ∩ Aj | + · · · + (−1)n+1 |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An |
• Regola del complementare. Invece di contare gli elementi di un insieme A, contenuto in un insieme
Ω di n elementi, può essere talvolta più semplice contare gli elementi del complementare di A rispetto
a Ω e poi sottrarre il numero così trovato da n:
|A| = |Ω| − A
• Regola del prodotto. Il prodotto cartesiano A × B di due insiemi A , B di rispettive cardinalità
m, n ha cardinalità :
|A × B| = |A| · |B| = m · n
La regola del prodotto si generalizza in modo ovvio al prodotto cartesiano di più insiemi: se A1 , A2 , · · · , Ak
sono k insiemi di rispettive cardinalità n1 , n2 , · · · , nk si ha :
|A1 × A2 × · · · × Ak | = n1 · n2 · · · nk
• Principio fondamentale del calcolo combinatorio (PFC). La regola del prodotto può essere
formulata anche nella seguente forma alternativa che si rivela utile in moltissime applicazioni:
Supponiamo che un problema P possa essere scomposto in k sottoproblemi indipendenti P1 ,P2 , · · · ,
Pk . Se il sottoproblema P1 può essere risolto in n1 modi, il sottoproblema P2 in n2 modi, · · · , il
sottoproblema Pk in nk modi, allora il problema P può essere risolto in n1 · n2 · · · nk modi.
P
P1
P2
*
*
n1
n2
...
...
...
Pk
*
nk
Figura 2.6.
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11
Metodo del doppio conteggio
2.3
Metodo del doppio conteggio
In combinatoria, il metodo del doppio conteggio (double counting), detto anche principio di Fubini , è una
tecnica di dimostrazione che consiste nel contare in due modi diversi gli elementi di un insieme con lo scopo
di mostrare che le due espressioni risultanti sono uguali: un insieme finito Ω viene descritto in due modi
diversi che conducono a due diverse espressioni, ognuna delle quali sarà uguale a |Ω|. Questa tecnica, che
viene usata con successo anche per dimostrare identità combinatorie, può essere formalizzata nel modo
seguente:
Teorema 2.3.1 (Double counting). Siano dati due insiemi finiti A = {a1 , a2 , . . . , am }, B = {b1 , b2 , . . . , bn }.
Se S ⊆ A × B abbiamo
n
m
X
X
|S(∗, bj )|
|S(ai , ∗)| =
|S| =
j=1
i=1
dove
S(ai , ∗) = {(a, b) ∈ S | a = ai }
,
S(∗, bj ) = {(a, b) ∈ S | b = bj }
Dimostrazione. Consideriamo la matrice M = (xij ) di tipo m × n definita da
(
1 se (ai , bj ) ∈ S
xij =
0 se (ai , bj ) ∈
/S
Allora |S(ai , ∗)| è la somma degli elementi della i-esima rigaPed analogamente
Pn|S(∗, bj )| è la somma degli
elementi della j-esima colonna. Pertanto entrambe le somme m
|S(a
,
∗)|
e
i
i=1
j=1 |S(∗, bj )| rappresentano
la somma di tutte le entrate della matrice M e da ciò segue la tesi.
Esempio 2.3.1. Dimostrare l’identità:
1 + 2 + 3 + ··· + n =
n(n + 1)
2
Soluzione. Consideriamo una griglia quadrata formata da (n + 1) × (n + 1) punti (Fig.2.7 con n = 6):
1
2
3
4
5
Figura 2.7.
Il numero di punti sulla diagonale è esattamente n + 1 e, chiaramente, il numero S di punti che sono sotto
della diagonale è uguale al numero di punti che sono sopra. Contando in due modi il numero totale di punti
abbiamo:
n(n + 1)
(n + 1)2 = n + 1 + 2S =⇒ S =
2
e quindi, essendo S = 1 + 2 + 3 + · · · + n, otteneniamo l’identità richiesta.
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12
Capitolo 2
Esempio 2.3.2. Dimostrare l’identità:
1 + 3 + 5 + · · · + 2n − 1 = n2
Soluzione. E’ sufficiente contare in due modi i punti della seguente figura:
1
3
5
...
2n-1
Figura 2.8.
Esempio 2.3.3. Sia G = (V, E) un grafo semplice finito in cui V rappresenta l’insieme dei vertici ed
E l’insieme dei lati. Si definisce grado d(v) di un vertice v il numero di lati incidenti con il vertice v.
Dimostrare che:
X
d(v) = 2 |E|
v∈V
Soluzione. Consideriamo l’insieme S ⊆ V × E formato da tutte le coppie (v, e) tali che v è un vertice di
e. Contando |S| in due modi si ottiene sia
X
|S(v, ∗)| =
d(v)
v∈V
in quanto per ogni vertice v vi sono d(v) coppie aventi v come primo elemento, sia
|S(∗, e)| = 2 |E|
in quanto ogni lato ha due vertici. Uguagliando le due espressioni otteniamo la tesi.
Esempio 2.3.4. Sia data una scacchiera con n righe e 17n colonne; sulle sue caselle sono disposti dei
pedoni in questo modo: su ogni colonna ci sono 3 pedoni, su ogni riga c’è un numero diverso di pedoni,
compreso tra 1 ed n. Quanto vale n?
Soluzione. Contiamo i pedoni presenti sulla scacchiera in due modi diversi: contando per colonne abbiamo
. Uguagliando
che i pedoni sono 51n, contando per righe abbiamo che i pedoni sono 1 + 2 + · · · + n = n(n+1)
2
le due espressioni otteniamo
n(n + 1)
=⇒
n = 103
51n =
2
Esempio 2.3.5. Un quadrato 15 × 15 è ricoperto con quadrati unitari. Ogni vertice è colorato in rosso o
in blu. Vi sono in tutto 133 punti rossi. Due di questi punti rossi sono angoli del quadrato originario ed
altri 32 punti rossi sono sui lati. I lati dei quadrati unitari sono colorati rispettando la seguente regola: se
entramboi gli estremi sono rossi il lato è colrato rosso, se entrambi sono blu il lato è colorato blu, se uno
è rosso e l’altro blu il lato è colorato giallo. Sapendo che vi sono 196 lati gialli, determinare il numero di
segmenti blu.
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13
Metodo del doppio conteggio
Soluzione. Vi sono 15 lati di quadrati unitari in ogni riga e vi sono 16 righe. Quindi vi sono 15 · 16 lati
orizzontali di quadrati unitari. Analogamente vi sono 15 · 16 lati verticali di quadrati unitari. Complessivamente vi sono allora 30 · 16 = 480 lati. Allora 480 − 196 = 284 lati sono rossi o blu. Assumiamo che r
siano rossi e 284 − r blu. Ora contiamo in due modi diversi il numero |S| di occorrenze di vertici rossi come
estremi di lati unitari. Poichè vi sono 2 occorrenze per ogni lato rosso e 1 occorrenza per ogni lato giallo,
abbiamo:
|S| = 2r + 196
D’altra parte, ogni vertice rosso appare 2,3,4 volte a seconda che si trova in un angolo, su un lato o all’interno
del del quadrato originale. Pertanto
|S| = 2 · 2 + 32 · 3 + (133 − 2 − 32) · 4 = 496
Uguagliando le due espressioni trovate abbiamo:
2r + 196 = 496
=⇒
r = 150.
Pertanto vi sono 284 − 150 = 134 lati blu.
Esempio 2.3.6. In un poliedro convesso con m facce triangolari (ed eventualmente facce di altre forme)
in ogni vertice concorrono 4 spigoli. Trova il minimo valore possibile di m.
Soluzione. Siano rispettivamente F , V , S il numero di facce, di vertici e di spigoli del poliedro. Per
ogni spigolo contiamo i suoi due vertici. Poichè ogni vertice appartiene esattamente a 4 spigoli abbiamo
2S = 4V . Dalla relazione di Eulero F + V = S + 2, essendo 2S = 4V , discende che
2S = 4F − 8
(2.1)
2S > 3m + 4(F − m)
(2.2)
Contando gli spigoli di ogni faccia e sommando rispetto a tutte le facce otteniamo un totale di almeno
3m + 4(F − m) spigoli e, dato che in questo modo ogni lato viene contato due volte, risulta
Da (2.1) e (2.2) abbiamo che
4F − 8 = 2S > 3m + 4(F − m)
=⇒
m>8
L’uguaglianza m = 8 si verifica se e solo se ogni faccia del poliedro è un triangolo o un quadrilatero. Un
ottaedro regolare fornisce un esempio di un tale poliedro e ciò prova che il valore m = 8 è realizzabile. Esempio 2.3.7. Ad una gara partecipano n studenti, e vengono proposti m problemi. Alla fine ogni
studente ha risolto esattamente la metà dei problemi, inoltre ogni problema è stato risolto lo stesso numero
di volte. Infine si sa che per ogni coppia di studenti, esattamente 3 problemi sono stati risolti da entrambi.
Determinare tutte le possibili coppie (m, n), dando per ciascuna un esempio costruttivo. (Giappone 1993)
Soluzione. Il numero complessivo dei problemi risolti può essere calcolato in due modi:
m
2
in quanto ognuno degli n studenti risolve
m
2
problemi;
•
n·
•
mt dove t indica il numero di volte che ogni problema è stato risolto.
Uguagliando le due espressioni abbiamo:
m
n
= mt
=⇒
t=
2
2
Sia A = l’insieme dei problemi e sia B l’insieme delle coppie di studenti. Diciamo che un problema p e una
coppia (x, y) di studenti sono connessi se il problema p è stato risolto entrambi x ed y. Consideriamo ora
il seguente sottinsieme di A × B
n·
S = {(p, (x, y)) ∈ A × B | p è connesso ad (x, y)}
e calcoliamone la cardinalità con il metodo del double counting. A tal fine osserviamo che
• |S(∗, (x, y))| = 3 in quanto ogni coppia di studenti risolve esattamente 3 problemi;
• |S(p, ∗)| = n/2
in quanto ogni problema è risolto da n2 studenti.
2
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14
Capitolo 2
Pertanto
X
p∈A
n/2
|S(p, ∗)| = m
2
e quindi
n
|S(∗, (x, y))| = 3
2
X
,
(x,y)∈B
n/2
n
m
=3
2
2
=⇒
m = 12 +
12
n−2
(2.3)
Le uniche soluzioni in interi positivi della (2.3) sono (13, 14), (14, 8), (15, 6), (18, 4). Dato che m ed n
devono essere pari le soluzioni accettabili sono soltanto (18, 4) e (14, 8). Entrambe le configurazioni sono
realizzabili, come mostrano gli esempi seguenti (Tabelle 2.1, 2.2):
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
Tabella 2.1. m = 18, n = 4
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
1
Tabella 2.2. m = 14, n = 8
Esempio 2.3.8 (IMO 2001). Siano t1 , t2 , . . . , tn dei numeri interi con n dispari. Sia x = (x1 , x2 , . . . , xn )
una permutazione degli interi 1, 2, . . . , n e sia f (x) = t1 x1 + t2 x2 + · · · + tn xn . Dimostrare che esistono due
permutazioni distinte a e b tali che f (a) − f (b) è divisibile per n!.
Soluzione. Supponiamo per assurdo che la tesi sia falsa. Allora prese due qualsiasi permutazioni distinte
x ed y, f (x) e f (y) devono avere resti distinti nella divisione per n!, altrimenti si avrebbe n! | f (x) − f (y).
Contiamo in due modi diversi la somma S dei resti delle f (x) al variare di x nell’insieme di tutte le
permutazioni di 1, 2, . . . , n. Dato che ogni permutazione deve dare un resto diverso e che le permutazioni
sono complessivamente n! abbiamo:
S = 1 + 2 + · · · + (n! − 1) =
n!(n! − 1)
2
e da ciò deduciamo che la somma S non è divisibile per n!, dato che n! − 1 è dispari. Ora calcoliamo la
somma S in quest’altro modo: ogni ti verrà moltiplicato per ogni intero j compreso tra 1 ed n tante volte
quante sono le permutazioni che mettono j all’i-esimo posto, ovvero per (n − 1)!, pertanto abbiamo
S=
X
i
ti (n − 1)!(1 + 2 + · · · + n) =
X n!(n + 1)
n!(n + 1) X
=
ti
ti
2
2
i
i
e allora, dato che n + 1 è per ipotesi pari, abbiamo che S è divisibile per n!, il che è assurdo.
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15
Metodo del doppio conteggio
Esempio 2.3.9. Sia X un insieme di n persone tali che:
(i) ogni persona conosce esattamente 8 persone in X;
(ii) ogni due persone che si conoscono fra loro hanno esattamente 5 conoscenti comuni in X;
(iii) ogni due persone che non si conoscono fra loro hanno esattamente 2 conoscenti comuni in X;
Determinare n.
Soluzione. Contiamo in due modi diversi la cardinalità dell’insieme S formato dalle triple ordinate (a, x, y)
di elementi di X tali che a, x si conoscono, x, y si conoscono ed a, y non si conoscono. Il primo elemento a
può essere scelto in n modi, quindi
• il secondo elemento x può essere scelto in 8 modi, il terzo elemento y, una volta scelti a ed x, può
essere scelto in 8 − 1 − 5 = 2 modi dato che a ed x hanno esattamente 5 conoscenti in comune.
Pertanto |S| = 16n.
• il terzo elemento y può essere scelto in n − 1 − 8 = n − 9 modi, il secondo elemento x, una volta
scelti a ed y, può essere scelto in 2 modi dato che a ed y hanno esattamente 2 conoscenti in comune.
Pertanto |S| = 2n(n − 9).
Uguagliando le due espressioni ottenute si trova che n = 17.
Esercizi
Esercizio 2.3.1. Trova il numero di triangoli e di saluti con entrambi è lo stesso. Quante persone vi sono
nel meeting? (Provare con un esempio che la tua risposta
diagonali in una triangolazione di un n-agono.
Esercizio 2.3.2. In ogni cella di una griglia 5 × 5 viene può essere realizzata).
scritto +1 o −1. Viene calcolato il prodotto dei valori in Esercizio 2.3.8. Dimostrare le seguenti identità:
ogni riga e in ogni colonna. Dire se la somma di questi
n
n−1
➊
k
=
n
10 valori può essere uguale a 0.
k
k−1
Esercizio 2.3.3. 25 persone formano diverse commission
n
n
➋
1·
+2·
+ ··· + n ·
= n · 2n−1
ni. Ogni commissione ha 5 membri e ogni 2 commis1
2
n
sioni hanno al più un membro in comune. Determina il
n X
n
n
n−k
massimo numero di commissioni.
= 2m
➌
m
k
m
−
k
Esercizio 2.3.4. Sia M un insieme con 7 elementi e siano
k=0
A1 , A2 , . . . , A7 dei sottinsiemi di M tali che:
➊ ogni Ai ha almeno tre elementi;
➋ ogni coppia di elementi di M è contenuta in
esattamente un Ai .
Dimostra che ogni coppia di sottinsiemi Ai e Aj hanno
esattamente un elemento in comune.
Esercizio 2.3.9. Ad un torneo di basket partecipano n
squadre ed ogni squadra gioca una volta con tutte le altre.
Non esiste il pareggio. Al termine del torneo, comunque si
prendano due squadre A, B ci sono esattamente t squadre
che sia A che B hanno battuto, Dimostrare che n = 4t+3.
(Iran 2004, Round 1; Italia, Winter Campus 2006 )
Esercizio 2.3.10. In uno stato ci sono 2000 città. Alcune di esse sono collegate da una rotta aerea (andata e
ritorno). Si sa che, per ogni città A, il numero delle città
collegate con A tramite una rotta aerea è una potenza di
2 (1, 2, . . . , 1024). Indichiamo con F l’insieme delle coppie
ordiante (A, B) di città per cui è possibile andare da
Esercizio 2.3.6. Siano a1 , a2 , . . . , a100 e b1 , b2 , . . . , b100
A
a
B con alpiù due voli. Per ogni coppia (A, B) ∈ F
200 numeri reali distinti. Costruire una tabella 100 × 100
indichiamo
con S(A, B) il numero di percorsi che conavente ai + bj nella casella che si trova all’incrocio della
giungono
A
e B costituiti da al più due voli. Dimostrare
riga i e della colonna j. Supponiamo che il prodotto dei
che
non
è
possibile
che si abbia
termini di ogni colonna è 1. Dimostrare che il prodotto
X
dei termini di ogni riga è uguale a −1
S(A, B) = 10000
Esercizio 2.3.7. In un meeting di 12k persone, ogni per(A,B)∈F
sona scambia saluti con esattamente 3k + 6 altre persone.
(Stage PREIMO 2007 )
Per ogni due persone, il numero di coloro che scambiano
Esercizio 2.3.5. Nella Duma vi sono 1600 delegati, che
hanno formato 16000 commissioni di 80 persone ognuna. Dimostra che esistono due commissioni aventi almeno
quattro elementi in comune. (Russia 1996 ).
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16
Capitolo 2
2.4
Principio dei cassetti
La più semplice forma del principio dei cassetti è la seguente:
Teorema 2.4.1 (Principio dei cassetti). Se almeno n + 1 oggetti sono distribuiti in n scatole, qualche
scatola deve contenere almeno 2 oggetti.
Dimostrazione. Ragioniamo per assurdo. Denotiamo con mi , (i = 1, 2, . . . , n) il numero degli oggetti
contenuti nella i-esima scatola e assumiamo che il principio non sia vero, cioè che mi 6 1 per ogni i =
1, 2, . . . , n. Allora
n + 1 = m1 + m2 + · · · + mn 6 1| + 1 +
{z· · · + 1} = n
n
il che è impossibile.
Tale principio, detto anche pigeonhole principle o principio di Dirichlet 1 , ammette altre formulazioni
equivalenti:
• Se più di n piccioni si dispongono in n buchi allora almeno due piccioni devono occupare lo stesso
buco (versione base).
• Se A e B sono due insiemi finiti ed A possiede più elementi di B allora per ogni regola che associa ad
elementi dell’insieme A elementi dell’insieme B vi sono almeno due elementi di A ai quali è associato
uno stesso elemento di B.
• Se A e B sono insiemi finiti ed A ha cardinalità maggiore di B allora ogni funzione f : A → B non
può essere iniettiva, ossia esistono a1 , a2 ∈ A con a1 6= a2 tali che f (a1 ) = f (a2 ).
• Sia A un insieme finito e siano B1 , B2 , . . . , Bn dei sottoinsiemi di A. Se la somma delle cardinalità
di B1 , B2 , . . . , Bn è maggiore del numero degli elementi di A allora almeno due di questi sottoinsiemi
hanno un elemento in comune.
• Principio dei cassetti (versione estesa) : Se kn + 1 piccioni si dispongono in n buchi allora qualche
buco conterrà almeno k + 1 piccioni.
• Se A e B sono insiemi finiti aventi rispettivamente m ed n elementi e k è un intero positivo tale che
m > kn, allora per ogni funzione f : A → B vi sono almeno k + 1 elementi di A aventi la stessa
immagine.
• Principio dei cassetti (versione infinita) : Se A è un insieme infinito e B è un insieme finito, allora
per ogni funzione f : A → B vi sono infiniti elementi di A aventi la stessa immagine.
• Principio dei cassetti (prima versione geometrica) : Se diversi segmenti tali che la somma delle loro
lunghezze è maggiore di ℓ sono contenuti in un segmento di lunghezza ℓ allora vi sono almeno due di
essi aventi un punto in comune.
• Principio dei cassetti (seconda versione geometrica) : Se diversi archi di circonferenza tali che la
somma delle loro lunghezze è maggiore di 2π sono disposti su una circonferenza di raggio 1 allora vi
sono almeno due archi aventi un punto in comune.
• Principio dei cassetti (terza versione geometrica) : Se diverse figure piane tali che la somma delle loro
aree è maggiore di S sono contenuti in una figura di area S allora vi sono almeno due figure aventi
un punto in comune.
Il principio dei cassetti si applica frequentemente nei problemi di esistenza relativi ad insiemi finiti e da
luogo a soluzioni rapide ed eleganti. La sua applicazione si articola generalmente in tre fasi:
1
In onore del matematico tedesco del XIX secolo, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, che ne fece ampio uso.
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Principio dei cassetti
• Riconoscere che il problema può essere affrontato con il principio dei cassetti.
• Individuare gli oggetti ed i cassetti (questa è spesso la fase cruciale).
• Completare la dimostrazione (in quanto spesso il principio dei cassetti consente di dimostrare il
penultimo passo o un passo intermedio).
Riportiamo alcuni problemi risolti applicando il principio dei cassetti.
Esempio 2.4.1. Ogni punto del piano è colorato in rosso o in blu.
colorazione, esistono due punti a distanza 1 aventi lo stesso colore.
Dimostrare che, per qualunque
Soluzione. Si consideri un triangolo equilatero con i lati di lunghezza 1. Vi sono tre vertici ma solo due
colori disponibili quindi, per il principio dei cassetti, vi sono almeno due vertici aventi lo stesso colore. Esempio 2.4.2. Dati n + 1 interi positivi dimostrare che tra essi ve ne sono almeno due la cui differenza
è un multiplo di n.
Soluzione. Dividiamo per n ciascuno dei numeri dati. Poichè il resto di ogni divisione è un numero
compreso tra 0 ed n − 1, per il principio dei cassetti vi saranno almeno due numeri che, divisi per n, hanno
lo stesso resto: la loro differenza pertanto risulta divisibile per n.
Esempio 2.4.3. Dati n numeri interi a1 , a2 , . . . , an (non necessariamente distinti) esiste sempre un sottinsieme di questi numeri la cui somma è divisibile per n.
Soluzione. Consideriamo gli n numeri:
s1 = a 1
,
s2 = a 1 + a 2
,
s3 = a 1 + a 2 + a 3
,
...
,
sn = a 1 + a 2 + · · · + a n
Se uno di questi numeri è divisibile per n abbiamo terminato. Altrimenti tutti i loro resti nella divisione
per n sono diversi da 0. Poichè vi sono n − 1 resti possibili, vi sono due numeri, diciamo si ed sj con i < j,
che divisi per n danno lo stesso resto. Allora la differenza
si − sj = ai+1 + · · · + aj
è divisibile per n e la proprietà richiesta è dimostrata.
Esempio 2.4.4 (Cesenatico 1998). Dimostrare che in ogni poliedro convesso ci sono almeno due facce
con lo stesso numero di lati.
Soluzione. Sia n il numero di facce del poliedro. Poiché lati distinti di una faccia confinano con facce
distinte, ciascuna faccia può avere un numero di lati compreso tra 3 ed n − 1. Per il principio dei cassetti
vi devono essere almeno due facce con lo stesso numero di lati.
Esempio 2.4.5 (IMO 1972). Sia Ω un arbitrario insieme formato da 10 numeri naturali tutti minori di
100. Dimostrare che è sempre possibile trovare due sottinsiemi disgiunti A, B ⊆ Ω tali che la somma degli
elementi di A sia uguale a quella degli elementi di B.
Soluzione. Si devono trovare due sottoinsiemi i cui elementi hanno la stessa somma, per cui è ragionevole
considerare i sottonsiemi come oggetti e le somme come cassetti. La più piccola e la più grande delle somme
possibili valgono 1 e 90 + 91 + · · · + 99 = 945 rispettivamente. Di conseguenza vi sono 945 differenti somme
(cassetti). Il numero di sottinsiemi (oggetti) è 210 = 1024 e quindi, per il principio dei cassetti, vi devono
essere due sottinsiemi A e B per cui si ottiene la stessa somma. Se A e B sono disgiunti la tesi è dimostrata,
altrimenti basta rimuovere da A e da B gli elementi comuni per avere due insiemi A′ e B ′ verificanti la
proprietà richiesta.
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Capitolo 2
Esercizi
Esercizio 2.4.1. Prova che in un gruppo di 13 persone
almeno due festeggiano il compleanno nello stesso mese.
Esercizio 2.4.2. Prova che in un gruppo di 367 persone
almeno due di esse sono nate nello stesso giorno dell’anno.
Esercizio 2.4.3. In ogni insieme di almeno 12 numeri
interi, ne esistono almeno due la cui differenza è divisibile
per 11.
Esercizio 2.4.4. Prova che esiste un numero della forma
48814881 . . . 4881 . . . 000 . . . 0 che è divisibile per 1999.
Esercizio 2.4.16. Prova che dati 52 numeri interi, esistono almeno due di essi la cui somma o la cui differenza
è divisibile per 100.
Esercizio 2.4.17. Prova che in ogni insieme di 27 numeri dispari tutti minori di 100, vi è una coppia di numeri
avente per somma 102. Quanti insiemi di 26 numeri si
possono scegliere in modo tale che in essi non vi sia nessuna coppia di elementi avente per somma 102. (American
Mathematical Olympiad 1981 )
Esercizio 2.4.18. Prova che un insieme formato da 17
Esercizio 2.4.5. Prova che fra gli abitanti di Roma numeri interi contiene 5 numeri tali che la loro somma è
vi sono almeno due persone aventi lo stesso numero di divisibile per 5.
capelli.
Esercizio 2.4.19. Prova che un insieme Ω avente n elementi
contiene un sottinsieme non vuoto la somma dei
Esercizio 2.4.6. Ogni punto del piano è colorato di roscui
elementi
è divisibile per n.
so o di blu. Dimostra che esiste un triangolo equilatero
avente tutti vertici di uno stesso colore.
Esercizio 2.4.20. Prova che, scelti comunque n + 1 nuEsercizio 2.4.7. Ogni punto del piano è colorato di rosso
o di blu. Dimostra che esiste un rettangolo avente tutti i
vertici di uno stesso colore.
meri interi compresi tra 1 e 2n, ne esistono tre (non necessariamente distinti) tali che uno di essi è uguale alla
somma degli altri due.
Esercizio 2.4.8. Prova che, comunque si scelgono 10 Esercizio 2.4.21. Prova che esiste una potenza di 7 che,
punti in un triangolo equilatero di lato 1, vi sono almeno scritta nel sistema di numerazione decimale, termina con
00000001.
due di essi la cui distanza non supera 31 .
Esercizio 2.4.9. Prova che, comunque si scelgono 25
punti in un rettangolo 6 × 16,
√ vi sono almeno due di essi
la cui distanza non supera 2 2.
Esercizio 2.4.22. Sia A un insieme formato da 101 numeri interi positivi ognuno dei quali è minore o uguale di
200. Prova che in A vi sono almeno due elementi uno dei
quali è divisore dell’altro.
Esercizio 2.4.10. Dati 101 punti in un quadrato di lato
1, dimostrare che è possibile sceglierne tre che formano Esercizio 2.4.23. Sia A un insieme di 75 interi positi1
vi non superiori a 100. Prova che esistono almeno due
.
un triangolo con area minore o uguale di 100
elementi di A che differiscono di 13. Prova che per ogni
Esercizio 2.4.11. In una sala vi sono 81 studenti. I ca- intero positivo k 6 49 esistono almeno due elementi di A
pelli di ciascuno studente sono neri, biondi, castano, grigi. che differiscono di k.
Prova che vi sono almeno 21 persone aventi i capelli dello
Esercizio 2.4.24. Provare che ogni sottoinsieme di 55
stesso colore.
numeri, compresi tra 1 e 100, contiene due numeri che
Esercizio 2.4.12. Prova che in un gruppo di sei persone differiscono di 9.
vi sono almeno tre persone che si conoscono a due a due
Esercizio 2.4.25. Dimostra che, per ogni intero positivo
o che sono a due a due estranee.
n, esistono due interi p, q tali che 1 6 q 6 n e
Esercizio 2.4.13. Prova che in un qualsiasi gruppo di
√
persone ve ne sono almeno due che hanno lo stesso numero
2− p < 1 q
qn
di amici, nel gruppo stesso.
Esercizio 2.4.14. In un cassetto ci sono 6 paia di calzini, uno per colore. Qual è il minimo numero di calzini da
prendere per esser certi che fra questi ve ne siano almeno
due dello stesso colore?
Esercizio 2.4.15. Diciassette persone corrispondono per
lettera , ogni persona con tutte le altre. Nelle loro lettere sono discussi solo tre argomenti diversi. Ogni coppia di persone tratta con uno solo di questi argomenti. Prova che esistono almeno tre persone che si scrivono tra loro tutte sullo stesso argomento. (International
Mathematical Olympiad 1964 )
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Esercizio 2.4.26. Siano dati n numeri primi
p1 , p2 , . . . , pn e sia P l’insieme di tutti gli interi positivi i cui divisori primi sono compresi tra p1 , p2 , . . . , pn .
Prova che, comunque si scelgono 2n + 1 elementi dall’insieme P , fra di essi ve ne sono almeno due il cui prodotto
è un quadrato perfetto.
Esercizio 2.4.27. 101 punti sono disposti nel piano in
modo tale che, comunque se ne scelgono tre di essi, ve ne
sono due la cui distanza è minore di 1. Prova che esistono 51 di questi punti che possono essere ricoperti con un
cerchio di raggio 1.
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19
Principio dei cassetti
Esercizio 2.4.28. Un medico che sta sperimentando una
nuova medicina da istruzione a un paziente di prendere
48 pillole per un periodo di 30 giorni. Il paziente è libero
di distribuire le pillole come gli pare durante tale periodo
purchè ne prenda almeno una al giorno e finisca tutte le
48 pillole nel corso di 30 giorni. Dimostrare che, indipendentemente da come il paziente decide di assumere le
pillole, ci sarà un intervallo di giorni consecutivi in cui il
numero totale di pillole prese sarà esattamente 11.
Esercizio 2.4.29. Uno studente ha 37 giorni per preparare un esame. Dall’esperienza passata egli ritiene che
saranno sufficienti 60 ore di studio. Egli decide di studiare almeno un’ora al giorno. Provare che, comunque
lo studente distribuisce le ore di studio, esiste una successione di giorni consecutivi durante i quali egli studia
esattamente 13 ore.
Esercizio 2.4.30. Prova che tra sette numeri naturali
distinti non superiori a 126 ve ne sono almeno due, m ed
n tali che 1 < m
n 6 2.
Esercizio 2.4.40. Comunque si scelgono n+1 interi dall’insieme {1, 2, . . . , 2n} fra di essi ve ne sono almeno due
che risultano primi fra loro.
Esercizio 2.4.41. Sia n un intero positivo che non è divisibile per 2 e per 5. Prova che esiste un multiplo di n
avente tutte le cifre uguali a 1.
Esercizio 2.4.42. Prova che esistono tre numeri interi
a, b, c non tutti nulli ed ognuno di valore assoluto minore
di 1000000, tali che
√
√ a + b 2 + c 3 < 10−11
Esercizio 2.4.43. Presi a caso 606 punti in un quadrato di lato 1, prova che almeno 6 di essi possono essere
1
ricoperti con un cerchio di raggio 15
.
Esercizio 2.4.44. Si scelgono 11000 punti contenuti in
un cubo di lato 15. Prova che esiste una sfera di raggio 1 contenente almeno 6 dei punti assegnati. (British
Mathematical Olympiad 1978 )
Esercizio 2.4.31. Sia A un insieme formato da 19
interi distinti appartenenti alla progressione aritmetica
1, 4, 7, . . . , 100. Provare che esistono due elementi di A Esercizio 2.4.45. Sia C un cerchio di raggio 16 ed A
una corona circolare con raggio maggiore 3 e raggio miaventi per somma 104.
nore 2. Presi a caso 650 punti all’interno di C dimostrare
Esercizio 2.4.32. Sia f (x) un polinomio con coefficienti che la corona A può essere disposta sulla figura in modo
interi. Se f (x) = 2 per tre differenti interi a, b, c prova da coprire almeno 10 punti.
che non esiste nessun intero x tale che f (x) = 3.
Esercizio 2.4.46. Due dischi, uno più piccolo dell’altro,
Esercizio 2.4.33. Prova che esistono due potenze di tre
sono ognuno divisi in 200 settori congruenti. Nel disco più
la cui differenza è divisibile per 1997.
grande 100 dei settori sono scelti arbitrariamente e coloEsercizio 2.4.34. Supponiamo che ogni casella di una rati di rosso; gli altri 100 settori sono colorati di blu. Nel
scacchiera rettangolare 4 × 7 sia colorata in bianco o in disco più piccolo ogni settore è colorato o in rosso o in blu
nero. Provare che per ogni tale colorazione la scacchie- (senza alcun vincolo sul numero dei settori rossi o blu). Il
ra contiene un rettangolo (con i lati paralleli ai lati della disco più piccolo è disposto sul disco più grande in modo
scacchiera) avente tutti e quattro gli angoli dello stesso che i centri coincidano. Prova che è possibile allineare
i due dischi in modo che il numero di settori del disco
colore.
piccolo aventi lo stesso colore di quelli corrispondenti del
Esercizio 2.4.35. Provare che esiste un intero della disco grande sia almeno 100.
forma 555 . . . 555000 . . . 00 che è divisibile per 1999.
Esercizio 2.4.36. Dati sette numeri reali, prova che fra Esercizio 2.4.47. Si dispongano 41 torri su una scacchiera 10 × 10. Prova che esistono 5 di tali torri tali che
essi vi sono due numeri x, y tali che
a due a due non si attaccano (due torri si attaccano se
√
sono poste sulla stessa riga o sulla stessa colonna).
3
x−y
6
06
1 + xy
3
Esercizio 2.4.48. I numeri da 1 a 81 sono scritti sulEsercizio 2.4.37. Prova che, se a, b sono due numeri le caselle di una scacchiera 9 × 9. Prova che esistono
naturali primi tra loro, esistono due numeri naturali x, y due numeri, posti su caselle confinanti, che differiscono di
tali che ax − by = 1.
almeno 6.
Esercizio 2.4.38. Si dice aritmopunto un punto del piano cartesiano avente entrambe le coordinate intere. Dati 5 aritmopunti prova che esistono almeno due di essi
tali che il segmento che li congiunge passa per un altro
aritmopunto.
Esercizio 2.4.39. Sia a un numero naturale relativamente primo con 2 e 5. Prova che per ogni n ∈ N esite una
potenza di a che termina con |000 {z
· · · 01}.
n cifre
E. Suppa, R. Tupitti
Esercizio 2.4.49. Siano date diverse circonferenze con
somma delle lunghezze uguale a 10, contenute dentro
un quadrato di lato 1. Prova che esiste una retta che
interseca almeno 4 di queste circonferenze.
Esercizio 2.4.50. Sia S una regione piana di area maggiore di 1. Dimostrare che è possibile traslare la regione
S in modo che essa copra almeno 2 punti a coordinate
intere.
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20
2.5
Capitolo 2
Problemi esemplificativi
Esempio 2.5.1. Supponiamo di avere tre poltrone di tre colori diversi e quattro tavoli di forme diverse. In
quanti modi si possono combinare poltrona-tavolo, ottenendo quindi tanti arredamenti diversi?
Soluzione. Le possibili scelte per le poltrone sono 3, e in corrispondenza ad ogni scelta della poltrona ci
sono 4 possibili scelte dei tavoli. Quindi in tutto si hanno 3 · 4 = 12 possibili arredamenti.
Esempio 2.5.2. Un ristorante ha un menu al prezzo fisso di 15 euro, dove si ha la possibilità di scegliere
un primo tra quattro scelte (bucatini alla amatriciana, minestrone, risotto, tagliatelle al sugo), un secondo
tra tre scelte (bistecca, pollo, salsicce) e un dessert con due scelte (gelato e torta di mele). Quante sono le
possibili scelte totali (dove per scelta totale si intende una terna, in cui il primo elemento è un ”primo”, il
secondo elemento è un ”secondo” e il terzo elemento è un ”dessert”)?
Soluzione. Il primo elemento della terna (cioè il ”primo”) può essere scelto in 4 modi; fatta la scelta per
il ”primo”, il ”secondo” può essere scelto in 3 modi, e per ogni scelta di un ”primo” e di un ”secondo” il
”dessert” può essere scelto in due modi. In tutto quindi il numero totale di scelte possibili è
4 · 3 · 2 = 24
Esempio 2.5.3. Ad una gara di atletica hanno partecipato 30 atleti. Il primo riceverà una medaglia d’oro,
il secondo una medaglia d’argento e il terzo una medaglia di bronzo. Quanti sono i possibili modi in cui
possono essere assegnate le medaglie?
Soluzione. Il problema equivale a determinare quante possono essere le terne ordinate di vincitori (tali
cioè che il primo elemento della terna sia quello che riceve la medaglia d’oro, il secondo quello che riceve
la medaglia d’argento e il terzo quello che riceve la medaglia di bronzo). E’ chiaro che la terna costituita
da Alberto, Bruno e Carlo (con ciò intendendo che Alberto è vincitore, Bruno al secondo posto e Carlo al
terzo) è diversa dalla terna Bruno, Alberto, Carlo (si tratta di assegnazioni diverse delle medaglie, anche
se sul podio salgono le stesse tre persone). I possibili vincitori sono 30, i possibili secondi posti sono 29 e
i possibili terzi posti sono 28. Quindi i possibili modi in cui possono essere assegnate le medaglie sono in
numero di
30 · 29 · 28 = 24360
Esempio 2.5.4. Quanti sono i numeri interi compresi tra 3 e 20 che sono pari o primi?
Soluzione. Posto:
A = {n ∈ N | 3 6 n 6 20, n pari} = {4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}
B = {n ∈ N | 3 6 n 6 20, n primo} = {3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}
poiché |A| = 9, |B| = 7 e A ∩ B = ∅ si ha che |A ∪ B| = 9 + 7 = 16.
Esempio 2.5.5. Quanti sono i numeri naturali minori o uguali di 50 che sono divisibili per 3 o per 5?
Soluzione. Posto:
A = {n ∈ N | n 6 50, n divisibile per 3}
B = {n ∈ N | n 6 50, n divisibile per 5}
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21
Problemi esemplificativi
dobbiamo contare gli elementi di A ∪ B. Indicando con [x] la parte intera2 del numero reale x abbiamo:
50
50
|A| =
= 16 , |B| =
= 10
3
5
Dato che 3 e 5 non hanno fattori comuni |A ∩ B| = 50
15 = 3. Ne segue che:
|A ∪ B| = 16 + 10 − 3 = 23
Esempio 2.5.6. Ci sono 240 ragazzi che studiano Francese, 270 ragazzi che studiano Inglese e 220 che
studiano Tedesco. Sappiamo inoltre che ci sono 100 studenti che seguono contemporaneamente Francese e
Inglese, 120 che seguono contemporaneamente Francese e Tedesco e 125 che seguono contemporaneamente
Inglese e Tedesco. Sappiamo infine che 400 studenti seguono almeno un corso tra Francese, Inglese e
Tedesco. Vogliamo sapere quanti sono gli studenti che studiano tutte e tre le lingue.
Soluzione. Indicati rispettivamente con A, B e C gli studenti che studiano Francese, Inglese e Tedesco, il
nostro scopo è determinare |A ∩ B ∩ C|. Allora, dalla formula,
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
tenendo conto dei dati del problema, si ha:
400 = 240 + 270 + 220 − 100 − 120 − 125 + |A ∩ B ∩ C| ⇒ |A ∩ B ∩ C| = 15
Esempio 2.5.7. In quanti modi si può scegliere un asso o una carta rossa da un mazzo di 52 carte?
Soluzione. Indicando con A l’insieme delle carte rosse e con B l’insieme degli assi abbiamo:
|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| = 4 + 26 − 2 = 28
Esempio 2.5.8. Quanti sono i sottinsiemi di un insieme A di cardinalità n?
Soluzione. Sia A = {a1 , a2 , . . . , an }. Vogliamo contare i modi per costruire un sottoinsieme B di A. Ogni
elemento di A può appartenere o non appartenere a B, cioè abbiamo due possibilità di scelta per ogni ai .
Per il PFC vi sono quindi:
n
|2 · 2{z· · · 2} = 2
n fattori
modi per costruire B. Quindi A possiede
2n
sottoinsiemi.
Esempio 2.5.9. Quante sono le diagonali di un poligono convesso di n lati?
Soluzione. Osserviamo che ognuno degli n vertici può essere scelto come primo estremo di una diagonale,
mentre dobbiamo escludere come scelta per il secondo estremo il vertice in questione e i due vertici ad esso
adiacenti. Abbiamo dunque n scelte per il primo vertice ed n − 3 scelte per il secondo vertice. Il numero
delle diagonali è pertanto:
n(n − 3)
2
Il numero n(n − 3) è stato diviso per due in quanto, con il ragionamento svolto ogni diagonale è stata
contata due volte.
2
Si dice parte intera di numero reale x il più grande numero intero ≤ x.
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22
Capitolo 2
Esempio 2.5.10. Quanti numeri di 6 cifre hanno almeno una cifra pari?
Soluzione. Abbiamo 10 cifre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} di cui 5 pari e 5 dispari. Vi sono:
9
10
10
10
10
10
= 900000
numeri di 6 cifre e
5 5 5 5 5 5 = 15625
numeri con 6 cifre tutte dispari. I numeri di 6 cifre aventi almeno una cifra pari sono pertanto 900000 −
15625 = 884375.
Esempio 2.5.11. Fra i primi 80000 numeri naturali quanti sono quelli con radice quadrata irrazionale?
Soluzione. I quadrati perfetti compresi tra 1 e 80000 sono 282 in quanto:
2822 = 79524 < 80000 < 2832 = 80089
I numeri richiesti sono dunque: 80000 − 282 = 79718.
Esempio 2.5.12. Quanti sono i numeri naturali di tre cifre, minori di 800, aventi la prima cifra pari e le
altre due cifre dispari? Quanti sono quelli con la prima cifra dispari e le altre due pari?
Soluzione. Prima domanda: i numeri cercati sono 3 · 5 · 5 = 75. Seconda domanda: i numeri cercati sono
4 · 5 · 5 = 100.
Esempio 2.5.13. Sia Ω = {1, 2, · · · , 100}. In quanti modi si possono scegliere tre elementi di Ω tali che
due di essi, e non più di due, siano consecutivi?
Soluzione. Per scegliere due numeri consecutivi, basta scegliere il più piccolo dei due che, ovviamente,
non può essere 100: ci sono dunque 99 possibilità. Indichiamo questi due numeri con a e a + 1. Se a = 1 o
a = 99, il terzo numero può essere scelto in 97 modi. Per ognuna degli altri 97 valori possibili di a, il terzo
numero può essere scelto in 96 modi. Pertanto i numeri cercati possono essere scelti in 2 · 97 + 97 · 96 = 9506
modi diversi.
Esempio 2.5.14. Quanti sono i numeri palindromici3 di 5 cifre? Quanti di essi sono pari?
Soluzione. La prima cifra può esser scelta in 9 modi, le rimanenti cifre in 10, 10, 1, 1 modi quindi vi sono
9 · 10 · 10 · 1 · 1 = 900 palindromi di 5 cifre. I palindromi pari sono 4 · 10 · 10 · 1 · 1 = 400 in quanto la prima
cifra può essere scelta tra 2, 4, 6, 8 .
Esempio 2.5.15. In quanti modi si possono scegliere una scarpa destra e una scarpa sinistra da 9 diverse
paia di scarpe in modo che esse non formino una coppia?
Soluzione. Una scarpa destra e una sinistra si possono scegliere in 9 · 9 = 81 modi. Se togliamo le 9 coppie
abbiamo che il numero richiesto è 81 − 9 = 72.
Esempio 2.5.16. Quanti numeri di 6 cifre, multipli di 5, si possono formare con le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 6?
3
Un numero intero positivo si dice palindromico o palindromo se la sua rappresentazione decimale è simmetrica, ossia se si
legge allo stesso modo da destra verso sinistra e da sinistra verso destra. Esempi: 121, 24542.
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Problemi esemplificativi
Soluzione. L’ultima cifra può essere scelta in 1 modo, ognuna delle altre cifre in 6 modi, pertanto i numeri
richiesti sono complessivamente 65 = 7776.
Esempio 2.5.17. Quanti sono i numeri pari con cifre tutte distinte compresi tra 4000 e 7000?
Soluzione. I numeri che iniziano con 4 sono : 8 · 7 · 4 = 224. Analogamente i numeri che iniziano con
6 sono 224. I numeri che iniziano con 5 sono : 8 · 7 · 5 = 280. I numeri cercati sono complessivamente:
224 + 224 + 280 = 728.
Esempio 2.5.18. Quanti sono i divisori di 300?
Soluzione. Abbiamo 300 = 3 · 22 · 52 . Ogni divisore di 300 allora è della forma 3a · 2b · 5c con a ∈ {0, 1},
b, c ∈ {0, 1, 2}, ossia vi sono due scelte per a e tre scelte per b e c. Pertanto 300 ha 2 · 3 · 3 = 18 divisori. Esempio 2.5.19. Quante sono le parole di lunghezza n che si possono scrivere con le lettere a, b, c e che
contengono almeno una volta a, b, c?
Soluzione. Sia Ω l’insieme di tutte le parole di lunghezza n e siano A, B, C gli insiemi delle parole che
non contengono a, b, c rispettivamente. Per il principio di inclusione-esclusione abbiamo:
|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C| = 3 · 2n − 3
Poiché |Ω| = 3n il numero di parole verificanti la condizione richiesta è:
3n − 3 · 2n + 3
Esempio 2.5.20. Gli interi positivi con prima cifra 2 sono scritti in successione:
2, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 200, 201, . . .
Qual è la 1980-esima cifra scritta?
Soluzione. Vi è 1 numero di una cifra, 10 numeri di due cifre, 100 numeri di tre cifre. Per scrivere i numeri
da 2 a 299 vengono utilizzate 1 · 1 + 2 · 10 + 3 · 100 = 321 cifre. Per scrivere la 1980-esima cifra si devono
scrivere altre 1980 − 321 = 1659 usando numeri di quattro cifre. Essendo
1659
= 414 , 321 + 4 · 414 = 1977
4
la 1980-esima cifra è 1 (= terza cifra di 2414, 415-esimo numero di quattro cifre).
Esempio 2.5.21. Gli interi palindromici sono scritti in ordine crescente. Qual è il 2004-esimo termine?
Soluzione. Vi sono 9 palindromi di una cifra, 9 palindromi di due cifre, 90 palindromi di tre cifre, 90
palindromi di quattro cifre, 900 palindromi di 5 cifre, 900 palindromi di 6 cifre. L’ultimo palindromo di 6
cifre è 999999 e costituisce il 1998-esimo palindromo essendo
9 + 9 + 90 + 90 + 900 + 900 = 1998
Il numero richiesto è 1005001, infatti i palindromi più grandi di 999999, in ordine crescente, sono 1000001,
1001001, 1002001, 1003001, 1004001, 1005001.
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24
Capitolo 2
Esempio 2.5.22. Quanti sono i numeri interi di quattro cifre (tutte diverse) divisibili per 3 che si possono
scrivere con le cifre 0, 1, 2, 3, 4, 5?
Soluzione. Gli interi richiesti sono della forma n = abcd, con a 6= 0 e a + b + c + d ∈ {6, 9, 12}.
Primo tipo: a + b + c + d = 6. Abbiamo {a, b, c, d} = {0, 1, 2, 3}, a 6= 0. Ci sono 3 scelte per a, quindi 3
scelte per b, 2 scelte per c e 1 scelta per d. Ci sono 3 · 3 · 2 · 1 = 18 numeri del primo tipo.
Secondo tipo: a + b + c + d = 9. Abbiamo due sottocasi: {a, b, c, d} = {0, 2, 3, 4} ,a 6= 0 oppure
{a, b, c, d} = {0, 1, 3, 5}, a 6= 0. Ragionando come per i numeri del primo tipo si trova che ci sono 18 numeri
in ognuno dei due sottocasi. In totale vi sono 2 · 18 = 36 numeri del secondo tipo.
Terzo tipo: a + b + c + d = 12. Abbiamo due sottocasi: {a, b, c, d} = {0, 3, 4, 5}, a 6= 0 oppure
{a, b, c, d} = {1, 2, 4, 5}. Nel primo caso abbiamo 3 · 3 · 2 · 1 = 18 numeri, nel secondo caso abbiamo
4 · 3 · 2 · 1 = 24 numeri. In totale vi sono 18 + 24 = 42 numeri del terzo tipo.
I numeri del tipo richiesto sono complessivamente: 18 + 36 + 42 = 96.
Esempio 2.5.23. Sia x = 0.123456789101112 . . . 998999 il numero ottenuto scrivendo uno dopo l’altro i
numeri da 1 a 999. Qual è la 2004 cifra alla destra del punto decimale.
Soluzione. Consideriamo le prime 2004 cifre di x e indichiamo con z la 2004-esima cifra. Dividiamo tali
cifre in tre blocchi:
123456789
. . . 9899} 1001001
| {z } 101112
{z
{z . . . z}
|
|
A
B
C
Vi sono 9 cifre in A, 2 · 90 = 180 cifre in B e quindi 2004 − 189 = 1815 cifre in C. Dividendo 1815 per 3
otteniamo 605 con resto 0. Allora C consiste dei primi 605 numeri interi di tre cifre. Il 605-esimo numero
intero di tre cifre è 99 + 605 = 704. Pertanto z = 4.
Esempio 2.5.24. Quanti sono gli interi positivi inferiori a 2002, divisibili per 3 o per 4, ma non per 5.
Soluzione 1. Posto:
A = {n ∈ N | n 6 2001, n divisibile per 3}
B = {n ∈ N | n 6 2001, n divisibile per 4}
C = {n ∈ N | n 6 2001, n divisibile per 5}
i numeri richiesti sono gli elementi dell’insieme :
Per il PIE abbiamo:
Ω = (A ∪ B) ∩ C = A ∩ C ∪ B ∩ C
|Ω| = A ∩ C + B ∩ C − A ∩ B ∩ C =
2001
2001
2001
2001
2001
2001
−
+
−
−
−
=
=
3
15
4
20
12
60
= 667 − 133 + 500 − 100 − 166 + 33 = 801
Soluzione 2. Gli interi divisibili per 3 o per 4 sono complessivamente:
2001
2001
2001
|A ∪ B| =
+
−
= 667 + 500 − 166 = 1001
3
4
12
2001 2001 =
133
multipli
di
15
e
= 100 multipli di 20. In questo modo
Da questi dobbiamo
escludere
15
20
=
33
multipli
di
60
due
volte,
quindi
dobbiamo
reincluderli. Pertanto gli interi che
però escludiamo 2001
60
soddisfano alla condizione richiesta sono 1001 − 133 − 100 + 33 = 801.
E. Suppa, R. Tupitti
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25
Problemi esemplificativi
Esempio 2.5.25. In quanti modi si possono collocare tre torri su una scacchiera 8 × 8 in modo che non si
attaccano. (Una torre attacca un pezzo che è posto sulla sua stessa riga o stessa colonna).
Soluzione. La prima torre può essere collocata in una qualsiasi delle 64 caselle. La seconda torre può
essere disposta su 64 − 15 = 49 caselle. La terza torre su 64 − 28 = 36 caselle. Per il PFC il numero
richiesto è : 64 · 49 · 36 = 112896.
Esempio 2.5.26. La superficie di un pallone è formata da 20 esagoni e da un certo numero di pentagoni.
Ogni pentagono è circondato da 5 esagoni e ogni esagono è circondato da 3 esagoni e 3 pentagoni (Fig.2.9).
Quanti sono i pentagoni?
Figura 2.9.
Soluzione. Sia n il numero di pentagoni. Osserviamo che:
• ogni pentagono individua 5 vertici e, a pentagoni distinti, corrispondono vertici distinti;
• ogni esagono individua 6 vertici e ogni vertice è individuato da due esagoni.
Allora, contando in due modi diversi, il numero di vertici otteniamo:
5n =
6 · 20
2
=⇒
n = 12
Esempio 2.5.27. Sia Ω = {1, 2, . . . , 100}. Determinare la cardinalità dell’insieme
S = {(a, b, c) | a, b, c ∈ Ω, a < b, a < c}
Soluzione. Fissato a = k ∈ {1, 2, . . . , 99}, il numero di scelte per b e per c è 100 − k. Per il PFC il numero
delle terne (k, b, c) ∈ S è (100 − k)2 . Dalla regola della somma abbiamo:
|S| = 992 + 982 + · · · + 12
Pertanto, utilizzando la formula
n
X
k=1
otteniamo che |S| = 328350.
E. Suppa, R. Tupitti
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
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Capitolo 3
Permutazioni, disposizioni, combinazioni
3.1
Permutazioni e disposizioni
Definizione 3.1.1. Si dice permutazione semplice di n oggetti a1 , a2 , . . . , an una corrispondenza biunivoca dell’insieme {a1 , a2 , . . . , an } in sé. In altre parole una permutazione è un gruppo ordinato formato da
tutti gli oggetti a1 , a2 , . . . , an . Il numero di permutazioni semplici di n oggetti si indica con Pn .
Esempio 3.1.1. Le permutazioni dell’insieme Ω = {a, b, c}, rappresentate come liste di lettere, sono:
abc, acb, bac, bca, cab, cba
Esempio 3.1.2. Le permutazioni dell’insieme Ω = {a, b, c, d}, rappresentate come liste di lettere, sono:
abcd, abdc, acbd, acdb, adbc, adcb
bacd, badc, bcad, bcda, bdac, bdca
cabd, cadb, cbad, cbda, cdab, cdba
dabc, dacb, dbac, dbca, dcab, dcba
Definizione 3.1.2. Per ogni intero positivo n, il fattoriale di n, è il numero:
n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · 3 · 2 · 1
Per convenzione poniamo 0! = 1.
Teorema 3.1.1. Se a1 , a2 , . . . , an sono n oggetti distinti abbiamo Pn = n!
Dimostrazione. La tesi discende dal Principio Fondamentale del Calcolo Combinatorio. Basta osservare
che il primo oggetto può essere scelto in n modi, il secondo in n − 1 modi, il terzo in n − 2, . . ., ecc.
Definizione 3.1.3. Siano dati n oggetti non tutti distinti, di k tipi diversi. Supponiamo che vi siano n1
oggetti uguali ad a1 , n2 oggetti uguali ad a2 , · · · ,nk oggetti uguali ad ak :
a , a , . . . , a1 a2 , a2 , . . . , a2 . . . ak , ak , . . . , ak con n = n1 + n2 + · · · + nk
| 1 1{z
}|
{z
} |
{z
}
n1
n2
nk
Si dice permutazione con ripetizione un gruppo ordinato formato con tutti gli n oggetti, ognuno ripetuto
secondo la rispettiva molteplicità. Il numero di permutazioni con ripetizione di n oggetti si indica con Pn′ .
Esempio 3.1.3. Scrivere tutti gli anagrammi della parola M AM M A.
26
27
Permutazioni e disposizioni
Soluzione. Si tratta di scrivere le permutazioni con ripetizione degli oggetti M, M, M, A, A. Ragioniamo
nel seguente modo: poniamo provvisoriamente degli indici in modo da considerare le lettere come se fossero
tutte distinte M1 A1 M2 M3 A2 . Le cinque lettere di questa nuova parola possono essere permutate in 5! = 120
modi. Per ognuna di queste permutazioni A1 A2 può essere permutata in 2! = 2 modi e M1 M2 M3 può
essere permutata in 3! = 6 modi dando luogo a una stessa permutazione della parola M AM M A. Pertanto
il numero effettivo di permutazioni con ripetizione di M AM M A è
5!
= 10
2!3!
Ecco tutte le permutazioni richieste, scritte per esteso:
M M M AA, M M AAM, M AAM M, AAM M M, AM AM M
M AM AM, M M AM A, AM M AM, M AM M A, AM M M A
Ragionando come nell’esempio precedente si dimostra il seguente:
Teorema 3.1.2. Siano dati n oggetti non tutti distinti, n1 uguali ad a1 , n2 uguali ad a2 , · · · , nk uguali ad
ak . Il numero di permutazioni con ripetizione di questi n = n1 + n2 + · · · + nk oggetti è:
Pn′ =
n!
n1 !n2 ! · · · nk !
Esempio 3.1.4. Uno scaffale contiene 5 libri di tedesco, 7 libri di spagnolo ed 8 libri di francese. I libri
sono tutti diversi tra loro.
(a) In quanti modi questi libri possono essere ordinati
(b) In quanti modi questi libri possono essere ordinati in modo che i libri di una stessa lingua stiano vicini
fra loro.
(c) Supposto che i libri di una stessa lingua siano tutti uguali tra loro, in quanti modi lo scaffale può essere
ordinato.
Soluzione.
(a) Complessivamente si hanno 5 + 7 + 8 = 20 libri che possono essere ordinati in
P20 = 20! = 2432902008176640000 modi
(b) Prima si sceglie un ordine tra tedesco, spagnolo, francese, quindi si ordinano i libri di ogni gruppo.
Dal PFC segue che i libri possono essere ordinati in:
3!5!7!8! = 146313216000 modi
(c) Si tratta di contare le permutazioni della parola TTTTTSSSSSSSFFFFFFFF
′
P20
=
20!
= 99768240
5!7!8!
Definizione 3.1.4. Dati n oggetti a1 , a2 , · · · , an ed un numero intero k 6 n si dice disposizione semplice
di classe k un gruppo ordinato di k oggetti scelti dagli n oggetti disponibili. Due disposizioni sono distinte
se differiscono per l’ordine o per qualche elemento. Il numero di disposizioni semplici di n oggetti di classe
k si indica con Dn,k .
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28
Capitolo 3
Esempio 3.1.5. Le disposizioni semplici di classe 2 dei 4 oggetti a, b, c, d sono:
ab, ac, ad, bc, bd, cd, ba, ca, da, cb, db, dc
Definizione 3.1.5. Dati due numeri interi positivi n, k con k 6 n si dice fattoriale decrescente di
lunghezza k il numero:
(n)k = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − k + 1)
Si osservi che (n)k è il prodotto di k fattori decrescenti a partire da n.
Teorema 3.1.3. Il numero di disposizioni semplici di n oggetti di classe k è dato da:
Dn,k = (n)k = n · (n − 1) · (n − 2) · · · (n − k + 1)
Dimostrazione. La tesi discende dal PFC . Basta osservare che il primo oggetto può essere scelto in n
modi, il secondo in n − 1 modi, il terzo in ,· · · , il k-esimo oggetto in n − (k − 1) = n − k + 1 modi.
*
*
n
n 1
...
*
... n k 1
Figura 3.1.
Definizione 3.1.6. Dati n oggetti a1 , a2 , · · · , an ed un numero intero k si dice disposizione con ripetizione di classe k un gruppo ordinato di k oggetti, eventualmente ripetuti, scelti dagli n oggetti disponibili.
Due disposizioni sono distinte se differiscono per l’ordine o per qualche elemento. Il numero di disposizioni
′ .
con ripetizione di n oggetti di classe k si indica con Dn,k
Esempio 3.1.6. Le disposizioni con ripetizione di classe 2 dei 4 oggetti a, b, c, d sono:
ab, ac, ad, bc, bd, cd, ba, ca, da, cb, db, dc, aa, bb, cc, dd
Teorema 3.1.4. Il numero di disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k è dato da:
′
Dn,k
= nk
Dimostrazione. La tesi discende dal PFC . Basta osservare che il primo oggetto può essere scelto in n
modi, il secondo in n modi, · · · , il k-esimo oggetto in n modi.
3.2
Disposizioni circolari
In alcuni problemi viene richiesto che alcuni oggetti siano disposti su una circonferenza. In tal caso due
disposizioni degli stessi oggetti si considerano identiche se una delle due può essere ottenuta dall’altra
mediante una rotazione. Possiamo dare allora le seguenti definizioni:
Definizione 3.2.1. Dati n oggetti a1 , a2 , · · · , an ed un numero intero k 6 n si dice disposizione circolare
(semplice) di classe k un gruppo ordinato di k oggetti scelti dagli n oggetti disponibili e disposti su una
circonferenza. Due disposizioni circolari si considerano uguali se sono formate dagli stessi oggetti ed una
delle due può essere ottenuta dall’altra mediante una rotazione. Il numero di disposizioni circolari (semplici)
c .
di n oggetti di classe k si indica con Dn,k
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29
Disposizioni circolari
Definizione 3.2.2. Si dice permutazione circolare (semplice) di n oggetti a1 , a2 , . . . , an una diposizione
circolare di classe k = n. Il numero di permutazioni circolari (semplici) di n oggetti si indica con Pnc .
Esempio 3.2.1. Dato l’insieme Ω = {a, b, c} le tre permutazioni illustrate nella seguente figura (3.2) rappresentano la stessa permutazione circolare:
a
c
c
b
b
b
a
a
c
Figura 3.2.
Teorema 3.2.1. Il numero di disposizioni circolari di n oggetti di classe k è dato da:
c
Dn,k
=
Dn,k
(n)k
=
k
k
Dimostrazione. Una disposizione circolare di k oggetti x1 , x2 · · · , xk genera k disposizioni
x1 , x2 , · · · , xk
,
xk , x1 , x2 , · · · , xk−1
,...,
x2 , x3 , · · · , xk , x1
Pertanto è verificata la relazione:
c
k · Dn,k
= Dn,k
da cui discende la tesi.
Corollario 3.2.1. Il numero di permutazioni circolari di n oggetti di classe k è dato da:
Pnc =
Pn
= (n − 1)!
n
Esempio 3.2.2. In quanti modi 6 ragazzi e 3 ragazze si possono disporre su un tavolo circolare se
(a) non vi sono restrizioni;
(b) il ragazzo A e la ragazza a non sono seduti vicini;
(c) non vi sono ragazze sedute vicine.
Soluzione.
(a) Il numero di modi è P9c = 8! = 40320.
(b) I 6 ragazzi e le due ragazze, esclusa la ragazza a, possono disporsi in (8 − 1)! modi; a questo punto
la ragazza a, se non vuole sedersi vicino al ragazzo A, ha 8 − 2 = 6 scelte possibili. Allora il numero
richiesto è:
7! · 6 = 30240
(c) I 6 ragazzi possono disporsi in (6 − 1)! = 5! modi; dopo che i ragazzi hanno preso posto la prima
ragazza può sedersi in 6 modi, la seconda in 5 modi e la terza in 4 modi. Il numero richiesto è
5! · 6 · 5 · 4 = 14400
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3.3
Capitolo 3
Combinazioni semplici
Definizione 3.3.1. Dati n oggetti a1 , a2 , · · · , an ed un numero intero k 6 n, si dice combinazione
semplice di classe k un insieme di k oggetti scelti dagli n oggetti disponibili. In altre parole le combinazioni
di classe k non sono altro che i k-sottoinsiemi di {a1 , a2 , . . . , an }. Due combinazioni sono distinte se
differiscono per qualche elemento. Il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k si indica con
Cn,k .
Esempio 3.3.1. Le combinazioni semplici di classe 3 dei 5 oggetti a, b, c, d, e sono:
abc,
abd,
abe,
acd,
ace,
ade,
bcd,
bce,
bde,
cde
Teorema 3.3.1. Il numero di combinazioni semplici di n oggetti di classe k è dato da:
Cn,k :=
(n)k
n
=
k
k!
Dimostrazione. Una combinazione di classe k genera k! disposizioni (di classe k) ottenute permutando
gli elementi in tutti i modi possibili. Pertanto sussiste la relazione:
k! · Cn,k = Dn,k
da cui discende la tesi.
Definizione 3.3.2. I numeri
n
k
sono detti coefficienti binomiali.
Esempio 3.3.2. In quanti modi si possono scegliere 2 rappresentanti da una classe di 23 alunni.
Soluzione. Si tratta di contare quanti sono i 2-sottoinsiemi di un insieme di 23 elementi:
23
23 · 22
= 253
=
2
2
Esempio 3.3.3. Dire in quanti modi, nel gioco del poker (giocando in 4 persone), si può avere:
(a) un doppia coppia servita;
(b) una tris servito;
(c) un poker servito.
Soluzione.
(a) Doppia coppia servita :
4
4
4
6
8
= 28 · 6 · 6 · 6 · 4 = 24192 modi.
·
·
·
·
1
2
2
1
2
(b) Tris servito :
4
4
4
6
7
8
= 8 · 7 · 6 · 4 · 4 · 4 = 21504 modi.
·
·
·
·
·
1
1
3
1
1
1
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Combinazioni semplici
(c) Poker servito :
8
7
4
·
·
= 8 · 7 · 4 = 224 modi.
1
1
1
Esempio 3.3.4. I sottoinsiemi di {a, b, c, d, e} aventi un numero dispari di elementi sono:
5
5
5
+
+
= 5 + 10 + 1 = 16
1
3
5
Esempio 3.3.5. Quante commissioni di 7 persone con un Presidente possono essere scelte da un insieme
di 21 persone?
Soluzione. Sette persone possono esser scelte in 21
7 modi, tra queste il Presidente può esser scelto in 7
modi. Per il PFC il numero richiesto è :
21
= 813960
7·
7
Esempio 3.3.6. Quante commissioni di 7 persone con un Presidente e un Segretario possono esser scelte
da un insieme di 20 persone?
Soluzione. Per il PFC il numero richiesto è:
20
= 3255840
7·6·
7
Esempio 3.3.7. Quanti dei numeri
100, 101, · · · , 999
hanno tre cifre diverse in ordine crescente o in ordine decrescente?
Soluzione. I numeri con le cifre in ordine decrescente sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi
di cardinalità 3 di {0, 1, . . . , 9}. Essi sono
10
= 120
3
I numeri con le cifre in ordine crescente sono in corrispondenza biunivoca con i sottoinsiemi di cardinalità
3 di {1, 2, . . . , 9}. Essi sono
9
= 84
3
Per la regola della somma il numero richiesto è: 120 + 84 = 204.
Esempio 3.3.8. In una classe vi sono 20 studenti. In quanti modi si possono assegnare 5 test differenti,
con la condizione che ogni test deve essere assegnato a 4 studenti.
Soluzione. Possiamo scegliere gli studenti che devono svolgere il primo test in 20
modi, dai rimanenti
4
16
possiamo sceglierne altri 4 per il secondo test in 4 modi, e così via. Per il PFC il numero richiesto è:
4
8
12
16
20
= 305540235000
·
·
·
·
4
4
4
4
4
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32
3.4
Capitolo 3
Proprietà dei coefficienti binomiali
I coefficienti binomiali soddisfano moltissime proprietà; le più importanti sono espresse nel seguente:
Teorema 3.4.1. I coefficienti binomiali verificano le seguenti proprietà:
(a) Se k ∈ {0, 1, n} abbiamo:
n
=1
0
,
(b) Legge dei tre fattoriali:
n
=n
1
,
n
=1
n
(3.1)
n
n!
=
k! · (n − k)!
k
(3.2)
n
n
=
k
n−k
(3.3)
n−1
n
n
= ·
k−1
k
k
(3.4)
n
n−1
n−1
=
+
k
k
k−1
(3.5)
(c) Legge delle classi complementari:
(d) Se 0 < k 6 n abbiamo:
(e) Legge di Stiefel:
(f) Legge di Stiefel generalizzata:
n
n+1
n+k
n+k+1
+
+ ··· +
=
0
1
k
k
k
k+1
n
n+1
+
+ ··· +
=
k
k
k
k+1
(g) Numero di parti di un n-insieme:
n
n
n
+
+ ··· +
= 2n
0
1
n
(h) Semplificazione di prodotti:
n
k
n n−r
·
=
k
r
r
k−r
(3.6)
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(i) Formula di Vandermonde: Se a, b ∈ N abbiamo:
X
k b
a
a+b
=
k−i
i
k
(3.10)
i=0
Dimostrazione.
(a) Nell’insieme {1, 2, . . . , n} vi è un sottoinsieme vuoto, n sottoinsiemi con un elemento, un sottoinsieme
con n elementi.
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33
Proprietà dei coefficienti binomiali
(b) Dalla definizione di coefficiente binomiale, moltiplicando per (n − k)! abbiamo:
n (n − 1) · · · (n − k + 1) (n − k)!
n!
n
n (n − 1) · · · (n − k + 1)
=
=
=
k!
k! (n − k)!
k! (n − k)!
k
(c) Basta osservare che i k-sottoinsiemi di {1, 2, . . . , n} sono in corrispondenza biunivoca con gli (n
− k)n
sottoinsiemi (ad ogni k-sottoinsieme
facciamo
corrispondere
il
suo
complementare).
Poiché
k conta
n
i k-sottoinsiemi ed n−k conta gli (n − k)-sottoinsiemi, la tesi è provata.
La proprietà può essere dimostrata anche utilizzando la legge dei tre fattoriali:
n
n
n!
n!
=
=
=
k
n−k
(n − k)! [n − (n − k)]!
(n − k)!k!
(d) Dalla legge dei tre fattoriali si ha:
n
n−1
n
n
(n − 1)!
n!
= ·
·
=
=
k−1
k
k
k (k − 1)!(n − k)!
k!(n − k)!
(e) Sia A la famiglia dei k-sottoinsiemi di Ω = {1, 2, . . . , n}. I k-sottoinsiemi sono di due tipi:
• Primo Tipo : k-sottoinsiemi che contengono n. Essi sono n−1
k−1 , infatti per ottenere un siffatto
sottoinsieme basta scegliere un (k − 1)-sottoinsieme di {1, 2, . . . , n − 1}.
• Secondo Tipo : k-sottoinsiemi che non contengono n. Essi sono
che i k-sottoinsiemi di {1, 2, . . . , n − 1}.
n−1
k
, infatti non sono altro
Indicando rispettivamente con B e C le famiglie dei k-sottoinsiemi del primo tipo e del secondo tipo
abbiamo che A = B ∪ C, con B ∩ C = ∅. La tesi discende dalla regola della somma :
n−1
n−1
n
+
= |A| = |B| + |C| =
k
k−1
k
La proprietà può essere dimostrata anche algebricamente con la legge dei 3 fattoriali:
n−1
(n − 1)!
n−1
(n − 1)!
=
+
+
=
k−1
k
(k − 1)!(n − k)! (k)!(n − k − 1)!
(n − 1)!k + (n − 1)!(n − k)
=
=
k!(n − k)!
(n − 1)!n
n
n!
=
=
=
k
k!(n − k)!
k!(n − k)!
(f) La (3.7) si può dimostrare per induzione oppure con la tecnica del double counting: consideriamo
un insieme con n + 1 elementi, Ω = {a1 , a2 , . . . , an+1 } e contiamo in due modi diversi il numero dei
sottinsiemi A ⊆ Ω di cardinalità k + 1. Si possono avere i seguenti casi:
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34
Capitolo 3
• Se a1 ∈ A dobbiamo scegliere k elementi da Ω r {a1 }. Vi sono
n
k
sottinsiemi siffatti;
• Se a1 ∈
/ A e a2 ∈ A dobbiamo scegliere k elementi da Ω r {a1 , a2 }. Vi sono n−1
sottinsiemi
k
siffatti;
• ···;
• Se a1 , a2 , . . . , an−k ∈
/ A vi sono
k
k
= 1 modi di formare A.
Per la regola della somma abbiamo che il numero dei (k + 1)-sottinsiemi di Ω é dato da:
k
k+1
n
+
+ ··· +
k
k
k
e ciò prova la (3.7). La (3.6) discende dalla (3.7) e dalla legge delle classi complementari.
(g) Sia Ω un insieme di cardinalità n. Indicando rispettivamente con P (Ω), Pk (Ω) l’insieme delle parti di
Ω e l’insieme dei k-sottoinsiemi di Ω abbiamo:
P (Ω) = P0 (Ω) ∪ P1 (Ω) ∪ · · · ∪ Pn (Ω)
e, per la regola della somma :
|P (Ω)| = |P0 (Ω)| + |P1 (Ω)| + · · · + |Pn (Ω)|
n
n
n
+
+ ··· +
= 2n
0
1
n
=⇒
(h) Si dimostra facilmente con la legge dei tre fattoriali.
(i) Per dimostrare la proprietà applichiamo la tecnica del double counting. Consideriamo due insiemi
finiti A, B di cardinalità a e b rispettivamente.
Il numero di k-parti di Ω = A ∪ B contenenti i
b elementi di A e k − i elementi di B è ai k−i
. Sommando con i ∈ {0, 1, . . . , k} si ottiene il numero
di k-sottinsiemi di Ω che, ovviamente, è anche uguale a a+b
k .
Osservazione 3.4.1. Le proprietà (3.1), . . . , (3.10) possono essere utilizzate per ottenere altre identità.
Ad esempio dalla (3.7) con k = 1 abbiamo:
n+1
n
2
1
⇐⇒
=
+ ··· +
+
2
1
1
1
n(n + 1)
1 + 2 + ··· + n =
2
In modo analogo utilizzando la (3.7) con k = 1 e k = 2 abbiamo:
n n
X
X
k
k
2
2
2
2
2
k =
1 + 2 + ··· + n =
+
=
2
1
k=1
k=1
n+1
n+1
=2
+
=
3
2
n(n + 1)(2n + 1)
(n + 1)n(n − 1) (n + 1)n
+
=
=2
6
2
6
e con la stessa tecnica si possono ricavare le somme di potenze 1r + 2r + · · · + nr .
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35
Il teorema del binomio e il triangolo di Tartaglia
3.5
Il teorema del binomio e il triangolo di Tartaglia
Il motivo per cui gli interi nk prendono il nome di coefficienti binomiali è che essi compaiono come coefficienti nella formula che dà lo sviluppo della potenza di un binomio. Utilizzando la moltiplicazione tra
polinomi possiamo calcolare le potenze di un generico binomio a + b:
(a + b)0 = 1
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3
(a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4
(a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5
(a + b)6 = a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
3
Se consideriamo, ad esempio, i coefficienti 1,
3, 3, 1 dello sviluppo di (a + b) , possiamo constatare che
3
questi numeri sono i coefficienti binomiali k per k ∈ {0, 1, 2, 3}. Questa proprietà è vera in generale, vale
infatti il seguente teorema:
Teorema 3.5.1 (Teorema binomiale - Formula del binomio di Newton). Per ogni intero n > 0 si
ha:
n X
n n−1
n n−2 2
n n−k k
n
(a + b)n = an +
a
b+
a
b + ··· +
a
b
abn−1 + bn =
1
2
k
n−1
k=0
Dimostrazione. Calcoliamo il prodotto:
(a + b)(a + b) · · · (a + b) = (a + b)n
scegliendo a da tutti i fattori e, moltiplicandoli tra loro, otteniamo an . Poi scegliamo a da n − 1 fattori
n−1 b che sommiamo con tutti gli altri addendi dello
e b dal fattore restante e, moltiplicandoli,
otteniamo a
n
stesso tipo. Osserviamo
che ci sono 1 addendi del tipo an−1 b, in quanto possiamo scegliere i fattori che
n
contengono b in 1 modi.
n−2 b2 si ottengono scegliendo a in n − 2 fattori e b nei due fattori restanti. In toGli addendi del
tipo a
n
tale ci sono 2 addendi della forma an−2 b2 in quanto possiamo scegliere il fattore che contiene b in n2 modi.
n
Ragionando in maniera analoga si trova
che
vi
sono
addendi del tipo an−k bk e quindi la somma degli
k
addendi del tipo an−k bk è uguale ad nk an−k bk . Pertanto la somma di tutti termini dello sviluppo di (a+b)n
è:
n X
n n−k k
n
a
b
(a + b) =
k
k=0
Esempio 3.5.1. Scrivere lo sviluppo di (a + b)6
Soluzione. Abbiamo:
6 5
6 4 2
6 3 3
6 2 4
6
(a + b) = a +
a b+
a b +
a b +
a b +
ab5 + b6 =
1
2
3
4
5
6
6
= a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6
Si osservi che i coefficienti dello sviluppo 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 formano una successione simmetrica. Ciò
discende dalla legge delle classi complementari.
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36
Capitolo 3
Esempio 3.5.2. Scrivere lo sviluppo di (3x + 2)5
Soluzione. Abbiamo:
(3x + 2)5 = (3x)5 +
5
5
5
5
(3x)24 + 25 =
(3x)2 23 +
(3x)3 22 +
(3x)4 21 +
4
3
2
1
= 243x5 + 810x4 + 1080x3 + 720x2 + 240x + 32
Esempio 3.5.3. Utilizzando il teorema del binomio dimostrare che :
n
n
n
n
(a)
0 + 1 + ··· + n = 2
n
n
n n =0
(b)
−
+
·
·
·
+
(−1)
0
1
n
Dimostrazione. Le proprietà (a) e (b) si ottengono dal teorema del binomio
n
n n−2 2
n n−1
n
n
abn−1 + bn
a
b + ··· +
a
b+
(a + b) = a +
n−1
2
1
ponendo rispettivamente a = 1, b = 1 oppure a = 1, b = −1.
Esempio 3.5.4. Determinare il coefficiente di x6 in (3 − 2x)8 .
Soluzione. Dal teorema del binomio
X 8
(3 − 2x) =
38−k (−2x)k
k
8
8
k=0
abbiamo che il termine che contiene x6 è:
8 8−6
3 (−2x)6 = 28 · 9 · 64x6 = 16128x6
6
Quindi il coefficiente di x6 è 16128.
10
Osservazione 3.5.1. Il teorema del binomio consente di sviluppare,
ad esempio (a + b) senza dover
10
moltiplicare i 10 fattori. Dobbiamo però notare che il calcolo di k con k = 0, 1, . . . , 10 può richiedere
molto tempo, anche se la simmetria dei coefficienti binomiali riduce di metà il lavoro. Fortunatamente il
calcolo dei coefficienti binomiali può essere abbreviato mediante il triangolo di Tartaglia (detto anche
triangolo di Pascal o triangolo aritmetico) in cui ogni elemento è la somma degli elementi alla sua sinistra
e alla sua destra nella riga superiore:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……………………….
§ 5·
¨ 3¸
© ¹
Figura 3.3.
I numeri che formano il triangolo di Tartaglia sono proprio i coefficienti binomiali : dalla legge di Stiefel e
dal modo in cui il triangolo è stato costruito discende che il numero situato sulla riga
n (la prima riga è la
n
riga 0) e colonna k (la prima colonna è la colonna 0) è il coefficiente binomiale k .
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37
Combinazioni con ripetizione
3.6
Combinazioni con ripetizione
Definizione 3.6.1. Dati n oggetti a1 , a2 , . . . , an ed un numero intero k si dice combinazione con ripetizione di classe k un gruppo di k oggetti, eventualmente ripetuti, scelti dagli n oggetti disponibili. Una
combinazione con ripetizione di classe k è detta anche un k-multinsieme. Si dice molteplicità di un
elemento ai , indicata con m(ai ), il numero di volte che esso compare nella combinazione. Due combinazioni con ripetizione sono da ritenersi distinte se differiscono per qualche elemento, mentre sono da ritenersi
uguali se differiscono solo per l’ordine con cui sono disposti gli elementi. Il numero di combinazioni con
′ .
ripetizione di n oggetti di classe k si indica con Cn,k
Esempio 3.6.1. Scrivere le combinazioni con ripetizione di classe 3 di 5 oggetti a, b, c, d, e:
abc,
aab,
ccd,
aaa,
abd,
aac,
cce,
bbb,
abe,
aad,
add,
ccc,
acd,
aae,
bdd,
ddd,
ace,
abb,
cdd,
eee
ade,
bbc,
dde,
bcd,
bbd,
aee,
bce,
bbe,
bee,
bde,
acc,
cee,
cde
bcc
dee
Teorema 3.6.1. Il numero di combinazioni con ripetizione di classe k che si possono formare da un insieme
Ω di n oggetti è uguale al numero di combinazioni semplici di n + k − 1 oggetti di classe k
n n + k − 1
′
=
Cn,k :=
k
k
Diamo due dimostrazioni:
Dimostrazione 1. Consideriamo una generica combinazione con ripetizione di classe k : indicati con
a1 , a2 , . . . , an gli elementi e con m(a1 ), m(a2 ), . . . , m(an ) le rispettive molteplicità costruiamo una successione di n + k − 1 numeri 1 e 0 (detta parola binaria di lunghezza n + k − 1) come segue:
• scriviamo m(a1 ) numeri 1 seguiti da uno 0
• scriviamo m(a2 ) numeri 1 seguiti da uno 0
• ··········································
• scriviamo m(an−1 ) numeri 1 seguiti da uno 0
• scriviamo m(an ) numeri 1 senza aggiungere lo 0 finale
Dato che m(a1 ) + m(a2 ) + · · · + m(an ) = k la successione così costruita contiene k numeri 1 ed n − 1 numeri
0, quindi in totale è formata da n + k − 1 elementi.
D’altra parte una successione del tipo predetto (cioè formata da k numeri 1 ed n − 1 numeri 0) individua
univocamente una combinazione con ripetizione di classe k : i termini uguali a 0 dividono la successione
in n gruppi formati da numeri uguali ad 1, ed il numero di 1 che compaiono in ogni gruppo rappresenta la
molteplicità dell’elemento corrispondente. Quindi esiste una corrispondenza biunivoca tra le combinazioni
con ripetizione di classe k e le successioni del tipo predetto. Pertanto, per contare quante sono le combinazioni con ripetizione, contiamo le successioni: a tal fine basta contare in quanti modi si possono posizionare
n − 1 zeri in n + k − 1 caselle vuote (le altre caselle verranno riempite con 1). Tale numero è dato dal
coefficiente binomiale
n+k−1
n+k−1
=
n−1
k
che, come è noto, indica in quanti modi si possono scegliere n − 1 elementi da un insieme di n + k − 1
elementi.
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38
Capitolo 3
Dimostrazione 2. Senza perdita di generalità possiamo supporre che Ω = {1, 2, . . . , n}. Sia A la famiglia
di tutti i k-multinsiemi di Ω e sia B la famiglia di tutti i k-insiemi di Λ = {1, 2, . . . , n + k − 1}. Definiamo
un’applicazione f : A −→ B nel modo seguente: ad ogni k-multinsieme S = {x1 , x2 , . . . , xk } di Ω, con
1 6 x1 6 x2 6 · · · 6 xk 6 n facciamo corrispondere:
f (S) = {x1 , x2 + 1, x3 + 2, . . . , xk + k − 1}
Osserviamo che
• che gli elementi di f (S) sono distinti e quindi f (S) ∈ B;
• la funzione f è ovviamente iniettiva;
• la funzione f è suriettiva: per ogni T = {y1 , y2 , . . . , yk } ∈ B, posto
S = {y1 , y2 − 1, y3 − 2, . . . , yk − (k − 1)}
si ha che f (S) = T .
Allora f è una biezione da A verso B e quindi
n k
= |A| = |B| = Cn+k−1,k
n+k−1
=
k
Osservazione 3.6.1. Per far comprendere meglio la corrispondenza tra le combinazioni con ripetizioni e
le successioni binarie di lunghezza n + k − 1 con n − 1 zeri facciamo un esempio concreto con n = 3 e k = 7.
Detti a, b, c gli elementi abbiamo, ad esempio:
• alla combinazione aaabbcc associamo la parola binaria 111011011
• alla combinazione aaacccc associamo la parola binaria 111001111
• alla combinazione aaaaaaa associamo la parola binaria 111111100
• alla parola binaria 110110111 associamo la combinazione aabbccc
• alla parola binaria 001111111 associamo la combinazione ccccccc
• alla parola binaria 111101011 associamo la combinazione aaaabcc
Esempio 3.6.2. Una pasticceria produce 5 tipi di paste a, b, c, d, e. In quanti modi diversi si può
confezionare un vassoio con 7 di queste paste?
Soluzione. Ogni confezione di 7 paste può essere pensata come una combinazione con ripetizione di classe
7 scelta da un insieme di 5 oggetti. Quindi si possono confezionare
11
11
5+7−1
5
= 330
=
=
=
4
7
7
7
vassoi diversi.
Esempio 3.6.3. Quanti sono i termini di un polinomio omogeneo completo di 6 grado nelle variabili a, b,
c, d?
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Combinazioni con ripetizione
Soluzione. I termini sono tanti quante le combinazioni con ripetizione di classe 6 che si possono formare
con le 4 lettere a, b, c, d, ossia:
4
4+6−1
9
9
=
=
=
= 84
6
6
6
3
Esempio 3.6.4. In quanti modi si possono collocare 10 palline indistinguibili in 4 scatole A, B, C, D? In
quanti modi se nessuna scatola deve rimanere vuota?
Soluzione. Le distribuzioni delle palline nelle 4 scatole sono in corrispondenza biunivoca con le combinazioni con ripetizione di classe 10 di A, B, C, D come appare chiaro dal seguente esempio. Il numero
AAABCCDDDD
A
B
C
D
B
Figura 3.4.
richiesto è pertanto:
4
10
4 + 10 − 1
13
13
=
=
=
= 286
10
10
3
Se si vuole che nessuna scatola sia vuota basta porre preliminarmente una pallina in ciascuna scatola e
quindi collocare le altre 6 palline. Il numero cercato è
4
4+6−1
9
9
=
=
=
= 84
6
6
6
3
Esempio 3.6.5. Un supermercato, in occasione delle festività natalizie ha scontato 3 tipi di articoli X, Y ,
Z. Giovanni vuole approfittare dell’occasione e decide di acquistare 8 articoli. Quali sono i possibili modi
in cui può effettuare gli acquisti?
Soluzione. I possibili acquisti sono tanti quante le combinazioni di classe 8 che si possono formare con i
tre oggetti X, Y , Z ossia :
3
3+8−1
10
=
=
= 45
8
8
8
Esempio 3.6.6. Quante sono le soluzioni dell’equazione:
x1 + x2 + · · · + xk = n
(1)
(a) con x1 , x2 , . . . , xk interi positivi
(b) con x1 , x2 , . . . , xk interi non negativi
Soluzione.
(a) Scriviamo n come somma di n addendi uguali ad 1 :
n = 1 + 1 + ··· + 1
Per decomporre n nella somma di k addendi positivi è sufficiente
scegliere k − 1 segni + e questo,
tenuto conto che vi sono n − 1 segni +, può essere fatto in n−1
k−1 modi.
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Capitolo 3
(b) Posto xi = yi − 1 allora yi > 1 > 0 per ogni i e l’equazione (1) si trasforma in :
(2)
y 1 + y2 + · · · + y k = n + k
Le soluzioni della (2) in interi positivi, in virtù dell’esempio precedente, sono complessivamente
n+k−1
k−1
Esempio 3.6.7. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
6x1 + x2 + x3 + x4 = 20
con x1 , x2 , x3 , x4 interi non negativi.
Soluzione. L’incognita x1 può assumere i valori 0, 1, 2, 3. Abbiamo, pertanto, i seguenti casi:
• se x1 = 0 l’equazione diventa x2 + x3 + x4 = 20;
• se x1 = 1 l’equazione diventa x2 + x3 + x4 = 14;
• se x1 = 2 l’equazione diventa x2 + x3 + x4 = 8;
• se x1 = 3 l’equazione diventa x2 + x3 + x4 = 2;
Dall’esempio precedente e dalla regola della somma ne segue che il numero di soluzioni dell’equazione
assegnata è dato da:
4
10
16
22
= 802
+
+
+
2
2
2
2
Esempio 3.6.8. Determinare il numero di terne (a, b, c) di interi non negativi soddisfacenti la disuguaglianza:
a + b + c 6 2005
Soluzione. Le soluzioni della disuguaglianza richiesta sono in coorispondenza biunivoca con le soluzioni
(in interi non negativi) dell’equazione:
a + b + c + d = 2005
e, pertanto, è dato da
2005 + 4 − 1
2008
=
= 1347382056
4−1
3
Esempio 3.6.9. Determinare il numero di soluzioni dell’equazione
(x1 + x2 + x3 )(y1 + y2 + y3 + y4 ) = 55
con x1 , x2 , x3 e y1 , y2 , y3 , y4 interi positivi.
Soluzione. I vincoli imposti alle variabili xi ed yj implicano che le soluzioni dell’equazione assegnata
verificano uno dei seguenti casi:
•
x1 + x2 + x3 = 5
,
y1 + y2 + y3 + y4 = 11
•
x1 + x2 + x3 = 11
,
y 1 + y 2 + y3 + y 4 = 5
Applicando il PFC e la regola della somma abbiamo che il numero di soluzioni è
10 4
4 10
11 − 1 5 − 1
5 − 1 11 − 1
= 900
+
=
+
3
2
3
2
4−1
3−1
4−1
3−1
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Coefficienti multinomiali
3.7
Coefficienti multinomiali
Dati due numeri x1 , x2 ed un numero naturale n dalla formula di Newton sappiamo che
n X
n k n−k
x x
(x1 + x2 ) =
k 1 2
n
k=0
Ora, generalizzando la formula precedente, vogliamo determinare i coefficienti della potenza:
(x1 + x2 + · · · + xk )n
dove k, n ∈ N e k > 2. A tal fine introduciamo dei nuovi numeri, che possono essere considerati un’estensione
dei coefficienti binomiali.
Definizione 3.7.1. Dati n oggetti distinti e k numeri interi non negativi n1 , n2 , . . . , nk tali che n1 + n2 +
· · · + nk = n chiamiamo coefficiente multinomiale il numero
n
n1 , n2 , . . . , nk
che denota il numero di modi di distribuire gli n oggetti in k scatole in modo che n1 di essi siano nella
scatola 1, n2 siano nella scatola 2, . . . , nk siano nella scatola k.
Teorema 3.7.1. Dati degli interi non negativi n, k, n1 , n2 , . . . , nk tali che n1 + n2 + · · · + nk = n e k > 1
abbiamo:
n!
n
=
n1 , n2 , . . . , nk
n1 !n2 ! · · · nk !
Dimostrazione. Dati n oggetti distinti vi sono
n
•
n1 modi di scegliere n1 oggetti e metterli nella scatola 1;
n−n1
•
modi di scegliere n2 oggetti dai rimanenti e metterli nella scatola 2;
n2
•
..
.
•
n−(n1 +···+nk−2 )
nk−1
•
n−(n1 +···+nk−1 )
nk
modi di scegliere nk−1 oggetti dai rimanenti e metterli nella scatola k − 1;
modi di scegliere nk oggetti dai rimanenti e metterli nella scatola k;
Allora, dal PFC, abbiamo che:
n
n − n1
n − (n1 + · · · + nk−1 )
n
=
···
=
n1 , n2 , . . . , nk
n1
n2
nk
(n − n1 )!
(n − n1 − n2 − · · · − nk−1 )!
n!
·
···
=
=
n1 !(n − n1 )! n2 !(n − n1 − n2 )!
nk !(n − n1 − n2 − · · · − nk )!
n!
=
n1 !n2 ! · · · nk !
Osservazione 3.7.1. I coefficienti multinomiali generalizzano i coefficienti binomiali in quanto per k = 2
risulta:
n
n
=
n1 , n2
n1
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42
Capitolo 3
Osservazione 3.7.2. I coefficienti multinomiali consentono di generalizzare il teorema binomiale grazie al
seguente teorema formulato da G.W. Leibnitz (1646–1716) e successivamente dimostrato da J. Bernoulli
(1667–1748).
Teorema 3.7.2 (Teorema multinomiale – Formula di Leibnitz). Dati degli interi non negativi n, k,
n1 , n2 , . . . , nk tali che n1 + n2 + · · · + nk = n e k > 1 abbiamo:
X
n
n
xn1 1 xn2 2 · · · xnk k
(x1 + x2 + · · · + xk ) =
n1 , n2 , . . . , nk
n1 +n2 +···+nk =n
dove la sommatoria è estesa a tutte le sequenze (n1 , n2 , . . . , nk ) di interi non negativi tali che
Dimostrazione. Sviluppando il prodotto
Pk
i1
ni = n.
(x1 + x2 + · · · + xk )n = (x1 + x2 + · · · + xk ) · · · (x1 + x2 + · · · + xk )
|
{z
}
n
scegliamo, per ognuno degli n fattori, un simbolo xi da {x1 , x2 , · · · , xk } e li moltiplichiamo fra loro. Allora
ogni termine dello sviluppo è della forma
xn1 1 xn2 2 · · · xnk k
(*)
P
per opportuni interi non negativi n1 , n2 , · · · , nk con ki1 ni = n. Il numero di modi in cui possiamo ottenere
il termine (∗) coincide con il numero di modi in cui possiamo scegliere n1 fattori da cui prendere x1 (poniamo
n1 degli n fattori nella scatola 1), quindi sceglire n2 fattori da cui prendere x2 (poniamo n2 degli n fattori
nella scatola 2), . . . , quindi scegliere nk fattori da cui prendere xk (poniamo nk degli n fattori nella scatola
k). Il coefficiente di (∗), pertanto, risulta uguale al numero di modi di distribuire n oggetti distinti
in k
Pk
scatole distinte in modo che ni oggetti siano messi nella scatola i per ogni i = 1, 2, . . . , k, dove i1 ni = n.
Il teorema risulta così dimostrato.
3.8
Funzioni tra insiemi finiti
Se A e B sono due insiemi finiti sussistono i seguenti teoremi
Teorema 3.8.1. Dati due insiemi finiti A e B
(a) se f : A → B è iniettiva allora |A| 6 |B|;
(b) se f : A → B è suriettiva allora |A| > |B|;
(c) se f : A → B è biettiva allora |A| = |B|.
Dimostrazione. Ovvia.
Teorema 3.8.2. Siano A e B due insiemi finiti con |A| = k e |B| = n.
(a) le corrispondenze tra A e B sono: |C(A, B)| = 2n·k
(b) le relazioni su A sono: |R(A)| = 2k
2
(c) le funzioni f : A → B sono: |F(A, B)| = nk
(d) le funzioni iniettive f : A → B sono:
|I (A, B)| =
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(
(n)k
0
, se k 6 n
, se k > n
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Funzioni tra insiemi finiti
(e) le funzioni suiettive f : A → B sono:
n
X
(−1)n−i n ik
i
|S (A, B)| = i=1
0
, se k > n
, se k < n
(f ) le funzioni biettive f : A → B sono:
|B (A, B)| =
Dimostrazione.
(
n!
0
, se k = n
, se k 6= n
(a) basta osservare che |A × B| = n · k
(b) basta osservare che |A × A| = k 2
(c) Sia A = {a1 , a2 , . . . , ak }. La tesi discende dal PFC non appena si osserva che l’immagine di a1 può
essere scelta in n modi, l’immagine di a2 può essere scelta in n modi, e così via.
(d) Se k > n la tesi e’ banale. Se k 6 n sia A = {a1 , a2 , . . . , ak }: la tesi discende dal PFC non appena si
osserva che l’immagine di a1 può essere scelta in n modi, l’immagine di a2 può essere scelta in n − 1
modi, . . . , l’immagine di ak può essere scelta in n − k + 1 modi.
(e) Se k < n la tesi e’ banale. Se k > n siano A = {a1 , a2 , . . . , ak }, B = {b1 , b2 , . . . , bn } e, per ogni
i ∈ {1, 2, . . . , n} indichiamo con Ai l’insieme delle funzioni che mandano gli elementi di A in elementi
di B diversi da bi , ossia:
Ai = {f : A → B | bi ∈
/ Im(f )}
Utilizzando il principio di inclusione–escusione otteniamo che il numero di funzioni non suiettive da
A in B è :
|A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | =
n
X
i=1
|Ai | −
X
i<j
|Ai ∩ Aj | + · · · + (−1)n+1 |A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An | =
n
n
n
k
n
k
1k =
(n − 2) + · · · + (−1)
(n − 1) −
=
n−1
2
1
n
n
k
n n
k
(n − 2) + · · · + (−1)
1k
(n − 1) −
=
n−2
1
n−1
Per ottenere il numero delle funzioni suiettive basta sottrarre questo numero dal numero di tutte le
funzioni da A in B:
|S (A, B)| = nk − |A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An | =
n
n
k
k
k
n n
=n −
(n − 1) −
1k =
(n − 2) + · · · + (−1)
n−1
1
n−2
n k
n
n
k
k
n−1 n
=
n −
(n − 1) +
(n − 2) + · · · + (−1)
1k =
n
n−1
n−2
1
n
X
n−i n k
(−1)
=
i
i
i=1
(f) Se k 6= n la tesi e’ banale. Se k = n sia A = {a1 , a2 , . . . , ak }: la tesi discende dal PFC non appena si
osserva che l’immagine di a1 può essere scelta in n modi, l’immagine di a2 può essere scelta in n − 1
modi, . . . , l’immagine di ak può essere scelta in un solo modo.
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Capitolo 4
Successioni e relazioni ricorsive
4.1
Successioni numeriche
Si dice successione una funzione f : N → R. Il numero reale che la funzione f associa al numero naturale n,
oltre che con la notazione standard f (n), si indica con an ed è chiamato l’n-esimo termine della successione.
Una successione può essere determinata in due modi:
• mediante una formula esplicita (formula chiusa) che consenta, dato n, di determinare il termine an .
Ad esempio an = 2n + 1.
• mediante una formula ricorsiva, dando alcuni termini ed una relazione che lega il termine generico
ad alcuni termini precedenti.
Molti problemi di carattere algebrico o combinatorio possono essere affrontati con successo con metodi
ricorsivi, come viene illustrato negli esempi che seguono.
➊ Progressioni aritmetiche a1 , a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, . . . . La relazione di ricorrenza è an = an−1 + d.
Vi sono formule chiuse per il termine generico
an = a1 + (n − 1)d
e per la somma dei primi n termini
a1 + an
n
2
Il numero d è chiamato ragione della progressione aritmetica (P.A.).
sn =
➋ Progressioni geometriche a1 , qa1 , q 2 a1 , q 3 a1 , . . . . La relazione di ricorrenza è an = qan−1 . Vi sono
formule chiuse per il termine generico
an = a1 · q n−1
e per la somma dei primi n termini
sn = a 1
qn − 1
q−1
Il numero q è chiamato ragione della progressione geometrica (P.G.).
➌ I numeri di Fibonacci fn sono definiti mediante la relazione di ricorrenza
f1 = 1, f2 = 1
fn = fn−1 + fn−2 , ∀n > 3
I termini iniziali della successione sono 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, . . . .
44
45
Successioni numeriche
➍ Lato di un poligono regolare di 3 · 2n lati inscritto in una circonferenza di raggio 1.
P
O
H
A
P’
Figura 4.1.
Illustriamo brevemente il procedimento utilizzato da Archimede per il calcolo di ℓn . Indicata con an
la lunghezza del segmento P H (Fig.4.1) ed applicando il teorema di Pitagora ai triangoli △OP H e
△P HA si ha ℓn = 2an , OH 2 = 1 − a2n e
r
2
p
p
2
2
ℓn+1 = P A = P H + HA = a2n + 1 − 1 − a2n =
r
q
q
q
p
p
2
2
= 2 − 2 1 − an = 2 − 4 − 4an = 2 − 4 − (ℓn )2
Tenendo presente che ℓ1 , lato dell’esagono regolare, vale 1 si ottiene la seguente formula ricorsiva:
ℓ1 = 1
ℓn+1 =
r
2−
q
4 − (ℓn )2 , ∀n > 2
➎ Contare le parole di n lettere, scritte usando un alfabeto di due sole lettere {a, b}, che non contengono
due b consecutive. Detto Pn l’insieme delle parole di n lettere non contenenti due b consecutive e
considerata una parola w ∈ Pn si possono presentare due casi:
• se la parola termina con la lettera a, allora le prime n − 1 lettere formano una parola di Pn−1 ;
• se la parola termina con la lettera b, allora la penultima lettera dev’essere una a e, per quanto
sopra osservato, le prime n − 2 lettere formano una qualsiasi parola di Pn−2
Pertanto, posto an = |Pn−1 |, vale la seguente formula ricorsiva
a1 = 2 , a2 = 3
an = an−1 + an−2 , n > 3
➏ Il numero di modi in cui si può ricoprire perfettamente una scacchiera 2 × n con dei domini 2 × 1 è
dato dal numero di Fibonacci fn+1 .
Dimostrazione. Sia hn il numero di modi di ricoprire perfettamente una scacchiera 2 × n con dei
domini 2 × 1. Poniamo per convenzione h0 = 1. Chiaramente h1 = 1 e h2 = 2. Ragioniamo per
induzione: fissato n > 2, assumiamo che la proprietà sia vera per una scacchiera 2 × k con k < n.
Suddividiamo l’insieme di tutti i ricoprimenti perfetti di una scacchiera 2 × n in due insiemi A e B.
L’insieme A sia formato da tutti i ricoprimenti che hanno un domino verticale sull’ultima colonna a
sinistra della scacchiera. Per ipotesi induttiva, esistono ricoprimenti in A. L’insieme B sia formato da
quei ricoprimenti che hanno due domini orizzontali sulle due ultime colonne a sinistra della scacchiera.
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46
Capitolo 4
Per ipotesi induttiva, vi sono hn−1 = fn ricoprimenti in B. Allora il numero totale di ricoprimenti
della scacchiera 2 × n è dato da
hn = hn−1 + hn−2 = fn + fn−1 = fn+1
4.2
Relazioni di ricorrenza lineari
In molte situazioni, come negli ultimi due esempi esaminati, si ha a che fare con una successione di numeri
a0 , a1 , a2 , . . . soddisfacenti una relazione di ricorrenza lineare di ordine k. Ciò significa che l’n-esimo termine
della successione è combinazione lineare dei precedenti k termini:
an = c1 an−1 + c2 an−2 + · · · + ck an−k + bn
,
∀n > k − 1
dove c1 , c2 , . . . , ck sono costanti e ck 6= 0 altrimenti la relazione sarebbe di ordine inferiore. Se bn = 0, la
relazione è detta omogenea. I numeri di Fibonacci soddisfano la relazione di ricorrenza lineare di ordine
due
fn = fn−1 + fn−2
Esiste un procedimento generale per risolvere una relazione lineare omogenea di ordine k con coefficienti
costanti. Tale procedimento fornisce la soluzione generale in funzione di k parametri che a loro volta possono
essere determinati se si conoscono i valori iniziali a0 , a1 , . . . , ak−1 .
Teorema 4.2.1. Se q è un numero reale diverso da zero, allora an = q n è una soluzione della relazione di
ricorrenza lineare omogenea di ordine k
an = c1 an−1 + c2 an−2 + · · · + ck an−k + bn
(4.1)
se e solo se q è una radice dell’equazione caratteristica:
xk − c1 xk−1 − c2 xk−2 − · · · − ck−1 x − ck = 0
(4.2)
Se questo polinomio ha k radici reali distinte q1 , q2 , . . . , qk , allora
an = λ1 q1n + λ2 q2n + · · · + λk qkn
(4.3)
al variare dei parametri λ1 , λ2 , . . . , λk rappresenta la soluzione generale della (4.1). Dati i valori iniziali
a0 , a1 , . . . , ak−1 della successione, esistono delle costanti λ1 , λ2 , . . . , λk tali che (4.3) è l’unica soluzione
soddisfacente sia la relazione di ricorrenza che i valori iniziali.
Dimostrazione. Chiaramente an = q n è una soluzione se e solo se
q n − c1 q n−1 − c2 q n−2 − · · · − ck q n−k = 0
Poiché q 6= 0 , possiamo dividere quest’equazione per q n−k . Ciò prova che an = q n è soluzione se e solo se
q è una radice dell’equazione caratteristica. Le radici di quest’equazione possono essere complesse e, anche
se sono tutte reali possono non essere distinte. Per il resto della dimostrazione supponiamo che l’equazione
caratteristica abbia k radici distinte q1 , q2 , . . . , qk . Poiché la relazione di ricorrenza è omogenea e lineare,
per ogni scelta delle costanti λ1 , λ2 , . . . , λk la combinazione lineare (4.3) sarà anch’essa una soluzione. Dati
i valori iniziali a0 , a1 , . . . , ak−1 della successione, la formula (4.3) da un sistema di k equazioni lineari nelle
incognite λ1 , λ2 , . . . , λk . Resta da provare che questo sistema ha un’unica soluzione λ1 , λ2 , . . . , λk . Esiste
un teorema di algebra lineare (che noi non proviamo!) che asserisce che siffatto sistema ammette un’unica
soluzione se le radici q1 , q2 , . . . , qk sono distinte. Questo completa la dimostrazione.
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47
Relazioni di ricorrenza lineari
Non tutte le relazioni di ricorrenza lineari omogenee possono essere risolte con il metodo illustrato nel
teorema precedente in quanto l’equazione caratteristica può avere radici multiple, come nel seguente esempio
Esempio 4.2.1. Risolvere la relazione di ricorrenza
h0 = 1, h1 = 4
hn = 4hn−1 − 4hn−2 , ∀n > 1
Soluzione. I primi termini di questa successione sono: 1, 4, 12, 32, 80, 192, 448, 1024, . . . . L’equazione
caratteristica è :
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 = 0
ed ammette la radice doppia q = 2. Ciò significa che hn = 2n è una soluzione della ricorrenza hn =
4hn−1 − 4hn−2 , ma per ottenere la soluzione generale è necessario trovare una seconda soluzione. E’ facile
verificare che hn = n2n è un’altra soluzione in quanto :
hn − 4hn−1 − 4hn−2 = n · 2n − 4 (n − 1) 2n−1 − (n − 2) 2n−2 =
= 2n−2 n · 22 − 4 (n − 1) · 2 − (n − 2) =
= 2n−2 [4n − 4 (2n − 2 − n + 2)] = 2n−2 [4n − 4n] = 0
Pertanto la soluzione generale è data da
hn = λ1 · 2n + λ2 · n2n = 2n (λ1 + λ2 n)
Dalle condizioni iniziali si trova che λ1 = λ2 = 1 e quindi la soluzione è hn = 2n (n + 1).
Più in generale se q è una radice dell’equazione caratteristica di molteplicità s, allora la parte della soluzione
generale della relazione di ricorrenza che corrisponde a tale radice è
q n λ1 + λ2 n + λ3 n2 + · · · + λs ns−1
come viene precisato nel seguente
Teorema 4.2.2. Se q1 , q2 , . . . , qt sono le radici distinte dell’equazione caratteristica della relazione di
ricorrenza
an = c1 an−1 + c2 an−2 + · · · + ck an−k + bn
ed hanno rispettive molteplicità e1 ,e2 , . . . , et allora la parte della soluzione corrispondente a qi è data da
Ai (n) = k1 + k2 n + · · · + kei nei −1 qin e la soluzione generale è :
an = A1 (n) + A2 (n) + · · · + At (n)
Corollario 4.2.1. Data una relazione di ricorrenza lineare di ordine due an = pan−1 + qan−2 con p, q ∈ R
e dette α, β le radici dell’equazione caratteristica ad essa associata
x2 − px − q = 0
per trovare la soluzione generale della ricorrenza possiamo distinguere tre casi:
• se α, β ∈ R con α 6= β la soluzione generale è an = λ1 αn + λ2 β n con λ1 , λ2 ∈ R.
• se α, β ∈ R con α = β la soluzione generale è an = (λ1 n + λ2 ) αn con λ1 , λ2 ∈ R.
• se α, β ∈ C, posto α = δ + iω e β = δ − iω la soluzione generale è data da:
an = λ1 αn + λ2 β n = λ1 (δ + iω)n + λ2 (δ − iω)n = µ1 ρn cos(nϑ) + µ2 ρn sen(nϑ)
√
dove ρ = δ 2 + ω 2 , ϑ = arctan ωδ e µ1 , µ2 sono due parametri che possono essere determinati
mediante le condizioni iniziali.
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48
Capitolo 4
Esempio 4.2.2. I numeri di Fibonacci si possono calcolare mediante la formula di Binet
"
√ !n #
√ !n
1
1− 5
1+ 5
−
fn = √
2
2
5
Dimostrazione. L’equazione caratteristica associata alla ricorrenza fn = fn−1 + fn−2 è
ed ha come soluzioni i numeri
x2 − x − 1 = 0
√
1± 5
2 .
La soluzione generale della ricorrenza è pertanto
√ !n
√ !n
1+ 5
1− 5
+ λ2
fn = λ 1
2
2
Dalle condizioni iniziali f1 = 1, f2 = 1 si ottiene il sistema
√ !
√ !
5
5
1
+
1
−
λ1 +
λ2 = 1
2
2
√ !2
√ !2
5
5
1
−
1
+
λ1 +
λ2 = 1
2
2
Con facili calcoli si trova che la soluzione del sistema è λ1 = − √15 , λ2 =
dimostrazione.
√1
5
e questo completa la
Esempio 4.2.3. I numeri di Lucas Ln sono definiti mediante la ricorrenza Ln = Ln−1 + Ln−2 (proprio
come i numeri di Fibonacci ) con valori iniziali L0 = 2 e L1 = 1. I primi 12 termini di questa successione
sono 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, . . . . Come per i numeri di Fibonacci la soluzione generale è
√ !n
√ !n
1− 5
1+ 5
L n = λ1
+ λ2
2
2
Dalle condizioni iniziali L0 = 2, L1 = 1 si ottiene il sistema
λ + λ2 = 1
1
√ !
√ !
1+ 5
1− 5
λ1 +
λ2 = 1
2
2
Con facili calcoli si trova che la soluzione del sistema è λ1 = 1, λ2 = 1 e quindi la formula chiusa per i
numeri di Lucas è :
"
√ !n
√ !n #
1+ 5
1− 5
Ln =
+
2
2
Esempio 4.2.4. Risolvere la relazione di ricorrenza hn = −2hn−1 + 3hn−2 con h0 = 2, h1 = 1.
Soluzione. L’equazione caratteristica è x2 + 2x − 3 = 0, che ha radici q1 = 1 e q2 = −3. Allora la soluzione
generale della relazione di ricorrenza è :
hn = λ1 + λ2 (−3)n
Dai valori iniziali si ha il sistema :
(
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7
λ1 =
λ1 + λ2 = 2
4
=⇒
λ1 − 3λ2 = 1
λ2 = 1
4
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49
Relazioni di ricorrenza lineari
e quindi la soluzione della ricorrenza è :
hn =
7 1
7 + (−3)n
+ (−3)n =
4 4
4
Esempio 4.2.5. Risolvere la relazione di ricorrenza
h0 = 1, h1 = 1, h2 = 2
hn = hn−1 + 8hn−2 − 12hn−3 , ∀n > 2
Soluzione. L’equazione caratteristica è x3 − x2 − 8x + 12 = (x − 2)2 (x + 3) = 0. La soluzione generale è
hn = a · 2n + b · n2n + c (−3)n
Dalle condizioni iniziali si ottiene il sistema
2
a=
25
a + c = 0
3
2a + 2b − 3c = 1 =⇒ b =
10
4a + 8b + 9c = 2
c = −2
25
La soluzione della relazione di ricorrenza è pertanto:
hn =
3
2
2
· 2n +
· n2n −
(−3)n
25
10
25
Passiamo ora ad esaminare come si risolve un’equazione non omogenea.
Esempio 4.2.6 (Problema delle Torri di Hanoi). Ci sono tre pioli ed n dischi circolari di grandezza
crescente inseriti su uno dei pioli con il disco più grande in basso. Questi dischi devono essere spostati
uno alla volta su un altro dei pioli, ma non è permesso mettere un disco di diametro maggiore su uno di
diametro più piccolo. Qual è il minimo numero di mosse necessarie per il trasferimento?
Soluzione. Sia hn il numero di mosse necessarie per spostare n dischi. Chiaramente h0 = 0, h1 = 1,
h3 = 3. Per trasferire gli n dischi su un altro piolo, si devono spostare dapprima n − 1 dischi sul terzo
piolo, quindi si sposta il disco più grande sul piolo libero ed infine si trasferiscono gli n − 1 dischi sul disco
maggiore. Per il ragionamento fatto i numeri hn soddisfano la relazione di ricorrenza (non lineare):
hn = 2hn−1 + 1
che dobbiamo risolvere con le condizioni iniziali h0 = 0, h1 = 1. Per far ciò si noti che
hn = 2hn−1 + 1 = 2 (2hn−2 + 1) + 1 = 22 hn−2 + 2 + 1 =
= 22 (2hn−3 + 1) + 2 + 1 = 23 hn−3 + 22 + 2 + 1
e così via, per cui essendo h1 = 1 otteniamo infine
hn = 2n−1 h1 + 2n−2 + 2n−3 + · · · + 22 + 2 + 1 =
= 2n−1 + 2n−2 + 2n−3 + · · · + 22 + 2 + 1
Dalla la formula sulla somma dei termini di una progressione geometrica si ottiene
hn =
2n − 1
= 2n − 1
2−1
Ora in questa soluzione, hn = 2n − 1, possiamo individuare due parti:
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50
Capitolo 4
• gn = 2n è una soluzione generale della relazione omogenea hn = 2hn−1 ;
• pn = −1 è una soluzione particolare della relazione non omogenea hn = 2hn−1 + 1
Il risultato di questo esempio è del tutto generale in quanto si può dimostrare che la soluzione generale
di un problema non omogeneo è la somma della soluzione generale del corrispondente problema omogeneo
(per il quale esiste un ben preciso procedimento risolutivo) e una soluzione particolare del problema non
omogeneo (per il quale è possibile che si sappia o non si sappia trovare una soluzione). In combinatoria ,
noi non ci aspettiamo di vedere logaritmi naturali, funzioni trigonometriche, o altre funzioni esotiche nelle
nostre relazioni di ricorrenza. Usualmente nelle relazioni di ricorrenza che si incontrano più frequentemente
nella pratica, del tipo
an = c1 an−1 + c2 an−2 + · · · + ck an−k + bn
si presenta una delle seguenti situazioni:
• bn = una costante, nel qual caso pn = una costante;
• bn = un polinomio nella variabile n, nel qual caso pn = polinomio dello stesso grado;
• bn = un esponenziale della forma an , nel qual caso pn = p · an .
Esempio 4.2.7. Risolvere hn = hn−1 + 3n con la condizione iniziale h0 = 2.
Soluzione. L’equazione caratteristica dell’equazione omogenea associata è x−2 = 0, che ammette la radice
q = 2. Allora hn = c · 2n è la soluzione generale della relazione omogenea hn = 2hn−1 . Ricerchiamo una
soluzione particolare dell’equazione non omogenea della forma hn = p · 3n . Sostituendo p · 3n nell’equazione
data deve aversi
p · 3n = 2 · p · 3n−1 + 3n
ossia 3p = 2p + 3. Quindi p = 3 e hn = p · 3n = 3n+1 è la soluzione particolare. Allora la soluzione generale
della relazione di ricorrenza è
hn = c · 2n + 3n+1
Dalla condizione iniziale si ottiene 2 = c · 20 + 31 = c + 3 per cui c = −1 e quindi :
hn = − · 2n + 3n+1
Esercizi
Esercizio 4.2.1. In quante regioni, al massimo, si può
dividere il piano con n rette?
usando tre stuzzicadenti per i tre lati di ogni triangolo?
E quanti quadrati?
Esercizio 4.2.2. Qual è il massimo numero di pezzi in cui Esercizio 4.2.5. Quanti tetraedri differenti possono espuò esser divisa una torta mediante n tagli piani, ognuno ser prodotti colorando ogni faccia a colore pieno con n
colori diversi? (Due tetraedri sono identici se possono esdei quali interseca tutti gli altri?
ser rigirati e collocati uno di fianco all’altro in modo che
Esercizio 4.2.3. In quante parti si può dividere il piano facce corrispondenti siano dello stesso colore)
mediante cerchi della stessa dimensione intersecantisi?
Esercizio 4.2.6. Risolvere la relazione di ricorrenza
Esercizio 4.2.4. Avendo a disposizione una quantità illia0 = 1, a1 = 2, a2 = 0
mitata di stuzzicadenti di n colori diversi quanti triangoli
an = 2an−1 + an−2 − 2an−3
differenti possono esser formati su una superficie piana
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51
Relazioni di ricorrenza lineari
Esercizio 4.2.7. Risolvere la relazione di ricorrenza
a0 = 1, a1 = 0, a2 = 1, a3 = 2
an = −an−1 + 3an−2 + 5an−3 + 2an−4
Esercizio 4.2.8. Risolvere la relazione di ricorrenza
a0 = 3
an + 2an−1 = n + 3
Esercizio 4.2.9. Una successione è definita mediante la
ricorrenza
a0 = 2
1 + an
an+1 =
, ∀n > 0
2
Pn
Trova una formula chiusa per an ed una per i=0 ai .
Esercizio 4.2.10. Esprimere con una formula chiusa il
termine n-esimo della successione definita mediante la
ricorrenza :
a0 = 1
an+1 =
an
1 + nan
∀n > 0
,
Esercizio 4.2.11. Una successione è definita mediante
la ricorrenza
a0 = 3
an+1 =
an
1 + an
∀n > 0
,
Trova una formula chiusa per an ed una per
Pn
1
i=0 ai .
Esercizio 4.2.12. Risolvere la relazione di ricorrenza
a0 = 0
an+1 − 2an = Fn
,
∀n > 0
avendo indicato con Fn la successione di Fibonacci.
Esercizio 4.2.18. Delle parole di lunghezza n, scritte
usando l’alfabeto {a, b, c}, devono essere trasmesse attraverso un canale di comunicazione rispettando la condizione che non vi sia alcuna parola contenente due lettere a consecutivamente. Determinare il numero di parole
permesse nel canale di comunicazione.
Esercizio 4.2.19. Dire quante sono le parole di lunghezza n, scritte utilizzando le lettere a, b, c e verificanti le
due condizioni:
• le parole devono iniziare e terminare con la lettera
a;
• le parole non devono contenere lettere adiacenti
uguali.
Esercizio 4.2.20. Uno studente attraversa una stanza
che contiene una fila di lucchetti chiusi, numerati da 1 a
1024. Egli apre il lucchetto numero 1 e poi alternativamente non apre o apre ogni lucchetto chiuso che incontra.
Quando raggiunge la fine della stanza lo studente torna
indietro i direzione contraria. Egli apre il primo lucchetto
che trova chiuso e poi alternativamente non apre o apre
ogni lucchetto chiuso che incontra. Egli continua in questo modo finchè apre tutti i lucchetti. Qual è il numero
dell’ultimo lucchetto che viene aperto?
Esercizio 4.2.21. In quanti modi una scacchiera 2 × n
può essere ricoperta con mattonelle 2 × 1 o 2 × 2?
Esercizio 4.2.22. In quanti modi una scacchiera 2 × n
può essere ricoperta con quadrati 1 × 1 ed L-tromini?
Esercizio 4.2.23. In quanti modi una scacchiera 2 × n
può essere ricoperta con quadrati 1 × 1 ed L-tromini?
Esercizio 4.2.24. In quanti modi una scacchiera 3 × n
può essere ricoperta con mattonelle 2 × 1?
Esercizio 4.2.13. Sia {an } una successione tale che Esercizio 4.2.25. In quanti modi una scacchiera 4 × n
a1 = a2 = a3 = 1 e an+4 = 3an+2 − 2an , ∀n > 1. può essere ricoperta con mattonelle 3 × 1?
Dimostrare che an = 1 se e solo se n è dispari o n = 2.
Esercizio 4.2.26. In quanti modi una scacchiera 2 × n
Esercizio 4.2.14. Sia {an } tale che an+2 = an+1 − può essere ricoperta con mattonelle 1 × 1 o 2 × 1?
an , ∀n > 1. Sapendo che a38 = 7, a55 = 3 trovare a1 .
Esercizio 4.2.27. In quanti modi una scacchiera 4 × n
può essere ricoperta con mattonelle 2 × 1?
Esercizio 4.2.15. Sia data la successione
Esercizio 4.2.28. Dimostra che i numeri 1, 2, . . . , 100
x0 = 0, x1 = 1
non
possono appartenere a 12 progressioni geometriche.
xn+2 = 3xn+1 − 2xn , ∀n > 1
Esercizio 4.2.29. Siano {xn } ed {yn } due successioni
e sia yn = x2n + 2n+2 . Dimostra che y n è il quadrato di
definite per ricorrenza nel modo seguente:
un intero dispari per ogni n > 0.
x0 = 1, x1 = 1, xn+1 = xn + 2xn−1 , ∀n > 1
Esercizio 4.2.16. La successione {an } è definita
y0 = 1, y1 = 7, yn+1 = 2yn + 3yn−1 , ∀n > 1
ricorsivamente da
Prova che, eccettuato 1, le due successioni non hanno altri elementi in comune. (USA Mathematical Olympiad
1973 )
a0 = 1 , a1 = 2
an =
a2n−1 + 1
an−2
Esercizio 4.2.30. In una gara sportiva, m medaglie devono essere assegnate in n giorni consecutivi (n > 1). Il
primo giorno è assegnata una medaglia e 71 delle rimanenEsercizio 4.2.17. Uno studente lancia una moneta rego- ti m − 1 medaglie. Il secondo giorno sono assegnate due
1
lare e ottiene 1 punto per ogni testa e 2 punti per ogni cro- medaglie e 7 delle rimanenti; e così via. L’n-esimo giorno
sono assegnate le rimanenti n medaglie. Quanti giorni duce. Dimostra che la probabilità che lo studente totalizzi
1
1n
ra
la gara e quante medaglie vengono complessivamente
n punti nel corso di una serie di n lanci è 3 2 + − 2
.
assegnate? (International Mathematical Olympiad 1967 )
Dimostra che tutti i termini della successione sono numeri
interi.
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Capitolo 5
Problemi di ricapitolazione
5.1
Problemi di livello base
1. Quanti sono i numeri naturali, compresi tra 100 e 800, che hanno la prima cifra pari e la seconda
dispari?
2. Dire quanti numeri pari, maggiori di 30000 e minori di 90000, si possono formare con le cifre 1, 2, 4,
5, 6, 7, 9. Quanti sono i numeri del tipo predetto aventi tutte le cifre distinte?
3. Dire quanti numeri dispari di 5 cifre minori di 70000 si possono formare con le cifre 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9.
Quanti sono i numeri di tipo predetto aventi tutte le cifre distinte.
10
4. Qual è il coefficiente del termine di grado 32 del polinomio che si ottiene sviluppando x5 + 3x2 .
5. Disposti in ordine crescente i numeri interi di 5 cifre ottenuti permutando le cifre di 13579, dire quale
posto occupa il numero 73591.
6. Ad un concorso per 4 posti partecipano 15 concorrenti. Quante sono le possibili graduatorie dei 4
vincitori.
7. Un consiglio di amministrazione composto di 7 persone deve nominare, tra i suoi membri, un Presidente, un Segretario e un Tesoriere. Quante sono le possibili scelte?
8. Quanti quadrilateri si possono formare con 7 punti di un piano di cui mai 3 allineati.
9. Assegnati in un piano 15 punti, di cui mai 3 allineati, quante rette si possono tracciare congiungendo
i punti a due a due.
10. In quanti punti si incontrano 10 rette di un piano tali che fra esse non vi siano coppie di rette parallele,
nè terne di rette concorrenti.
11. In quanti modi diversi 3 diciottenni, 4 ventenni e 5 venticinquenni possono occupare una fila di 12
posti, supposto che i ragazzi della stessa età vogliano occupare posti consecutivi.
12. Quante cifre occorrono per scrivere tutti i numeri compresi tra 1 e 2004.
13. Un’urna contiene 12 palline bianche e 4 nere. In quanti modi possono essere state estratte dall’urna
4 palline nell’ipotesi che esse siano 2 bianche e 2 nere.
14. Quanti sono i numeri tra 1 e 800 divisibili per 4, per 6 o per 9?
15. In un parcheggio vi sono 32 posti macchina. Supposto che in esso parcheggino a caso 28 macchine,
dire in quanti modi possono restare liberi gli altri 4 posti.
16. Quanti sono i numeri di sei cifre con 3 cifre pari e 3 cifre dispari.
52
53
Problemi di livello base
17. Risolvere le equazioni:
x
x+1
7 x−2
x−2
−
=4
+
3
4
3
2
2
6
x+4
x+3
x+2
5
+
= 20
x−1
4
x−2
15 (x − 1)! + 3x! = (x + 1)!
18. Quanti numeri di 4 cifre, minori di 5764, si possono formare con le cifre 2, 3, 4, 6, 8, 9.
19. Applicando la legge di Stiefel esprimere il numero:
2
3
4
5
6
7
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
sotto forma di coefficiente binomiale.
20. Una cassaforte ha la combinazione formata con quattro delle lettere A, B, C, D, E, F , G, H, I, L,
M , N , O, P . Quanti tentativi sono necessari, al massimo, per aprirla.
21. In quanti modi diversi si può formare un comitato di 4 persone se queste vengono scelte tra 6 uomini
e 8 donne con la condizione che almeno due membri del comitato siano donne.
22. In quanti modi diversi 5 soldati possono essere assegnati a 3 reggimenti.
23. Una signora ha 4 amiche. In quanti modi può invitare una o più di queste a cena?
24. Risolvere la seguente equazione:
x
x
x
−1
=
+
2
3
4
25. Quanti sono i numeri di tre cifre, più piccoli di 645, tali che
(a) non contengano le cifre 5, 7;
(b) non contengano le cifre 3, 4, 5.
26. Quanti sono i lati di un poligono con 189 diagonali.
2 7
5
.
27. Qual è il coefficiente di x nello sviluppo di x +
x
28. Quanti sono i numeri naturali compresi tra 10000 e 1000000 aventi tutte cifre pari.
29. Dire quanti colori si possono ottenere combinando in tutti i modi possibili i 7 colori fondamentali.
30. Qual è il coefficiente del termine di grado 24 del polinomio che si ottiene sviluppando la potenza
7
2x4 + x3 .
31. (a) Quanti numeri si possono formare utilizzando tutte le cifre del numero 5568332?
(b) Quanti di essi iniziano con 832?
32. Risolvere la seguente equazione:
x
x
5
= Dx,2
−4
9
2
3
2
33. Quanti sono i numeri pari, compresi tra 1 e 10000, divisibili per 3 o per 5?
34. Dieci punti sono segnati su una circonferenza. Quanti sono i poligoni convessi di 3 o più lati, aventi per
vertici alcuni dei punti segnati sulla circonferenza (anche tutti). Due poligoni si considerano uguali
se hanno gli stessi vertici.
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54
Capitolo 5
35. In quanti modi si possono collocare 8 palline in 4 scatole A, B, C, D se:
(a) le palline sono indistinguibili;
(b) le palline sono numerate da 1 a 8;
(c) le palline sono indistinguibili e ogni scatola deve essere non vuota;
(d) le palline sono numerate da 1 a 8 e ogni scatola deve essere non vuota.
36. Quanti sono i numeri di cinque cifre contenenti la sequenza 32 ?
37. Quanti minuti intercorrono tra le 11.43 e le 14.07
38. Quanti numeri pari di 3 cifre, con cifre distinte,si possono formare con le cifre 1, 3, 4, 5, 8, 9.
39. Risolvere la seguente equazione:
x
x+1
= 6x2 − 6x
+
2
3
x−2
40. Quanti sono gli anagrammi della parola BACILLO che non iniziano con A?
41. Quanti numeri di 4 cifre, minori di 6000, si possono formare con le cifre 2, 3, 4, 7, 8, 9.
√ 6
√
√
2 + 3 = a + b 6, determinare a + b.
42. Sapendo che
43. Dimostrare la seguente identità:
n+1
n−1
= (n − 1)2 +
3
3
44. In una libreria vi sono 30 libri di storia, 50 di letteratura e 20 di carattere scientifico. Supposto che i
libri di una stessa materia siano fra loro indistinguibili dire in quanti modi è possibile scegliere 6 libri
di cui 2 di storia, 3 di letteratura e 1 scientifico.
45. In quanti modi si possono distribuire 20 palline indistinguibili in 5 scatole numerate?
46. Dei 100 studenti di una scuola, 37 studiano Francese, 45 studiano Inglese e 50 Tedesco. Alcuni di
essi studiano più di una lingua e precisamente: 12 studiano Francese e Inglese, 13 studiano Francese
e Tedesco, 15 studiano Inglese e Tedesco. Infine vi sono 3 studenti che studiano tutte e tre le lingue.
Quanti sono gli studenti che studiano almeno una lingua straniera?
47. Risolvere la seguente equazione:
x
x+1
=0
−2
x−2
x−2
48. Dall’insieme Ω = {1, 2, . . . , 1000} vengono eliminati tutti i multipli di 2, tutti i multipli di 5 e tutti i
multipli di 7. Quanti numeri rimangono?
49. Trovare la soluzione della seguente equazione:
x
x+1
x
=2·
−
6·
x−4
x−2
x−2
50. Quanti sono gli anagrammi delle parole LAT IN O, T ET T O.
51. Sia Ω = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}. Dire quanti sono
(a) i sottoinsiemi di Ω;
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55
Problemi di livello base
(b) i sottoinsiemi di Ω aventi cardinalità divisibile per 3.
52. Un palindromo è un numero che si legge allo stesso modo da sinistra verso destra e da destra verso
sinistra (es. 32423). Quanti sono i numeri palindromi di 7 cifre?
53. Quanti sono i palindromi compresi tra 1 e 1991?
54. Dati gli insiemi A = {a, b} e B = {1, 2, 3, 4} dire:
(a) quante sono le relazioni tra A e B;
(b) quante sono le funzioni tra A e B;
(c) quante funzioni tra A e B sono iniettive e quante sono suiettive.
55. Determinare le soluzioni della seguente equazione:
x−1
x
x+1
x−1
+
=
−
3
3
4
2
56. Determinare il coefficiente del monomio a14 b7 c3 nello sviluppo di 2a2 b + 3c
57. Quanti numeri da 1 a 500 (inclusi) non contengono la cifra 3.
10
58. Quante cifre uguali a 9 vi sono nella rappresentazione decimale del numero 101998 − 1998.
59. Quante sono le permutazioni dell’insieme Ω = {a, b, c, d, e, f } che iniziano con la lettera a oppure
contengono le lettere a, b, c consecutivamente.
60. Quanti numeri pari di quattro cifre, minori di 1999 e con cifre tutte distinte, si possono formare
utilizzando 1, 2, 3, 4, 8, 9.
61. Qual è il valore di
500
1000
2000
+
+
497
998
1999
62. Dati gli insiemi A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3} dire quante sono:
(a) le relazioni tra A e B;
(b) le funzioni tra A e B;
(c) le funzioni iniettive tra A e B;
(d) le funzioni suiettive tra A e B.
63. In un cubo si dice diagonale un segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia.
Quante sono le diagonali di un cubo?
64. In un poligono il rapporto tra il numero di diagonali e il numero di lati vale 2000. Quanti sono i lati
del poligono?
65. In quanti modi si possono collocare 10 palline bianche e 8 palline nere in 5 scatole numerate in modo
che ciascuna scatola contenga almeno una pallina di ogni colore. (Si suppone che tutte le palline dello
stesso colore siano indistinguibili).
66. Quanti sono gli anagrammi della parola N AT ALE? Scritti tutti gli anagrammi in ordine alfabetico
crescente, quale posizione occupa la parola N AT ALE?
67. In un ufficio vi sono 10 impiegati che possono andare in ferie 3 nel mese di giugno, 3 nel mese di luglio
e 4 ad agosto. In quanti modi gli impiegati possono scegliere le ferie.
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56
Capitolo 5
68. Una busta contiene 10 caramelle che sono 3 al limone, 5 all’arancio e 2 alla fragola. Conveniamo di
considerare distinguibili due caramelle se e solo se sono di gusti diversi. In quanti modi si possono
distribuire le 10 caramelle a 3 bambini.
69. In un piano sono assegnati 12 punti di cui mai 3 allineati. I punti sono 5 di colore rosso e 7 di colore
nero. Quanti quadrilateri si possono formare con tali punti aventi:
(a) tutti i vertici dello stesso colore;
(b) due vertici rossi e due neri.
70. Risolvere la seguente equazione
x
x
x
=5
+
−
1
2
3
71. Uno studente che sostiene un esame deve rispondere a 8 domande su 10. Quante scelte ha? Quante
ne ha se deve rispondere almeno a 4 delle prime 5 domande?
72. In quanti modi si può formare una commissione di 3 uomini e 2 donne scelti fra 10 uomini e 7 donne?
73. Trovare il numero di modi in cui 3 libri di geometria, 4 di storia e 6 di narrativa si possono sistemare
su uno scaffale in modo che tutti i libri di una stessa materia siano vicini.
74. (a) Quanti sono gli anagrammi della parola LAT T ICIN I?
(b) Quanti di questi anagrammi non iniziano con la lettera A?
75. (a) Quanti sono i numeri formati da cinque cifre dispari distinte?
(b) Quanti di questi numeri sono maggiori di 32558?
76. Assegnato l’insieme Ω = {1, 2, . . . , 50} dire quanti sono:
(a) gli elementi di Ω divisibili per 3 o per 7;
(b) i sottoinsiemi di Ω con 4 elementi;
(c) i sottoinsiemi di Ω con 4 elementi, di cui esattamente due divisibili per 3 o per 7.
77. Quanti sono i numeri di 6 cifre aventi almeno una cifra pari?
78. Le figurine di un album sono numerate da 1 a 60 e si comprano in pacchetti da 10. Acquistando un
pacchetto di figurine si attribuisce uguale probabilità a tutte le possibili composizioni del pacchetto.
(a) Calcolare il numero di modi di formare un pacchetto;
(b) Calcolare il numero di modi di formare un pacchetto con figurine tutte diverse;
(c) Calcolare il numero di modi di avere un pacchetto con almeno 2 figurine uguali;
(d) Calcolare il numero di modi di avere un pacchetto con esattamente 2 figurine uguali.
79. La biglietteria di un teatro dispone di 100 biglietti numerati da 1 a 100. I biglietti vengono distribuiti
a caso agli acquirenti. Quattro amici acquistano separatamente un biglietto a testa. Calcolare il
numero dei modi in cui i quattro amici possono ricevere:
(a) Quattro biglietti;
(b) Quattro biglietti con numeri consecutivi;
(c) Quattro biglietti con numeri maggiori di 50;
(d) Due biglietti con numeri maggiori di 60 e due biglietti con numeri minori di 30.
80. Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di cui il primo è una lettera
dell’alfabeto latino e il secondo è una cifra da 0 a 9?
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57
Problemi di livello base
81. Quanti numeri di cinque cifre hanno almeno una cifra dispari?
82. Uno studente deve sostenere 5 esami ogni anno per i 4 anni di durata del suo corso di studi, senza
poter rimandare un esame da un anno all’altro, nell’ordine da lui preferito . Quante sono le possibili
sequenze dei 20 esami?
83. A una gara partecipano 20 concorrenti. Quante terne di primi tre classificati si possono formare
(nell’ipotesi che non vi siano degli ex-aequo)?
84. Quanti numeri pari di 4 cifre si possono formare con le cifre da 1, 2, 3, 7, 8, 9
(a) con cifre tutte distinte;
(b) minori di 7500 e con cifre anche eventualmente ripetute.
85. In una classe di 18 maschi e 12 femmine si devono scegliere 3 rappresentanti. Quanti sono i modi
possibili se:
(a) non si impongono condizioni;
(b) vi devono essere 2 maschi e 1 femmina;
(c) vi devono essere 2 femmine e 1 maschio?
86. Se le diagonali di un poligono convesso sono 20, quanti sono i lati?
87. 3 ragazze e 2 ragazzi si siedono al cinema in 5 posti consecutivi della stessa fila. In quanti modi
possono occupare i posti, tenendo conto che ogni femmina vuole avere a fianco almeno un maschio (e
viceversa)?
88. In una classe di 15 allievi, si suddividono gli allievi in gruppi da 5. In quanti modi si possono formare
i gruppi?
89. Supponi di distribuire 20 caramelle identiche a 4 bambini. Quante possibili distribuzioni ci sono se
(a) Non ci sono restrizioni;
(b) Ciascun bambino deve avere almeno una caramella.
90. Assegnato l’insieme Ω = {1, 2, . . . , 200} dire :
(a) quanti sono gli elementi di Ω divisibili per 5 o per 9;
(b) quanti sono i sottinsiemi di Ω aventi 5 elementi, di cui 2 sono divisibili per 3 ed i rimanenti sono
divisibili per 7.
91. Quanti numeri pari di 4 cifre si possono formare con le cifre da 2, 5, 6, 7, 8, 9
(a) con cifre tutte distinte;
(b) maggiori di 7500 e con cifre anche eventualmente ripetute.
92. Se le diagonali di un poligono convesso sono 27, quanti sono i lati?
93. Da un’urna contenente 15 palline rosse e 10 bianche si estraggono contemporaneamente 2 palline.
(a) In quanti modi può essere effettuata la scelta?
(b) In quanti modi può essere effettuata la scelta di 2 palline rosse?
(c) In quanti modi può essere effettuata la scelta di una pallina rossa e di una pallina bianca?
94. Dire quante sono le soluzioni intere dell’equazione
x1 + x2 + x3 = 10
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58
Capitolo 5
(a) se xi > 0 per ogni i;
(b) se xi > 0 per ogni i;
95. In quanti modi si possono distribuire 15 palline indistinguibili a 3 persone, in modo che almeno due
persone ricevano almeno una pallina.
96. Quante sono le soluzioni dell’equazione a + b + c + d = 17 con a, b, c, d ∈ N, d 6 12.
97. Ad una riunione partecipano 10 persone, ciascuna delle quali stringe la mano esattamente ad altre 3.
Determinare il numero complessivo di strette di mano.
98. Quanti numeri pari di tre cifre possono essere scritti utilizzando le cifre 1, 2, 3, 4, 5, 7.
99. In quanti modi si possono sistemare 8 oggetti distinti in 6 scatole diverse in modo che:
(a) qualche scatola può anche essere vuota;
(b) in ogni scatola deve esserci almeno un oggetto.
100. Un test è formato da 8 quesiti a risposta multipla con 5 possibilità per ogni domanda. Dire in quanti
modi è possibile rispondere.
7
101. Qual è il coefficiente del monomio x4 y 6 nello sviluppo del binomio x − 3y 2 .
102. Quanti sono numeri compresi tra 800 e 2005 divisibili per 12 o per 18.
103. Avendo a disposizione tre gettoni rossi e quattro gialli (i gettoni di uno stesso colore sono indistinguibili), determina quanti sono i possibili modi con cui possono
(a) allinearsi;
(b) allinearsi con il primo gettone rosso e l’ultimo giallo;
(c) allinearsi con colori alternati;
(d) allinearsi con i tre gettoni rossi vicini.
104. Quanti sono i numeri interi positivi, minori di 1000 che contengano almeno una cifra uguale ad 1 nella
loro rappresentazione decimale.
105. Quante sono le parole di lunghezza 5, con lettere tutte distinte, che si possono scrivere con {a, b, c, d, e, f, g}
tali che le lettere a e b non sono vicine tra loro.
106. Dire in quanti modi 3 italiani, 3 francesi e 3 russi possono sedersi su una fila di nove sedie in modo
che 3 persone della stessa nazione non occupino tre posti consecutivi.
107. Quante sono le soluzioni dell’equazione
x + y + z = 15
con x, y, z interi non negativi.
108. Quanti sono gli anagrammi della parola CAV ALLO in cui non vi sono due lettere A vicine fra loro.
109. Quanti oggetti possiamo differenziare con delle targhe di due simboli di cui il primo è una lettera
dell’alfabeto latino e il secondo è una cifra da 0 a 9?
110. Quanti sono gli anagrammi:
(a) della parola AN AT ROCCOLO;
(b) della parola AN AT ROCCOLO in cui non compaiono le due lettere C vicine fra loro?
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59
Problemi di livello base
111. Quanti numeri di sei cifre hanno almeno una cifra pari?
112. Quanti sottoinsiemi di Ω = {1, 2, . . . , 12} contengono almeno un numero dispari?
113. Quanti interi positivi minori di 1000 sono :
(a) divisibili per 5 o per 7;
(b) divisibili per 5 ma non per 7;
(c) divisibili nè per 5 nè per 7.
114. In quanti modi si possono disporre 7 libri A, B, C, D, E, F , G su uno scaffale se:
(a) i libri D ed E devono stare vicini fra loro;
(b) i libri D, E, F non devono stare tutti e tre vicini.
115. Quanti numeri dispari di 4 cifre si possono formare con le cifre da 2, 3, 4, 6, 8, 9
(a) con cifre tutte distinte;
(b) minori di 6500 e con cifre anche eventualmente ripetute
116. In una classe di 11 maschi e 14 femmine si devono scegliere 3 rappresentanti. Quanti sono i modi
possibili se:
(a) non si impongono condizioni;
(b) vi devono essere 1 maschio e 2 femmine;
(c) vi devono essere tre persone dello stesso sesso?
117. Supponi di dover distribuire 12 palline uguali in 3 scatole. Quante sono le possibili distribuzioni se
(a) non ci sono restrizioni;
(b) ogni scatola deve contenere almeno una pallina;
(c) nessuna scatola deve contenere più di 5 palline.
118. Quanti sono i numeri di 5 cifre aventi almeno 2 cifre pari.
119. Quanti sono i numeri di 5 cifre divisibili tali che la somma delle loro cifre è un multiplo di 9.
120. Due interi si dicono relativamente primi se il loro massimo comun divisore è uguale a 1. Dire quanti
sono gli interi compresi tra 1 e 800 che sono relativamente primi con 1000.
121. Quanti sono gli anagrammi:
(a) della parola P IN OCCHIO;
(b) della parola P IN OCCHIO in cui non compaiono le due lettere C vicine fra loro?
122. Quanti numeri di cinque cifre hanno almeno una cifra dispari?
123. Quanti sono i divisori di 3000?
124. Quanti sono i sottoinsiemi di Ω = {a, b, c, d, e} aventi un numero dispari di elementi?
125. In quanti modi si possono disporre 6 libri A, B, C, D, E, F su uno scaffale se:
(a) i libri D ed E devono stare vicini fra loro;
(b) i libri D, E, F non devono stare tutti e tre vicini.
126. Quanti numeri dispari di 4 cifre si possono formare con le cifre da 1, 3, 4, 6, 7, 9
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a.s. 2011-12
60
Capitolo 5
(a) con cifre tutte distinte;
(b) minori di 5600 e con cifre anche eventualmente ripetute.
127. In una classe di 10 maschi e 8 femmine si devono scegliere 3 rappresentanti. Quanti sono i modi
possibili se:
(a) vi devono essere 2 maschi e 1 femmina;
(b) vi devono essere tre persone dello stesso sesso?
128. 15 palline uguali sono distribuite in 3 scatole. Quante possibili distribuzioni ci sono se:
(a) ogni scatola deve contenere almeno una pallina;
(b) nessuna scatola deve contenere più di 6 palline
7
129. Determinare il coefficiente di x6 y 12 nello sviluppo della potenza 2x2 − 3y 3 .
130. Quanti sono i numeri dispari con cifre tutte distinte compresi tra 5000 e 8000?
131. Quanti sono gli anagrammi:
(a) della parola CANOTTO;
(b) della parola CANOTTO in cui non compaiono due lettere uguali vicine fra loro?
132. Quanti numeri di cinque cifre hanno almeno una cifra dispari?
133. Quanti sottoinsiemi di Ω = {1, 2, . . . , 14} contengono almeno un numero pari?
134. Quanti interi positivi minori o uguali di 900 sono:
(a) divisibili per 3 o per 11;
(b) divisibili per 3 ma non per 11;
(c) divisibili nè per 3 nè per 11.
135. Quante sono le colonne del totocalcio (si giovano 14 partite)
(a) con cinque segni 1, due segni X e sette segni 2;
(b) che contengono esattamente due simboli.
136. Qual è il coefficiente di x12 y 12 nello sviluppo di x3 + 2y 2
10
?
137. In una classe di 12 maschi (di cui 5 maggiorenni) e 13 femmine (di cui 6 maggiorenni) si devono
scegliere 3 rappresentanti. Quanti sono i modi possibili se:
(a) vi deve essere almeno un rappresentante di ogni sesso;
(b) vi devono essere o tre persone dello stesso sesso o tre maggiorenni?
138. Ad una gara matematica vengono assegnati 7 problemi, ciascuno dei quali è valutato con un intero compreso tra 0 e 8. Al termine della gara, un concorrente ha realizzato in tutto solo 8 punti.
Determinare in quanti modi può aver ottenuto questo punteggio totale.
E. Suppa, R. Tupitti
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61
Problemi di livello intermedio
5.2
Problemi di livello intermedio
1. In quanti modi si possono staccare medaglie dalla figura seguente se si rispettano le regole
(i) scegliere una colonna da cui staccare una medaglia
(ii) staccare la medaglia più in basso nella colonna scelta
2. Un giocatore a corto di tempo, può fare al massimo 6 giocate al gioco dei dadi. Egli possiede tre
monete e, ad ogni giocata, ne vince o ne perde una. Continua a giocare fino a quando perde le sue
tre monete oppure ne vince tre. Quante sono le possibili giocate.
3. Quanti sono i numeri di 3 cifre che si possono formare con 3, 5, 7, 8, 9 tali che
(a) siano pari
(b) siano dispari
(c) siano divisibili per 5
(d) divisibili per 3
(e) maggiori di 550
(f) maggiori di 500 e minori di 850
4. Determinare n sapendo che il coefficiente di x46 nello sviluppo di x2 + 2x8
5. Quanti rettangoli ci sono nella seguente figura
n
è 1792.
6. Quanti sono i numeri di 4 cifre, ciascuna non nulla, tali che ogni cifra sia non maggiore della seguente
ed aventi l’ultima cifra uguale a 9.
7. Sia Ω = {1, 2, . . . , 30}. Quanti sono i sottoinsiemi di Ω di cardinalità 4, in cui due elementi siano
divisibili per 3 o per 7, mentre non lo è nessuno degli altri due.
8. Quanti sono i termini di un polinomio omogeneo completo di terzo grado nelle variabili a, b, c, d.
9. In quanti modi 10 palline identiche possono essere distribuite a 9 persone A, B, C, D, E, F , G, H,
I in modo che il numero di palline ricevute da A è uguale al numero totale di palline ricevute da B,
C, D, E.
E. Suppa, R. Tupitti
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a.s. 2011-12
62
Capitolo 5
10. Quanti sono i termini dello sviluppo della potenza (a + b + c + d)6
11. Assegnato l’insieme Ω = {1, 2, . . . , 41} dire in quanti modi si possono scegliere:
(a) due elementi in modo che la loro somma sia pari;
(b) tre elementi in modo che la loro somma sia pari;
(c) due elementi in modo che la loro somma sia divisibile per 5.
12. Quanti sono gli interi da 1 a 10.000 aventi la somma delle cifre uguale ad 8 .
13. Sia n = 213 · 311 · 57 . Dire quanti sono i divisori di n2 che non dividono n.
14. Quanti sono i numeri interi minori di 1999 che hanno la somma delle cifre è uguale a 16.
15. Determinare il numero di soluzioni, nell’insieme N dei numeri naturali, delle seguenti equazioni
(a) x + y + z + t + u = 12;
(b) 2x + y + z + t = 12
16. Quanti sono i quadrati contenenti * nella seguente figura
*
17. Sia N il numero ottenuto scrivendo consecutivamente i numeri multipli di 3 compresi tra 3 e 9000.
(a) Quante sono le cifre del numero N ;
(b) Qual è la 1997 cifra del numero N .
18. Sia Ω = {1, 2, . . . , 7}. Quanti sono i sottoinsiemi di Ω aventi la proprietà che la somma dei loro
elementi sia un numero dispari.
19. Quanti triangoli si possono formare prendendo come vertici i punti delle seguenti figure:
A
B
20. Quanti sono i numeri naturali minori o uguali a 396 e relativamente primi con 396? (Due numeri
naturali a , b si dicono relativamente primi se il loro massimo comun divisore è uguale ad 1).
21. Quanti sono i triangoli aventi come vertici tre punti della seguente figura:
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
63
Problemi di livello intermedio
22. Quanti numeri possono essere espressi come somma di quattro elementi distinti dell’insieme
Ω = {17, 21, 25, 29, 33, 37, 41}
23. Una classe di 20 alunni va in visita ad un museo il cui accesso è consentito a 5 persone per volta. La
maestra divide i suoi allievi in 4 gruppi di 5. Calcolare il numero dei modi in cui:
(a) la maestra può dividere i suoi alunni nei 4 gruppi;
(b) i 4 gruppi di alunni possono entrare a turno per visitare il museo.
24. La biglietteria di un teatro dispone di 100 biglietti numerati da 1 a 100. I biglietti vengono distribuiti
a caso agli acquirenti. Quattro amici acquistano separatamente un biglietto a testa.
(a) In quanti modi i 4 amici possono ricevere i loro biglietti.
(b) In quanti modi essi possono ricevere 4 biglietti con numeri consecutivi.
(c) In quanti modi essi possono ricevere 2 biglietti con numeri maggiori di 60 e 2 biglietti con numeri
minori di 30.
25. Dire con quanti zeri termina il numero 2004! scritto in base 10.
26. Quanti sono i cammini da A a B nella seguente figura (sono consentiti solo spostamenti verso destra
e verso l’alto).
B
A
27. Quante sono le terne (a, b, c) di interi non negativi che soddisfano la disuguaglianza:
a + b + c 6 2007
28. Qual è il più piccolo numero intero con 28 divisori?
29. Il PIN (codice identificativo personale) di una carta di credito è dato da un numero di 5 cifre. Si
suppone che ogni successione possibile abbia la stessa probabilità. Calcolare il numero di modi di :
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Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
64
Capitolo 5
(a) Formare un PIN;
(b) Formare un PIN con cifre tutte diverse;
(c) Formare un PIN se la prima cifra deve essere diversa da 0;
(d) Formare un PIN con cifre tutte diverse se la prima cifra deve essere diversa da 0.
30. Quanti sono i triangoli non degeneri aventi come vertici tre punti della seguente figura:
31. Trova il numero di quadruple (a, b, c, d) di interi non negativi che soddisfano la disuguaglianza
a + b + c + d 6 100
32. Quanti sono gli anagrammi della parola LOCOM OT IV A in cui non vi sono due lettere O vicine fra
loro.
33. Quanti sono i numeri di cinque cifre divisibili per 15 e contenenti la sequenza 15 .
34. Quanti sono gli interi non negativi minori di 1000000 che, scritti nella rappresentazione in base 10,
contengono le cifre 1, 2, 3, 4 (oltre eventualmente ad altre cifre).
35. Sia X un insieme con 2007 elementi. Sia P2 (X) = {A ⊆ X : |A| è pari}. Calcolare:
X
|A|
A∈P2 (X)
(Stage Senior 2007 )
36. Sia Ω = {1, 2, . . . , 10}. Trova il numero delle coppie non ordinate {A, B}, dove A e B sottinsiemi non
vuoti e disgiunti di Ω.
37. Determinare il coefficiente di x2 y 3 nello sviluppo di (x + y + 2)7 .
38. Quanti sono gli interi di quattro cifre in cui il prodotto tra la prima e l’ultima cifra è pari.
39. Quanti sono i sottoinsiemi A ⊆ Ω = {1, 2, . . . , 10} tali che A ∩ {4, 6, 9} ha al massimo due elementi.
40. Quanti sono i sottoinsiemi di Ω = {1, 2, . . . , 20} formati da 7 elementi tali che il secondo più piccolo
sia 5.
41. Sia Ω un insieme con 10 elementi. Determinare la somma delle cardinalità di tutti i sottinsiemi di Ω
aventi un numero pari di elementi.
42. Dire quanti sono i sottinsiemi dell’insieme Ω = {1, 2, . . . , 12} tali che la somma del più piccolo e del
più grande dei loro elementi sia 13. (Kangourou, Gara Finale, Mirabilandia 2006 )
43. Si vogliono distribuire 15 caramelle a tre bambini, Piero, Luigi e Gianni. Vogliamo che Piero ne riceva
almeno 2, Luigi un numero qualsiasi e Gianni almeno 3. Dire in quanti modi è possibile distribuire le
caramelle.
44. Chiamiamo pronunciabile una parola in cui non compaiono due o più consonanti consecutive. Dire
quanti sono gli anagrammi pronunciabili della parola MATEMATICA.
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Problemi di livello intermedio
45. Consideriamo i numeri da 1 a 36. Quante sono le sestine di numeri distinti che hanno almeno due
numeri consecutivi, come ad esempio {3, 7, 8, 15, 19, 32}. (Caldè 2006 )
46. Quanti interi di quattro cifre possono essere formati con 0, 1, 2, 3, 4 in modo che nessuna cifra sia
ripetuta e l’intero risultante sia multiplo di 3.
47. Le iniziali dei nomi dei 26 giocatori di una squadra di calcio sono le 26 lettere dell’alfabeto francese
(A, B, . . . , X, Y, Z). Quando i nomi di due giocatori hanno le iniziali vicine nell’ordine alfabetico
(ad esempio A, B oppure K, L) non sopportano di giocare insieme. L’allenatore tiene conto della
situazione quando deve formare la squadra di 11 giocatori da far scendere in campo. Dire quante
diverse squadre da 11 giocatori può formare.
(Caldè 2005 )
48. Si deve realizzare uno scettro incastonando in successione, dall’alto verso il basso, 18 pietre preziose
scelte tra smeraldi verdi (V ) e rubini rossi (R); non si possono però mettere due pietre verdi vicine.
Dire in quanti modi si può realizzare lo scettro.(Kangourou, Gara Finale, Mirabilandia 2006 )
49. Dire quante sono le permutazioni di {1, 2, . . . , n} in cui nessuna tripletta di {1, 2, 3, 4} appaia consecutivamente. (Cioè è vietato 2,4,3 o 4,1,2, etc.) (Iran? )
50. Quanti sono gli anagrammi della parola M AT EM AT ICA tali che
(a) vi siano due M consecutive;
(b) non vi siano due vocali consecutive;
(c) siano verificate entrambe le condizioni precedenti.
51. Determinare quante sono le terne ordinate (A, B, C) di sottoinsiemi di {1, 2, dots, n} tali che A ∩ B ∩
C = ∅.
52. Dire quanti sono i numeri di 6 cifre tali che
• ogni cifra appartiene all’insieme Ω = {1, 2, 3, 4, 5};
• ogni cifra del numero compare almeno due volte.
(Karnataka RMO 2007 )
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Capitolo 5
5.3
Problemi di livello avanzato
1. Quanti sono i sottoinsiemi di Ω = {1, 2, . . . , 10} non contenenti due interi consecutivi.
2. Si consideri la collezione di tutti i sottoinsiemi di cardinalità 3 contenuti nell’insieme Ω = {1, 2, . . . , 300}.
Determinare il numero di tali sottoinsiemi per i quali la somma degli elementi è un multiplo di 3.
3. Quanti sono i sottoinsiemi di cardinalità 3 dell’insieme Ω = {1, 2, . . . , 30} tali che il prodotto dei loro
elementi è divisibile per 4.
4. In quanti modi si può andare dal punto A al punto B muovendosi nel reticolato indicato in figura
(sono ammessi soltanto spostamenti verso destra e verso l’alto).
B
A
5. Un numero telefonico di 7 cifre xyz − abcd è detto memorizzabile se il prefisso xyz è esattamente uguale ad almeno una delle due sequenze abc oppure bcd. Assumendo che x, y, z, a, b, c, d ∈
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, } dire quanti sono i numeri telefonici memorizzabili di 7 cifre.
6. Quanti sono i numeri di 6 cifre contenenti esattamente tre cifre distinte.
7. Quante sono le coppie (a, b), di interi positivi tali che [a, b] = 1000, avendo indicato con [a, b] il minimo
comune multiplo di a e b.
8. Una griglia triangolare è ottenuta dividendo un triangolo equilatero di lato 10 in 100 triangoli equilateri
di lato 1. Determinare il numero di parallelogrammi delimitati dai lati della griglia.
9. Un rettangolo di dimensioni 2004×1000 è diviso in 2004000 quadrati di lato 1. Quanti sono i quadrati
attraversati da una diagonale.
10. In quanti modi un rettangolo di dimensioni 10 × 2 può essere ricoperto con 10 rettangoli di dimensioni
1 × 2.
11. Si indichi con [r, s] il minimo comune multiplo degli interi positivi r, s. Quante sono le terne ordinate
(a, b, c) di interi positivi tali che [a, b] = 1000, [b, c] = 2000, [c, a] = 2000.
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Problemi di livello avanzato
12. Determinare il numero di coppie ordinate di numeri interi positivi (a, b) tali che il minimo comune
multiplo di a e b è 324000.
13. Quante sono le terne ordinate (x, y, z) , di numeri interi soddisfacenti le condizioni
(a) 0 6 x 6 y 6 z;
(b) x + y + z 6 100.
(Indian Regional Mathematical Olympiad 2003 )
14. Quanti sono i numeri interi di 4 cifre aventi esattamente 2 cifre distinte.
15. Quante sono le coppie non ordinate {A, B} di sottoinsiemi Ω = {1, 2, . . . , 10} tali che:
(a) A 6= B;
(b) A ∪ B = Ω.
16. In quanti modi la seguente griglia 2 × 8 può essere ricoperta con
A
B
(a) due mattonelle di tipo A ed 7 mattonelle di tipo B;
(b) quattro mattonelle di tipo A ed 7 mattonelle di tipo B.
17. Quante sono le soluzioni dell’equazione
a + b + c + d = 12
con a, b, c, d interi compresi tra 1 e 9.
18. Quanti sono i numeri interi positivi, minori di 10000 che, nella loro rappresentazione decimale,
(a) contengano non più di due cifre uguali a 3;
(b) abbiano la somma delle cifre uguale a 9.
19. Su un lungo corridoio vi sono cento porte, numerate da 1 a 100, inizialmente tutte chiuse. Cento
studenti, anch’essi numerati da 1 a 100, attraversano uno alla volta il corridoio e si comportano nel
modo seguente: lo studente 1 apre ogni porta, lo studente 2 cambia lo stato delle porte 2, 4, 6, . . . ; lo
studente 3 cambia lo stato delle porte 3, 6, 9, . . . ; lo studente 4 cambia lo stato delle porte 4, 8, 12, . . . ;
ognuno degli altri si comporta in modo analogo, fino allo studente 100 che cambia lo stato della porta
100. Dire quante sono le porte aperte dopo che tutti gli studenti hanno attraversato il corridoio.
(Cambiare lo stato di una porta significa aprirla se essa è chiusa e chiuderla se essa è aperta).
20. Quante sono le coppie non ordinate {A, B} di sottoinsiemi Ω = {1, 2, . . . , 10} tali che: A 6= B e
A ∩ B = {1, 2, 3}.
21. Dire quante sono le parole binarie di lunghezza n che non contengono le sequenze 010 e 101.
22. Un parola scritta con l’alfabeto {0, 1, 2, 3} è detta legittima se contiene un numero pari di zeri. Allora,
ad esempio, la parola 31010 è legittima, mentre 01010 non lo è. Dire quante sono le parole legittime
di lunghezza n.
23. Trova il numero di vettori (x1 , x2 , x3 ) dove ogni xi è un numero intero e 1 6 x1 6 x2 6 x3 6 10.
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Capitolo 5
24. Sia n ≥ 2 un intero, e sia M = {1, 2, . . . , n}. Per ogni k = 1, 2, . . . , n − 1 definiamo:
xk =
1 X
(min A + max A)
n+1
A
dove la somma si intende estesa a tutti i sottoinsiemi A di M con esattamente k elementi. Dimostrare
che i numeri x1 , . . . , xn−1 sono tutti interi, e non sono tutti divisibili per 4. (Stage PreIMO 2006 )
25. Ad una gara matematica partecipano 10 studenti. Ogni studente riceve 4 problemi da risolvere.
Comunque si scelgano 2 studenti, questi hanno al più un problema in comune. Determinare il minimo
numero di problemi necessario. (Stage PreIMO 2006 )
26. In una università ci sono 10001 studenti. Alcuni studenti si sono riuniti per formare dei club (uno
studente può far parte di più di un club). Alcuni club si sono riuniti per formare delle società (un
club può far parte di più di una società). A priori, un club potrebbe avere un solo studente iscritto, e
una società potrebbe essere formata da un solo club. Sappiamo che in tutto ci sono k società, e che
sono soddisfatte le seguenti 3 condizioni.
(i) Per ogni coppia di studenti, esiste esattamente un club di cui fanno parte entrambi.
(ii) Per ogni studente e per ogni società, lo studente fa parte di esattamente un club di quella società.
(iii) Ogni club ha un numero dispari di studenti, e ogni club con 2m + 1 studenti appartiene ad
esattamente m società.
Determinare i possibili valori di k. (Stage PreIMO 2005 )
27. Quante sono le parole binarie di lunghezza 11 che non contengono la sequenza
1010 .
28. Siano dati k segmenti complanari. Dimostrare
√ che il numero di triangoli i cui lati appartengono
all’insieme di questi segmenti è inferiore a Ck k, dove C è una costante da determinare.
29. Ad una competizione partecipano 15 squadre. Ogni squadra gioca esattamente una volta con ogni
altra squadra. Per una vittoria la squadra che vince ottiene 3 punti mentre la squadra che perde ottiene
1 punto. In caso di pareggio ciascuna delle due squadre ottiene 2 punti. Alla fine della competizione
ogni squadra ottiene un punteggio maggiore o uguale di 21 e il punteggio di ogni squadra è diverso
da quello di tutte le altre. Prova che la squadra vincitrice della competizione ha ottenuto almeno un
pareggio. (German IMO Selection Test 1983 )
30. Lungo un viale rettilineo sono disposti 12 alberi. In quanti modi 4 uccelli possono scegliere 4 alberi
(diversi) per costruire un nido, con la condizione che non vi siano nidi su due alberi vicini.
31. Un insieme di numeri naturali positivi è detto poroso se è vuoto oppure non contiene tre interi
consecutivi. Quanti sono i sottoinsiemi porosi dell’insieme Ω = {1, 2, . . . , 10}? (Kangourou, Gara
Finale, Mirabilandia 2007 )
32. In quanti modi la seguente griglia 2 × 8 può essere ricoperta con piastrelle di tipo A o di tipo B
rappresentate in figura (si possono utilizzare anche entrambi i tipi di piastrelle).
A
B
33. Quante parole (anche prive di senso compiuto) di 4 lettere si possono scrivere utilizzando lettere A,
B, E, M , O in modo che nessuna delle lettere successive a una B (andando da sinistra verso destra)
sia una M ? (Quindi, ad esempio, ABEB deve essere contata, ma OBAM no). (Archimede Triennio
2005 )
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Problemi di livello avanzato
34. In una gara matematica vengono assegnati n problemi. Si ha che:
• in ogni problema esattamente 3 persone hanno preso 7 punti;
• per ogni coppia di problemi esattamente una persona ha preso 7 punti in entrambi.
Dimostrare che se n > 7 allora esiste un ragazzo che ha preso tutti 7. Vale la stessa conclusione se
n = 7? (ItaTST, Cortona 2000 )
35. Quanti interi di m cifre formati dalle cifre 1,2,3 contengono, almeno una volta, ciascuna delle tre cifre?
36. In una competizione matematica in cui sono posti 6 problemi ad ogni partecipante, ogni coppia di
questi problemi è stata risolta da più di 25 dei partecipanti. Inoltre nessun partecipante ha risolto tutti
e 6 i problemi. Prova che esistono almeno due partecipanti che hanno risolto esattamente 5 problemi
ognuno. (IMO 2005 )
37. Sia S l’insieme dei numeri naturali n verificanti le seguenti proprietà:
• n ha 1000 cifre tutte dispari;
• due qualsiasi cifre consecutive di n differiscono di ±2.
Determinare quanti sono gli elementi di S. (Irlanda 1997, Parma 2007 )
38. Determinare il numero di anagrammi della parola MAMMALUCCO che non contengono 3 lettere M
consecutive, ma hanno almeno 3 consonanti consecutive.
39. Un insieme S di interi positivi è detto felice se il suo più piccolo elemento è uguale alla cardinalità di
S. Per esempio {2, 5}, {3, 5, 9} sono felici, ma {2, 5, 9} non lo è. Determinare il numero di sottinsiemi
felici di {1, 2, . . . , 10}.
40. Supponiamo di avere una griglia di n × n punti. Coloriamo questi punti con 4 colori in modo che ogni
quadratino abbia i vertici di colori differenti. Dire quante griglie siffatte esistono.
41. Un quadrato (n − 1) × (n − 1) è diviso in (n − 1)2 quadratini unitari. Ciascuno degli n2 vertici è
colorato di rosso o di blu. Trovare il numero di colorazioni possibili tali che ogni quadratino unitario
abbia 2 vertici di ciascun colore.
42. La facciata del nuovo dipartimento di Matematica di Parma presenta 30 finestre disposte in una
tabella 6 × 5. Una sera Francesco nota che vi sono 8 luci accese e che in ogni riga e in ogni colonna
le luci accese sono o 2 o nessuna. Dire quante sono le configurazioni con 8 luci accese che rispettano
questo criterio. (Parma 2003 )
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Capitolo 5
5.4
Problemi tratti da gare matematiche
1. Quanti sono i percorsi diversi che connettono due vertici opposti A, B di un parallelepipedo, formati
da spigoli dello stesso e che passano una e una sola volta per tutti i vertici? (Gara Junior 1992 )
2. Qual è il minimo numero n tale che il poligono regolare di n lati ha sei vertici che sono vertici di un
esagono regolare e dieci vertici che sono vertici di un decagono regolare. (Gara Senior 1991 )
3. Si dica quanti sono i sottinsiemi di Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} tali che la somma dei propri elementi sia un
numero dispari. (Gara Junior 1991 )
4. Consideriamo 8 rette distinte del piano, delle quali 4 sono parallele tra loro. Quanti sono al massimo
i punti di intersezione? (Gara Junior 1990 )
5. In quanti modi differenti si possono disporre i numeri da 1 a 6 in una sequenza ordinata a1 , a2 , . . . , a6
in modo che si abbia ai 6 i + 2 per i = 1, 2, . . . , 6? (Gara Senior 1994 )
6. In un bersaglio la corona circolare più esterna vale un punto, la successiva ne vale due, le altre 4,8,16
punti ed infine il centro vale 32 punti. In quanti modi si possono totalizzare 51 punti tirando 5
freccette? Si tenga presente che non conta l’ordine con cui si tirano le freccette e che le freccette che
mancano il bersaglio totalizzano 0 punti. (Gara Junior 1993 )
7. In un torneo di tennis, 8 persone decidono di giocare degli incontri di doppio (cioè due contro due)
in tutti i modi possibili. Quanti incontri ci sono nell’intero torneo? (Gara Senior 1993 )
8. Quanti dadi diversi possiamo ottenere colorando le facce di un cubo di bianco o di nero? (Gara Junior
1994 )
9. Ricordiamo che due triangoli sono uguali se hanno i tre lati di egual lunghezza (per esempio il triangolo
di lati 2, 15, 14 e uguale al triangolo di lati 2, 14, 15). Dire quanti sono i triangoli distinti aventi i
lati di lunghezza intera e perimetro uguale a 31. (Gara Junior 1990 )
10. Nelle caselle di una scacchiera 8 × 8 poniamo un granello di riso se la casella corrisponde a una riga
dispari, due granelli se la riga e la colonna sono una pari e 1’altra dispari, tre granelli se la riga e la
colonna sono entrambe pari. Quanti granelli in totale abbiamo posto sulla scacchiera? (Gara Junior
1990 )
11. Nelle caselle di una scacchiera n × n, ove n e un numero pari, poniamo un granello di riso se la casella
corrisponde ad una riga dispari e ad una colonna dispari, 4 granelli se la riga e la colonna sono una
pari e l’altra dispari e 7 granelli se la riga e la colonna sono entrambe pari. Quanti granelli contiene
in media una casella della scacchiera? (Gara Senior 1990 )
12. Un insegnante di matematica dice ai suoi alunni che per aprire il lucchetto della sua bicicletta occorre
azzeccare la giusta sequenza di 5 cifre e che tale sequenza è un numero multiplo di 3 della forma
ABCBA (con A, B, C che rappresentano cifre non necessariamente distinte da 0 a 9 estremi inclusi).
Qual e il minimo numero di tentativi da effettuare per essere certi di poter rubare la bici al professore?
(Gara Senior 1993 )
13. Ad un torneo di poker partecipano n persone; il torneo è organizzato nel seguente modo: ogni sera 4
giocatori disputano un incontro e dopo 13 sere tutti hanno giocato una e una sola volta con tutti gli
altri. Trovare n.(Gara Senior 1991 )
14. Quante sono le soluzioni dell’equazione 4x + 5y + 20z = 1000 con x, y, z interi non negativi? (Gara
Senior 1989 )
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Problemi tratti da gare matematiche
15. Alcune palline sono distribuite in 2n + 1 sacchetti. Supponiamo che, tolto un qualunque sacchetto, sia
possibile suddividere i rimanenti in due gruppi di n sacchetti, in modo che ciascun gruppo contenga
lo stesso numero complessivo di palline. Dimostrare che ogni sacchetto contiene lo stesso numero di
palline. (Gara Nazionale 1990 )
16. In quale riga e in quale colonna della tabella infinita rappresentata a fianco si trova il numero 1993?
(Gara Senior 1993 )
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
17. Si consideri una scacchiera 8 × 8 con le caselle colorate di due differenti colori, bianco e nero, non
come nella usuale scacchiera, ma rispettando comunque la seguente condizione: ogni colonna, cosi
come ogni riga, della scacchiera contiene quattro caselle bianche e quattro caselle nere. Dimostrare
che il numero di coppie di caselle contigue bianche e uguale al numero di coppie di caselle contigue
nere. (Due caselle si dicono contigue se hanno un lato in comune). (Gara Nazionale 1991 )
18. Vi è un gruppo di 28 persone tale che, comunque se ne scelgano 4, due di esse si conoscono. Dimostrare
che nel gruppo ci sono 10 persone ciascuna delle quali conosce almeno 9 persone. (Cortona 1994 )
19. In un torneo di pallacanestro n squadre S1 , S2 , . . . , Sn disputano un girone all’italiana (ogni squadra
incontra una ed una sola volta ciascuna delle altre), ed ogni incontro si conclude con la vittoria di
una delle due squadre. Indicati rispettivamente con vi e pi il numero degli incontri vinti e persi dalla
squadra Si (i = 1, 2, . . . n) si dimostri che
v12 + v22 + · · · + vn2 = p21 + p22 + · · · + p2n
(Gara Nazionale 1988 )
20. Un alfabeto consiste di 6 lettere, che sono codificate in Morse come segue:
Una certa parola viene trasmessa senza intercalare spazi fra le lettere, viene cosi ricevuta una successione di linee e di punti contenente complessivamente 12 simboli. In quanti modi questa parola puo
essere letta? (Cortona 1991 )
21. Ad un convegno partecipano 21 persone. Ciascuno dei partecipanti stringe la mano a ciascuno degli
altri. Quante sono state complessivamente le strette di mano? (Cortona 1991 )
22. Fra i 33 studenti di una classe 18 giocano al calcio, 17 giocano a basket e 4 non praticano alcuno
sport. Quanti sono gli studenti che giocano sia a calcio che a basket? (Cortona 1988 )
23. Sia a1 , a2 , . . . , an un riordinamento dei numeri 1, 2, . . . , n con n dispari. Si dimostri che il prodotto
(a1 − 1)(a2 − 1) · · · (an − 1)
è un numero pari. (Cortona 1992 )
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Capitolo 5
24. Dimostrare che, fissato un numero positivo a, fra i numeri
a, 2a, 3a, . . . , (n − 1)a
ve ne è uno che differisce al più di
1
n
da un numero intero. (Cortona 1992 )
25. Si dimostri che esiste un intero N tale che per ogni n > N è possibile suddividere un quadrato in
n quadratini a due a due disgiunti (Due quadratini sono considerati disgiunti se non hanno punti in
comune). (Gara Nazionale 1994 )
26. E data una scacchiera infinita, le cui righe e le cui colonne sono numerate con i numeri positivi.
In ogni casella della scacchiera si può collocare al più un gettone (si hanno a disposizione infiniti
gettori). Sono date due successioni a1 , a2 , . . . , an e b1 , b2 , . . . , bn di numeri interi positivi. Diostrare
che si possono disporre i gettoni sulla scacchiera in modo che vi siano a1 gettoni sulla prima riga, a2
gettoni sulla seconda riga, . . . , b1 gettoni sulla prima colonna, b2 gettoni sulla seconda colonna, . . . .
(Gara Nazionale 1993 )
27. Si consideri un cubo di dimensioni 3 × 3 × 3 formato quindi da 27 cubetti unitari. Si domanda quante
sono le retto dello spazio che passno per esattamente 3 centri di questi 27 cubetti e quante sono quelle
che passano esattamente per 2 di tali centri. (Gara Nazionale 1990 )
28. Diremo che una retta interseca propriamente un cubo se passa per un punto interno al cubo. Dato
un cubo suddiviso in 27 cubetti uguali come in figura, si dica qual è il numero massimo di cubetti che
una retta può intersecare propriamente. (Gara Nazionale 1992 )
29. Vi è una tavola circolare con n posti equispaziati. Gli n commensali hanno portato ciascuno un
regalo; i regali vengono messi in corrispondenza dei posti. All’ingresso i commmensali si dispongono
in ordine casuale, ma qualcuno nota con rammarico di essere destinatario del regalo che lui stesso ha
portato. E’ possibile, qualunque sia la disposizione iniziale, effettuare una rotazione dei commensali
(che mantenga l’ordine reciproco) in modo che nessuno si trovi di fronte al regalo da lui portato?
(Cortona 1994 )
30. Si consideri una scacchiera 10 × 10 e in ogni sua casella siano indicati ordinatamente i numeri da 1
a 100 incominciando dalla prima casella in alto a sinistra, andando verso destra fino a terminare la
prima riga e poi proseguendo con la seconda riga sempre da sinistra a destra, fino ad arrivare alla
centesima casella in basso a destra. Supponiamo ora di cambiare 1 segni a 50 di questi numeri con la
condizione che in ogni riga e in ogni colonna ci siano tanti numeri positivi quanti negativi. Si dimostri
che, dopo tale cambiamento, la somma di tutti i numeri è zero. (Gara Nazionale 1994 )
31. Su un’isola vivono 1000 abitanti, ciascuno dei quali comunica le notizie in suo possesso ai suoi conoscenti entro una giornata. La situazione è tale che ogni notizia raggiunge prima o poi tutti gli
abitanti. Si dimostri che, se si comunica una notizia a 90 persone opportunamente scelte, quella
notizia raggiungerà tutti gli abitanti entro 10 giorni. (Cortona 1994 )
32. In una tavola circolare ci sono 60 posti occupati da 30 uomini e dalle 30 rispettive mogli. Mostrare
che esistono almeno due signore che siedono alla stessa distanza dai rispettivi mariti. (Gara Nazionale
1989 )
33. Siano dati 2n + 3 punti nel piano, a tre a tre non allineati e a quattro a quattro non appartenenti a
una stessa circonferenza. Dimostrare che esiste una circonferenza passante per tre di essi e tale che
racchiude nel suo interno n punti (lasciandone quindi n all’esterno). (Cortona 1990 )
34. Ad una festa nessuno dei ragazzi ha ballato con tutte le ragazze, ma ogni ragazza ha ballato con
almeno un ragazzo. Dimostrare che esistono due ragazzi m1 , m2 e due ragazze f1 , f2 tali che:
(1) m1 ha ballato con f1 , m2 ha ballato con f2 ;
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Problemi tratti da gare matematiche
(2) m1 non ha ballato con f2 , m2 non ha ballato con f1 .
(Cortona 1990 )
35. Dimostrare che esiste una colorazione dell’insieme {1, 2, . . . , 1000} con tre colori tale che nessuna
progressione aritmetica di 15 termini sia monocromatica. (Cortona 1989 )
36. Determinare il numero di colonne del Totocalcio che contengono tutti e tre i segni 1, X, 2. (Cortona
1993 )
37. Se n e m sono due interi con n < m, quanti sono gli interi q tali che n < q < m? (Giochi di Archimede
Biennio 1994 )
38. Ciascuno dei figli dei coniugi Poli ha almeno due fratelli e almeno due sorelle. Qual è il numero
minimo di figli dei coniugi Poli? (Giochi di Archimede Biennio 1995 )
39. 12 persone si stringono la mano. Ciascuna stringe la mano a tutte le altre. Quante sono le strette di
mano in totale? (Giochi di Archimede Triennio 1994 )
40. Un ladro spia Marco mentre chiude la sua valigia con un lucchetto con combinazione di 3 cifre
(ciascuna cifra va da 0 a 9). Non ha potuto vedere la combinazione ma è riuscito a capire che due
cifre consecutive sono uguali e la terza è diversa. Qual è il numero massimo di combinazioni che il
ladro dovrà provare per aprire la valigia di Marco? (Giochi di Archimede Biennio 2000 )
41. Una mamma compre 3 giacche e 4 pantaloni per i suoi 2 gemelli. I capi di vestiario sono tutti diversi
fra loro. Quando escono insieme, in quanti modi possono presentarsi vestiti i due ragazzi? (Giochi di
Archimede Triennio 1994 )
42. In quanti modi si possono disporre 3 ragazzi e 3 ragazze per una foto di gruppo, sistemandi i 3 ragazzi
accovacciati e le 3 ragazze in piedi dietro di loro? (Giochi di Archimede Triennio 1999 )
43. In una classe di 33 studenti 18 di essi giocano a calcio, 17 giocano a basket e 4 non praticano alcuno
sport. Quanti sono gli studenti che giocano sia a calcio sia a basket? (Giochi di Archimede Triennio
1994 )
44. In una classe di 20 persone, 15 giocano a calcio, 14 a basket, 13 a pallavolo. Quanti sono, al minimo,
coloro che praticano tutti e 3 gli sport? (Giochi di Archimede Biennio 1998 )
45. Sono state istituite 3 commissioni parlamentari formate da 10 membri ciascuna. Sappiamo che nessun
parlamentare è membro simultaneamente di tutte e tre le commissioni. Dire qual è il minimo numero
di persone coinvolte nelle 3 commissioni. (Giochi di Archimede Biennio 1997 )
46. Quante sono le diagonali di un dodecagono convesso? (Giochi di Archimede Triennio 1995 )
47. Un pallone di cuoio è ottenuto cucendo 20 pezzi di cuoio a forma esagonale e 12 pezzi di cuoio a forma
pentagonale. Una cucitura unisce i lati di due pezzi adiacenti. Qual è il numero totale di cuciture.
(Giochi di Archimede Biennio-Triennio 1996 )
48. Un libro ha x pagine che sono state numerate utilizzando 900 caratteri composti dalle cifre decimali.
Determinare x. (Giochi di Archimede Biennio 1995 )
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74
Capitolo 5
49. Platone amava particolarmente il dodecaedro regolare, che è un poliedro le cui facce sono 12 pentagoni
regolari uguali. Quanti spigoli e quanti vertici ha tale poliedro? (Giochi di Archimede Biennio 1998 )
50. Un poligono regolare ha n lati e 4n diagonali. Quanto vale n? (Giochi di Archimede Triennio 1998 )
51. Un ladro ha visto Marco legare la propria bicicletta usando un lucchetto con una combinazione di
4 cifre (ciascuna cifra va da 0 a 9). Non è riuscito a vedere la combinazione ma ha scoperto che
almeno due cifre consecutive sono uguali. Qual è il numero massimo di combinazioni che il ladro
dovrà provare per rubare la bicicletta a Marco? (Giochi di Archimede Triennio 2000 )
52. Ho a disposizione cinque cifre uguali a 1 ed una cifra uguale a 2. Usando tutte o alcune di queste
cifre, quanti numeri diversi posso costruire? (Giochi di Archimede Triennio 1996 )
53. La figura mostra la pianta di una cittadina in cui tutti gli isolati hanno le medesime dimensioni.
Quanti sono i percorsi di lunghezza minima per andare da A a B? (Giochi di Archimede Triennio
1995 )
A
B
54. Antonio e Barbara compiono gli anni lo stesso giorno. Antonio compie 7 anni e, sistemando opportunamente le candeline, con tre tagli rettilinei può dividere la sua torta di compleanno in modo che ogni
parte contenga. esattamente una candelina (vedi figura). Barbara riesce a fare la stessa operazione
con la sua torta facendo 4 tagli rettilinei, ma sa che il prossimo anno 4 tagli non basteranno più,
comunque siano disposte le candeline. Quanti anni compie Barbara? (Giochi di Archimede Triennio
1998 )
55. Tre paia di calzini, uno rosso, uno blu e uno verde, sono stesi in fila. Sapendo che due calzini
dello stesso colore non sono vicini uno all’altro, quante successioni di colori si possono avere? (Gara
Provinciale 1997 )
56. In quale delle seguenti figure, che rappresentano gli spigoli dei 5 solidi platonici, è possibile percorrere
tutti i lati disegnati senza tornare mai sui propri passi? (Naturalmente è possibile passare più di una
volta sullo stesso vertice). (Giochi di Archimede Triennio 1997 )
57. Nella figura la retta r incontra la linea a forma di S in tre punti e divide così tale linea in quattro
parti. Se tale linea viene intersecata in modo analogo da 11 rette parallele distinte, ciascuna delle
quali la interseca in tre punti, in quante parti viene divisa la linea a forma di S? (Giochi di Archimede
Triennio 1994 )
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Problemi tratti da gare matematiche
A
B
C
D
E
1
2
3
4
r
58. Si determini il numero di regioni in cui una superficie sferica è suddivisa da n cerchi massimi tali che
nessun punto appartenga a tre di essi. (Cortona 1995 )
59. Ad una gara a punti su pista partecipano nove concorrenti. Ad ogni traguardo intermedio vengono
assegnati 9 punti al primo, 8 al secondo, 7 al terzo e così via fino ad assegnare 1 punto all’ultimo.
Prima dell’ultimo sprint (in cui il punteggio assegnato vale doppio) la classifica vede al comando
Abdujaparov con 2 punti di vantaggio su Boardman e 9 su Cipollini. Gli altri concorrenti hanno
un distacco in punti tale da non consentire più loro di aggiudicarsi la gara. Quanti sono i possibili
differenti piazzamenti dei tre corridori nell’ultimo sprint che permettono a Cipollini di vincere la gara?
(Gara Provinciale 1999 )
60. Ogni partito ha fatto le sue promesse; due partiti qualunque hanno almeno una promessa in comune,
due partiti diversi non hanno fatto esattamente le stesse promesse. Sapendo che le promesse totali
sono al più 5, qual è il numero massimo di partiti presenti? (Gara Provinciale 1996 )
61. In quanti modi è possibile colorare con sei colori un pentagono dodecaedro in modo che ogni faccia
confini con cinque facce di colori diversi fra loro e da quello della faccia stessa? (Cortona 1996 )
62. Per numerare i biglietti di una lotteria è stata usata 999 volte la cifra 9 (i numeri dei biglietti vanno
dal numero 1 in poi). Quanti biglietti sono stati emessi per la lotteria? (Gara Provinciale 2000 )
63. Siano A1 , A2 , . . . An+1 insiemi aventi ciascuno n elementi, tali che ogni coppia di insiemi abbia esattamente un elemento in comune e che ogni elemento dell’unione appartenga ad esattamente due insiemi.
Per quali valori di n è possibile colorare con due colori gli elementi dell’unione in modo che ogni insieme
possegga un ugual numero di elementi dei due colori? (Cortona 1995 )
64. In un torneo di pallacanestro ogni squadra affronta esattamente due volte tutti gli altri partecipanti.
Il torneo viene vinto da una squadra sola in testa alla classifica con 26 punti, mentre esattamente due
squadre arrivano ultime con 20 punti. Quante squadre hanno partecipato al torneo? (Ricordiamo che
nella pallacanestro si assegnano 2 punti alla vittoria e 0 alla sconfitta, mentre non è possibile che una
partita. finisca in parità.) (Gara Nazionale 2001 )
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Capitolo 5
65. I 20 alunni di una classe ricevono le pagelle e osservano che non vi sono due studenti che hanno
entrambi i voti (scritto e orale) di matematica uguali. Diremo che un alunno A è più bravo di un
alunno B in matematica se tutti e due i voti di A sono maggiori o uguali dei corrispondenti voti di B
(uno dei due essendo strettamente maggiore).
(a) Tenendo conto che i voti sono interi compresi tra 1 e 10 (estremi inclusi) si dimostri che esistono
tre alunni A, B, C tali che, in matematica, A è più bravo di B e B è più bravo di C.
(b) La tesi rimarrebbe vera se ci fossero meno di 20 alunni?
(Gara Nazionale 1995 )
66. Si dimostri che in ogni poliedro convesso ci sono almeno due facce con lo stesso numero di lati. (Gara
Nazionale 1998 )
67. Una regione contiene diciassette città; ognuna di esse è collegata ad esattamente altre 8 con un
volo diretto (andata e ritorno). Dimostrare che da ogni città se ne può raggiungere qualsiasi altra.
(Cortona 1996 )
68. Sia dato un rettangolo di m × n quadratini unitari. Quanti quadratini sono attraversati da una
diagonale del rettangolo? (Cortona 1996 )
69. Determinare il numero delle 2n-uple (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn ) tali che:
(i) tutti gli xi e gli yi sono 0 oppure l;
(ii) la somma x1 y1 + · · · + xn yn è un numero pari.
(Cortona 2000 )
70. Determinare quante sono le funzioni f : {1, . . . , n} −→ {1, . . . , 5} tali che | f (i + 1) − f (i) |> 3 per
i = l, . . . , n − 1. (Cortona 2001 )
71. Sia σ una permutazione dell’insieme
P dei numeri 1, 2, . . . , n (cioè un’applicazione biunnivoca dell’insieme in sè). Poniamo N (σ) = ni=1 | σ(i) − i |. Si determini il massimo valore che può assumere
N (σ). (Cortona 1997 )
72. Siano dati 8 punti distinti nel piano. Vengono costruiti tutti i possibili segmenti con estremi in tali
punti. Si sa che gli assi di almeno 22 di questi segmenti si intersecano in uno stesso punto. Si dimostri
che tutti gli assi dei segmenti costruiti si intersecano nel medesimo punto. (Cortona 1997 )
73. Siano dati nel piano 2m punti rossi e 2n punti verdi. Tutti questi punti sono a tre a tre non allineati.
È sempre possibile trovare una retta che divida il piano in due regioni contenenti ciascuna m punti
rossi e n punti verdi? (Cortona 1997 )
74. Sia X un insieme di n elementi e siano A1 , A2 , . . . , Am , sottoinsiemi di X tali che
(i) |Ai | = 3 per ogni i = 1, . . . , m;
(ii) |Ai ∩ Aj | 6 1 per ogni i 6= j.
√ Dimostrare che esiste un sottoinsieme di X con almeno
2n elementi che non contiene nessuno
degli Ai (si ricorda che [x] indica la parte intera di x, cioè il massimo intero minore o uguale a x).
(Selezione Cortona 1999 )
75. Dato un cubo C, quanti sono i triangoli che hanno per vertici tre vertici di C e che non giacciono su
nessuna delle facce di C? (Gara Provinciale 1998 )
76. Data una schedina contenente n partite, determinare quante sono le possibili colonne che contengono
un numero pari di pareggi. (Gara Nazionale 1996 )
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Problemi tratti da gare matematiche
77. Attorno a una tavola rotonda siedono n cavalieri. Ogni cavaliere odia i suoi due vicini, e nessuno
degli altri cavalieri. Questi cavalieri decidono di inviare un commando, composto da k di loro, a
liberare una principessa. Ovviamente due cavalieri che si odiano non possono far parte entrambi del
commando. Si determini in quanti modi può essere selezionato il commando nei seguenti casi:
k = 5, n = 12
,
k = 11, n = 40.
(Cortona 1999 )
78. Sia n > 1 un intero. Trovare il numero delle permutazioni (a1 , a2 , . . . , an ) di (1, . . . , n) tali che esista
uno e un solo indice i appartenente a {1, . . . , n − 1} con ai > ai+1 . (Cortona 1998 )
79. Le nuove targhe automobilistiche sono costituite da due lettere, tre cifre e altre due lettere (scelte
nell’alfabeto inglese di 26 lettere). Quante targhe al massimo si possono emettere se si vuole che due
qualsiasi di esse differiscano in almeno due posizioni? (Selezione Cortona 1996 )
80. Ad una competizione internazionale partecipano 600 ragazzi provenienti da 100 nazioni diverse e da
ogni nazione provengono 6 ragazzi. Il giorno prima della gara si organizza un rinfresco in un enorme
salone a cui partecipano tutti i concorrenti. Ciascuno fa la conoscenza di tutti gli altri (ad eccezione
dei suoi connazionali che conosce già) stringendo loro la mano. Quante sono le strette di mano?
(Giochi di Archimede Biennio 2002 )
81. Immaginando di prolungare tutte le facce di un cubo, in quante regioni viene diviso tutto lo spazio
(compreso l’interno del cubo)? (Giochi di Archimede Triennio 2002 )
82. Un puzzle da 100 pezzi può essere montato incastrando i pezzi uno dopo l’altro, in modo da inserire
ciascun nuovo pezzo nella porzione di puzzle già composta, oppure costruendo diversi gruppi di pezzi
e poi unendo questi tra di loro. Ogni unione (di due singoli pezzi, o di due gruppi, o di un pezzo a
un gruppo) conta una mossa. Qual è il numero minimo di mosse necessarie per completare il puzzle?
(Gara Provinciale 2002, Biennio)
83. Determinare il numero di parallelepipedi retti con base quadrata che hanno tutti gli spigoli di
lunghezza intera e volume uguale a 270000. (Gara Provinciale 2002, Biennio)
84. Un sottinsieme A dei numeri naturali compresi tra 1 e 100 è tale che la somma di due suoi elementi
qualsiasi è divisibile per 6. Quanti elementi può avere, al massimo, il sottinsieme A? (Gara Provinciale
2002, Triennio)
85. Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle 9 caselle di una scacchiera 3 × 3, ogni intero in una casella diversa,
in modo tale che ogni coppia di numeri consecutivi sia scritta in due caselle adiacenti (cioè aventi un
lato comune). Quanti sono i valori possibili del numero posto sulla casella centrale? (Gara Provinciale
2002, Biennio)
86. In Italia le targe automobilistiche sono composte da 2 lettere, seguite da 3 cifre e da altre 2 lettere.
Nel paese di Ailati le cose vanno alla rovescia e le targhe sono composte da 2 cifre, seguite da 3 lettere
e da altre 2 cifre. Supponendo che in entrambi i paesi si usino 10 cifre e 22 lettere (I, O, U , Q
non sono utilizzate), determinare la differenza tra il numero di tutte le targhe possibili nei due paesi.
(Gara Provinciale 2003, Biennio)
87. Nella griglia in figura si vuole andare dalla casella di partenza P alla casella di arrivo A, seguendo due
regole: ci si può spostare da una casella ad un’altra solo se hanno un lato in comune; si può passare
al più una volta da ogni casella.
A
P
In quanti modi può essere fatto il tragitto? (Gara Provinciale 2003, Biennio)
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78
Capitolo 5
88. Un’azienda dolciaria produce due tipi di torrone, usando la stessa pasta bianca e le stesse nocciole,
ma in due proporzioni diverse. Nel torrone di tipo A le nocciole rappresentano il 30% del peso ed il
40% del volume; in quello di tipo B le nocciole rappresentano il 60% del peso. Quale percentuale del
volume rappresentano le nocciole nel torrone di tipo B? (Gara Provinciale 2003, Biennio)
89. Determinare il numero di quadruple di numeri interi (non necessariamente distinti) compresi fra 1 e
12 che verificano tutte le seguenti condizioni:
• la somma dei primi due numeri è pari;
• la somma dei primi tre numeri è multipla di 3;
• la somma dei quattro numeri è multipla di 4.
(Due quadruple che differiscano anche solo per l’ordine degli addendi sono da considerarsi distinte).
(Gara Provinciale 2003, Triennio)
90. Un dodecaedro è un solido regolare con 12 facce pentagonali. Una diagonale di un solido è un segmento
che ha per estremi due vertici del solido che non appartengono ad una stessa faccia. Quante sono le
diagonali del dodecaedro? (Gara Provinciale 2003, Triennio)
91. Si vogliono regalare sette pacchi dono a sette bambini, uno a ciascuno. Si vuol fare in modo che in
ciascun pacco ci siano tre giochi diversi e che, comunque si scelgano due bambini, essi ricevano al più
un gioco in comune. Qual è il minimo numero di tipi di giochi distinti che è necessario usare? (Gara
Provinciale 2003, Triennio)
92. Si vogliono colorare le 9 caselle di una scacchiera 3 × 3 in modo tale che ogni riga, ogni colonna e
ognuna delle due diagonali non contengano più caselle dello stesso colore. Qual è il minimo numero
di colori necessario? (Giochi di Archimede Biennio 2003 )
93. In un ampio laghetto le foglie di ninfea sono disposte a reticolo, come nella seguente. I rospi sono
B
A
soliti muoversi con balzi da una foglia ad una adiacente in orizzontale o in verticale. Un rospo si trova
in A ed avvista un insetto in B. Per catturarlo, compie una traiettoria di 6 balzi (senza mai passare
due volte sulla stessa foglia) che termina in B. Quante traiettorie diverse può aver compiuto? (Giochi
di Archimede Triennio 2003 )
94. Sono dati 9 punti disposti come nella figura seguente. Quanti sono i possibili triangoli non degeneri
che hanno i vertici in 3 di tali punti? (Giochi di Archimede Triennio 2003 )
95. Si consideri l’insieme {1, 2, . . . , 2003}. Quanti sono i suoi sottinsiemi B tali che la somma degli
elementi di B è uguale a 2007000? (Giochi di Archimede Triennio 2003 )
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79
Problemi tratti da gare matematiche
96. Un villaggio è costituito da abitazioni isolate, collegate da strade. Ognuna di queste strade è un
sentiero che collega due abitazioni (e tra due abitazioni vi è al più un sentiero che le collega). Le
abitazioni sono di due tipi: centrali e periferiche. Ogni abitazione centrale è collegata esattamente
ad altre due abitazioni. Sapendo che il numero di abitazioni centrali è uguale al numero di abitazioni
periferiche, e che ci sono in tutto 30 sentieri, quante abitazioni ci sono in tutto il villaggio? (Gara
Provinciale 2004, Triennio)
97. Quanti sono i multipli di 5 fra i numeri interi di 4 cifre che si scrivono senza usare altre cifre all’infuori
di 0,1,2,3,4,5? (Giochi di Archimede Triennio 2004 )
98. Su una striscia molto lunga sono scritte di seguito, in ordine alfabetico, tutte le parole di 4 lettere
(incluse quelle prive di significato) ottenibili con le 21 lettere del nostro alfabeto a partire da AAAA.
Qual è la 2004-esima lettera scritta? (Giochi di Archimede Triennio 2004 )
99. Quante sono le coppie ordinate di numeri naturali (x, y), x > 0 e y > 0, tali che 5 < x + y 6 10?
(Attenzione: si considerano coppie ordinate, quindi, ad esempio,le coppie (3, 4) e (4, 3) sono distinte
tra loro. (Giochi di Archimede Biennio 2004 )
100. Dieci amici decidono di giocare una partita di calcetto, cinque contro cinque. Sapendo che vi sono
due terne di fratelli, e che i tre fratelli Ambrosio desiderano giocare tutti nella squadra A mentre i tre
fratelli Bianchi desiderano giocare tutti nella squadra B, in quanti differenti modi si possono formare
le due squadre? (Giochi di Archimede Biennio 2004 )
101. Quanti sono i multipli di 5 fra i numeri interi di 4 cifre che si scrivono senza usare altre cifre all’infuori
di 0,1,2,3,4,5? (E’ consentito impiegare più volte la stessa cifra; 0 non può essere la cifra iniziale)
(Giochi di Archimede Biennio 2004 )
102. Quanti sono gli interi compresi tra 1 e 2005 (inclusi) che hanno un numero dispari di cifre pari? (Gara
Provinciale 2005 )
103. Su una scacchiera 75 × 75 le righe e le colonne sono numerate da 1 a 75. Chiara vuole mettere una
pedina in tutte e sole le caselle che abbiano una coordinata pari e l’altra multipla di 3. Quante pedine
disporrà in tutto sulla scacchiera? (Gara Provinciale 2005 )
104. Quante sono le coppie ordinate (x, y) di interi positivi x ed y che soddisfano la relazione
xy + 5(x + y) = 2005
(Gara Provinciale 2005 )
105. Quante cifre ha il numero 23 · 54 · 105 ? (Giochi di Archimede Biennio 2005 )
106. Alla fine di un campionato di calcio a 20 squadre (in cui ogni squadra gioca contro ogni altra squadra
esattamente due partite) i Matematici hanno vinto 19 partite, ne hanno pareggiate 12 e ne hanno
perse 7. L’allenatore osserva che si ha 19 = 12 + 7. Per una generica squadra del campionato
indichiamo con (v, n, p) la terna formata dal numero di vittorie, pareggi e sconfitte rispettivamente,
ottenuti nel campionato. Per quante terne distinte può accadere che v = n + p? (Attenzione: le terne
sono ordinate, quindi, ad esempio, (19, 12, 7) e (19, 7, 12) sono da considerarsi distinte). (Giochi di
Archimede Biennio 2005 )
107. Fabio ritrova un vecchio lucchetto a combinazione; per aprire il lucchetto bisogna allineare nell’ordine
giusto tre cifre, ciascuna delle quali può variare da 0 a 9. Fabio non ricorda la combinazione corretta,
ma è sicuro che la somma delle tre cifre sia 10. Quanti tentativi dovrà fare, al massimo, per trovare
la combinazione corretta? (Giochi di Archimede Biennio 2005 )
108. Quanti sono i numeri interi maggiori o uguali a 1 e minori o uguali a 100 che sono uguali al quadrato
del numero dei propri divisori positivi? (Attenzione: tra i divisori di un numero vi sono anche 1 ed il
numero stesso). (Giochi di Archimede Biennio 2005 )
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Capitolo 5
109. In un grande ufficio ci sono 84 impiegati, ciascuno dei quali conosce almeno una lingua tra l’inglese
e il tedesco; inoltre, il 20% di coloro che parlano l’inglese parla anche il tedesco, e l’80% di coloro
che parlano il tedesco parla anche l’inglese. Quanti sono gli impiegati di quell’ufficio che conoscono
entrambe le lingue? (Giochi di Archimede Biennio 2005 )
110. Quanti sono i numeri di 4 cifre la cui cifra iniziale è 1 e che hanno almeno 3 cifre uguali tra loro?
(Giochi di Archimede Triennio 2005 )
111. Un gruppo di ragazze e ragazzi, 24 in totale, partecipa ad un banchetto e siedono tutti intorno ad
un tavolo rotondo. Ogni ragazza dice: Seduto al mio fianco c’è un ragazzo. Sapendo che il numero
di ragazze è il doppio di quello dei ragazzi, quante ragazze hanno certamente mentito? (Giochi di
Archimede Triennio 2005 )
112. Quante parole (anche prive di senso compiuto) di quattro lettere si possono scrivere utilizzando solo
le lettere A, B, E, M , O in modo che nessuna delle lettere successive ad una B (andando da sinistra
verso destra) sia una M ? (Quindi, ad esempio, ABEB deve essere contata ma OBAM no). (Giochi
di Archimede Triennio 2005 )
113. I membri di una tribù hanno dieci dita alle mani e nove ai piedi e quindi contano indifferentemente in
base 10 o 19. Nella loro cultura matematica, un numero intero positivo è detto sacro se in entrambe
le basi si scrive con le stesse due cifre (comprese tra 1 e 9). Quanti sono i numeri sacri ? (Gara
Provinciale 2006 )
114. Sulla lavagna c’è scritto un numero di 17 cifre composto da soli 1 e 2. Paolo entra e riscrive il numero
in sequenza inversa, allineandolo sotto il precedente. Gianni entra e scrive sotto ogni colonna la cifra
massima che compare in quella colonna. Alberto entra e scrive sotto ogni colonna la cifra minima
che compare in quella colonna, poi cancella le prime due righe. Carla entra e trova scritti i numeri
12212212221221221 e 11211111211111211 e le viene spiegato che cosa hanno fatto Paolo, Gianni e
Alberto. Quanti sono i diversi numeri che potevano essere scritti sulla lavagna come primo numero?
(Gara Provinciale 2006 )
115. Quanti sono i numeri di cinque cifre (cioè fra 10000 e 99999) che non contengono zeri e sono multipli
di 12? (Gara Provinciale 2006 )
116. Sia k > 1 un numero naturale. Determinare in funzione di k il numero di interi positivi n con le
seguenti proprietà:
(a) in base dieci si scrivono con k cifre, tutte dispari;
(b) sono divisibili per 5, e il quoziente n5 , scritto in base dieci, ha ancora k cifre, tutte dispari. (Gara
Provinciale 2006 )
117. Quanti divisori positivi ha il numero 5 · 4 · 3 · 2? (Tra i divisori di un numero devono essere contati
anche 1 e il numero stesso.) (Giochi di Archimede Biennio 2006 )
118. Quanti sono i multipli di 3 maggiori o uguali di 2000 e minori o uguali di 4000? (Giochi di Archimede
Biennio 2006 )
119. 12) In quanti modi distinti si possono ordinare le lettere L, A, P , I, S, in modo che la prima e l’ultima
lettera siano vocali? (Giochi di Archimede Biennio 2006 )
120. In una scacchiera 8 × 8 le righe e le colonne sono numerate da 1 a 8. Su ogni casella Mauro appoggia
dei gettoni secondo questa regola: guarda il numero di riga e di colonna corrispondenti alla casella, li
somma e mette sulla casella tanti gettoni quanto è il risultato della somma. Quanti gettoni appoggia
in tutto? (Giochi di Archimede Biennio 2006 )
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81
Problemi tratti da gare matematiche
121. Consideriamo tutti i numeri di quattro cifre formati dalle cifre 3, 4, 6, 7, disposte in un ordine qualsiasi
e senza che nessuna cifra sia ripetuta. Quanti di questi sono divisibili per 44? (Giochi di Archimede
Biennio 2006 )
122. Quanti divisori positivi ha 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6? (Tra i divisori di un numero devono essere contati
anche 1 e il numero stesso. (Giochi di Archimede Triennio 2006 )
123. In quanti modi distinti si possono ordinare le lettere I, S, O, L, A, in modo che non vi siano due
consonanti consecutive? (Giochi di Archimede Triennio 2006 )
124. Dall’insieme {1, 2, . . . , 100} scegliamo 50 numeri distinti, la cui somma è 3000. Come minimo, quanti
numeri pari abbiamo scelto? (Gara Provinciale 2007 )
125. Consideriamo un qualsiasi insieme di 20 numeri interi consecutivi, tutti maggiori di 50. Quanti di essi
al massimo possono essere numeri primi? (Gara Provinciale 2007 )
126. Lorenza si trova su una pista avente la forma di un poligono regolare con 2007 lati, i cui vertici sono
numerati da 1 a 2007 in senso antiorario. Lorenza, partendo dal vertice 6, salta ogni volta 4 vertici e
cade sul quinto più avanti (ad esempio, dal 20 salta al 25), ma salta indietro di 2 vertici quando cade
su un vertice identificato da una potenza di 2 (ad esempio, dopo un eventuale salto dal 27 al 32, deve
saltare indietro al 30). Dopo quanti salti Lorenza avrà oltrepassato per la prima volta il vertice 1?
(Gara Provinciale 2007 )
127. Nel piano ci sono due file di 14 punti ciascuna, disposte su due rette parallele tra loro e distinte. Se
tracci un segmento da ogni punto della prima fila ad ogni punto della seconda fila, quanti segmenti
hai tracciato? (Giochi di Archimede Biennio 2007 )
128. Quanti sono i percorsi distinti che, partendo da un vertice fissato di un quadrato e movendosi solo
lungo i suoi lati e le sue diagonali, passano per ogni vertice una e una sola volta? (Giochi di Archimede
Biennio 2007 )
129. Alberto deve apparecchiare una tavola rotonda per sei persone e ha sei piatti bianchi e sei piatti neri
a disposizione. Per ogni persona deve mettere uno e un solo piatto e può sceglierlo, arbitrariamente,
di colore bianco oppure nero. Quanti modi distinti ha Alberto di apparecchiare la tavola? (Due tavole
apparecchiate che differiscono solo per una rotazione non sono da considerarsi distinte). (Giochi di
Archimede Triennio 2007 )
130. Sia data una scacchiera di 100 righe e 100 colonne, con tutte caselle bianche.
(a) E’ possibile colorare un numero dispari di caselle in modo tale che ogni casella colorata abbia un
numero dispari di caselle colorate adiacenti?
(b) E’ possibile colorare alcune caselle in modo tale che un numero dispari di esse abbia esattamente
4 caselle adiacenti colorate e tutte le altre caselle colorate abbiano esattamente 2 caselle adiacenti
colorate?
(c) E’ possibile colorare alcune caselle in modo tale che un numero dispari di esse abbia esattamente
2 caselle adiacenti colorate e tutte le altre caselle colorate abbiano esattamente 4 caselle adiacenti
colorate?
(Nota: Due caselle si considerano adiacenti se hanno un lato in comune). (Gara Nazionale 2002 )
131. Ad uno stage partecipano 9 ragazzi, ciascuno dei quali parla al più 3 lingue. Sapendo che ogni coppia
di ragazzi riesce a comunicare (dunque i suoi due componenti hanno una lingua in comune) si dimostri
che almeno una lingua è parlata da almeno 5 ragazzi. (Stage PreIMO, Cortona 2002 )
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
82
Capitolo 5
132. Determinare se è possibile ricoprire una scacchiera 5 × 7 con delle mattonelle a forma di L (ottenute
rimuovendo un quadratino ad una mattonella 2 × 2, eventualmente con delle sovrapposizioni, in
modo che ogni quadratino della scacchiera risulti ricoperto dallo stesso numero di mattonelle. (Stage
PreIMO, Cortona 2002 )
133. Data una griglia m × n (m, n > 1) si dispone una pedina al centro di ogni casella e una in ogni vertice
della griglia.
(a) Trovare tutte le tabelle che hanno esattamente 500 pedine;
(b) Dimostrare che esistono infiniti interi positivi k tali che non esistono griglie con esattamente k
pedine.
(Gara Nazionale 2003 )
134. Sia n un intero positivo dispari. Una tabella formata da n×n quadratini unitari è colorata a scacchiera
di bianco e nero, in modo che gli angoli siano neri. Un tromino è un pezzo costituito da tre quadratini
unitari, ottenuto rimuovendo una casella ad un quadrato 2 × 2..
(a) Determinare per quali n è possibile piazzare un certo numero di tromini sulla scacchiera (rispettando la quadrettatura) in maniera da non uscire dai bordi, evitare sovrapposizioni e ricoprire
tutte le caselle nere.
(b) Per quei valori di n per cui risulta possibile, determinare il minimo numero di tromini necessari.
(Ita TST, Pisa 2003 )
135. Determinare il numero degli interi positivi minori di 213 che, scritti in base 2, non hanno 3 cifre uguali
consecutive (ovviamente gli zeri iniziali non contano). (Stage PreIMO, Pisa 2003 )
136. Una successione di n interi positivi (non necessariamente distinti) è detta completa se soddisfa le
seguenti proprietà: se la successione contiene un intero k ≥ 2, allora contiene l’intero k − 1, ed inoltre
la prima comparsa di k − 1 precede l’ultima comparsa di k nella successione. Determinare quante
sono le successioni complete con n termini. (Stage PreIMO, Pisa 2003 )
137. La commissione olimpiadi è composta da 8 persone. Determinare se è possibile formare dei comitati
con i membri di tale commissione in modo da soddisfare entrambe le seguenti condizioni:
• ogni comitato è composto da 4 membri;
• comunque si scelgano 3 membri della commissione, esiste uno ed un solo comitato di cui fanno
parte tutti e tre.
(Stage PreIMO, Pisa 2004 )
138. In una nazione ci sono n città. Ogni coppia di città è collegata (andata e ritorno) o da una linea di
autobus o da una linea ferroviaria. Un turista vuole organizzare un tour che visiti una ed una sola
volta tutte le città per poi tornare al punto di partenza. Determinare se il turista può scegliere il
punto di partenza e l’itinerario in modo da dover cambiare mezzo al più una volta. (Stage PreIMO,
Pisa 2004 )
139. Determinare quante sono le permutazioni σ dell’insieme {1, 2, . . . , n} tali che
|{x ∈ {1, 2, . . . , n} : σ(x) > x}| > 1
(Stage PreIMO, Pisa 2004 )
140. (a) Determinare il più piccolo intero n con questa proprietà: comunque si scelgano n interi in
{1, 2, . . . , 2004}, ve ne sono 2 che differiscono di 10.
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
83
Problemi tratti da gare matematiche
(b) Determinare quanti sono i sottinsiemi di {1, 2, . . . , 2004}, contenenti n−1 elementi, in cui nessuna
coppia di elementi differisce di 10 (n è il minimo intero di cui al punto precedente).
(Stage PreIMO, Pisa 2004 )
141. Una tripletta additiva è una terna (a, b, c) di numeri interi distinti tali che a + b = c. Determinare il
massimo numero di triplette additive che sono contenute in un insieme di 2004 interi positivi.(Stage
PreIMO, Pisa 2004 )
142. Siano n > 3 e c > 1 due interi positivi. Determinare quanti sono i modi di colorare i vertici di un
n-agono usando al più c colori, in modo che i vertici adiacenti abbiano colori distinti (due colorazioni
ottenibili l’una dall’altra mediante rotazione del poligono sono considerate distinte).(Stage PreIMO,
Pisa 2004 )
143. Una banda di ladri vuole aprire la cassaforte di una banca. Un basista ha fatto ubriacare il direttore
della banca ed è riuscito a sapere che:
(a) la combinazione è formata da 5 cifre da 0 a 9;
(b) la combinazione è un numero pari;
(c) esattamente una delle 5 cifre della combinazione è dispari;
(d) nella combinazione compaiono quattro cifre diverse, la cifra ripetuta è pari e compare in due
posizioni non consecutive.
Quante sono le combinazioni possibili in base a tali informazioni? (Gara Provinciale 2008 )
144. Quanti sono i numeri naturali di quattro cifre in cui compare una e una sola volta la cifra 5 ed essa è
la cifra più grande presente nel numero? (Giochi di Archimede Biennio 2008 )
145. Quanti sono i numeri interi positivi multipli di almeno uno tra 5 e 7 e minori o uguali a 1000? (Giochi
di Archimede Biennio 2008 )
146. Le caselle di una scacchiera quadrata sono numerate come illustrato in figura. Nella seconda colonna
si trova la casella numero 38 e la casella della terza colonna che sta sulla sua stessa riga ha il numero
43. Quante caselle ha la scacchiera? (Giochi di Archimede Biennio 2008 )
1
2
147. La Polisportiva ”I tropici” ha organizzato un torneo di calcio a cui partecipano 3 squadre ciascuna
composta da 15 giocatori (riserve comprese) con maglie numerate da 1 a 15. La notte prima delle
partite ha nevicato e per poter giocare è necessario spalare la neve dal campo. Viene deciso allora di
nominare un gruppo di 3 spalatori scegliendo un giocatore per squadra in modo che non ci siano due
giocatori con lo stesso numero di maglia. In quanti modi diversi può essere formato il gruppo degli
spalatori? (Giochi di Archimede Biennio 2008 )
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
84
Capitolo 5
148. Nell’ultimo capodanno, andavano molto di moda degli occhiali con la forma del numero 2009 e le lenti
al posto dei due zeri. Per fabbricare occhiali simili, è necessario che nel numero che rappresenta l’anno
vi siano due o più zeri consecutivi (per esempio 3500 va bene, 2010 no). Quanti anni compresi tra
l’anno 999 e l’anno 9999 contengono due o più zeri consecutivi nella loro scrittura? (Gara Provinciale
2009 )
149. Quanti quadrati perfetti dividono 1600? [Un quadrato perfetto è un numero del tipo n2 , con n numero
naturale. 1, 4, 9, 16, sono esempi di quadrati perfetti.] (Giochi di Archimede Biennio 2009 )
150. In quanti modi distinti posso disegnare la seguente figura partendo da P , senza mai staccare la penna
dal foglio e senza passare più di una volta da nessun punto eccettuato il vertice comune ai tre triangoli?
(Giochi di Archimede Biennio 2009 )
P
151. Carla si è dimenticata la password di accensione del suo nuovissimo computer! Si ricorda però che
è una sequenza di 4 vocali, non necessariamente distinte, di cui due sono maiuscole e due sono
minuscole. Quante password diverse deve provare Carla, al massimo, per accendere il computer?
(Giochi di Archimede Biennio 2009 )
152. Una formica si trova su un vertice di un cubo. Si muove percorrendo gli spigoli del cubo in modo da
passare una e una sola volta da ciascun vertice del cubo. Quanti sono i possibili percorsi distinti che
può seguire? (Giochi di Archimede Triennio 2009 )
153. In quanti modi diversi si possono mettere in fila i numeri {21, 31, 41, 51, 61, 71, 81} in modo che,
comunque se ne scelgano quattro in posti consecutivi, la loro somma sia divisibile per tre? (Gara
Provinciale 2010 )
154. Concetta immagina un mondo piatto e tondo, e lo divide in sette stati, uno centrale e gli altri sei
intorno a questo, come indicato nella seguente figura. Inoltre a ciascuno stato assegna come nome
una lettera (vedi figura). Vuole colorare ciascuno stato di rosso, oppure di verde, oppure di giallo, in
modo che due stati confinanti non abbiano lo stesso colore. In quanti modi diversi può farlo? (Giochi
di Archimede Biennio 2010 )
C
D
B
A
E
G
F
155. Luca scrive sulla lavagna tutti i numeri pari consecutivi da 2 e 2010 (compresi). Poi Giovanni cancella
tutti i numeri che sono multipli di tre. Quanti numeri rimangono? (Giochi di Archimede Biennio
2010 )
156. Scriviamo tutti i numeri naturali da 1 a 2010 (compresi) uno di seguito all’altro in modo da formare
un nuovo numero naturale; quante cifre ha questo numero? (Giochi di Archimede Biennio 2010 )
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
Problemi tratti da gare matematiche
85
157. Quanti sono i numeri naturali di quattro cifre, tali che la cifra delle unità sia la somma della cifra
delle decine e di quella delle centinaia? (Giochi di Archimede Biennio 2010 )
158. Quanti sono i quadrati perfetti di almeno tre cifre, minori o uguali di 2010·2011? (Giochi di Archimede
Triennio 2010 )
159. Valeria deve scegliere la combinazione della sua cassaforte, che deve essere un numero di cinque cifre,
tutte diverse da zero, divisibile per tre, e tale che delle prime quattro cifre (da sinistra) due siano pari
e due dispari. Quante possibilità ha? (Giochi di Archimede Triennio 2010 )
160. Quanti sono i numeri interi positivi di 10 cifre abcdefghij, con tutte le cifre diverse e che verificano le
condizioni a + j = b + i = c + h = d + g = e + f = 9? Nota: un numero non può iniziare con 0. (Gara
Provinciale 2010 )
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
Appendice A
Soluzioni
A.1
Problemi di livello base
5+20−1
20
1
3 · 5 · 10 = 150
23
24 − 1 = 15
45
2
4116, 600
24
4
46
95
3
25
293, 119
47
5
26
21
48
1000 − 657 = 343
5
5145, 780
6
10
4 · 3 = 153090
82
27
14
49
7
6
32760
4 · 54 + 4 · 55 = 15000
50
28
720, 20
7
210
7
51
29 = 512,
52
9 · 103 = 9000
53
118
54
28 = 256, 42 = 16, 12, 0
55
7
4
8
4
29
= 35
30
10
15
11
3!3!4!5! = 103680
9
12
13
= 105
2
10
2
= 45
6909
12
2 ·
2
16
17
6; 5, 7; 5
18
648
8
15
19
20
21
22
4
5
2
3
= 396
· 4 · 55 +
5
2
· 56 = 281250
= 56
144 = 38416
8 6
8 6
2 2 + 3 1 +
35 = 243
8
4
= 826
7
3
3
2 = 280
1260, 12
5
33
7334
10
3
11
3
+ ··· +
10
10
= 968
56
10
7
57
324
8
= 165, 4 = 65536,
58
P4
4−i 4 8
i
=
40824
=
35,
(−1)
i=1
i
3
59
36
3700 − 29 = 3671
60
37
144
61
38
40
62
35
7
= 35960
2 − 1 = 127
32
34
4
311
32
14
31
7
= 10626
9
3
+
212 = 4096, 34 = 81, 0, 36
2160
64
41
3 · 63 = 648
65
42
683
66
4003
7
9
4 · 3 = 4410
44
30
2
= 170520000
86
67
= 170
21210000
40
36
28 − 24 = 4
20
1
9
9
5! = 120, 4 · 3! = 24
63
+
1994
12
50
3
27 · 33 = 414720
39
9
6
360, 260
10 7
3
3 = 4200
87
Problemi di livello intermedio
68
5
3
69
5
4
7 4 5
2
+
7
4
70
5
71
45, 35
10 7
72
3
2
= 1260
5
2
= 40,
7
2
= 210
= 2520
73
3!3!4!6! = 622080
74
9!
2!3!
75
5! = 120, 120 − 30 = 90
76
21
2
77
93
25
2
94
9
3
95
17
2
96
20
3
= 230300,
21,
29
=
85260
2
900000 − 56 = 884375
60
78
6010 , 10 = 75394027566,
10
6010 − 60
10 , 60 2 (59)8
79
(100)4 = 94109400,
97· 4! = 2328, (50)4 = 5527200,
4
2 40 · 39 · 30 · 29 = 8143200
15
97
= 30240, 26880
50
4
9
92
12
2
= 84,
15
2
= 300,
= 105, 150
−
= 1105
11
2
= 55,
118
90000 − 55 − 24 · 54 = 71875
119
10000
120
900
121
45360, 45360−10080 = 35280
122
90000 − 4 · 54 = 87500
123
2 · 4 · 4 = 32
124
16
= 66
− 45 = 91
7
3
14
117
2 = 91,
91 − 81 = 10
98
72
99
P6
8
100
58 = 390625
125
2 · 5! = 240, 6! − 6 · 4! = 576
101
−945
126
180, 324
102
101 + 67 − 33 = 135
127
360, 176
103
7!
3!4!
104
104 − 94 = 3439
129
−22680
6 = 1679616,
6−i 6 8
(−1)
i=1
i i = 191520
= 35,
5!
2!3!
= 10, 2,
5!
4!
= 5 128
91, 1
80
210
105
7! − 2 · 6! = 3600
130
728
81
90000 − 2500 = 87500
106
9! − 4 · 3! = 362856
131
1260, 660
82
20!
107
= 680
132
90000 − 4 · 54 = 87500
83
(20)3 = 6840
108
7!
2!2!
= 900
133
214 − 27 = 16256
84
3 · 4 · 5 · 2 = 120, 216 + 36 = 252 109
210
134
354, 273, 547
85
18
30
3
= 4060,
= 1836, 18
1
2
12
1
86
8
87
3 · 3! · 2! = 36
10
5
12
2
= 1188
212 − 26 = 4032
113
314, 172, 686
= 969
114
2 · 6! = 1440, 7! − 6! = 4320
= 17297280
115
120, 3 · 63 + 3 · 62 = 756
116
2300, 1001, 529
23
3
90
58,
91
180, 216 + 90 = 306
A.2
= 756756
28
2
11!
110
2!3!2! = 1663200,
10!
1663200 − 2!3!
= 1360800
112
89
66
3
6!
2!
9 · 105 − 56 = 884375
15
5
= 1771,
−
111
88
15+3−1
3
19
3
14!
135
5!2!7!
= 72072,
14
3 2 − 2 = 49146
136
137
12
3
10
4
26 = 13440
13
12
2 = 1794,
1 + 12
6
5
11
+ 13
3 + 3 − 3 − 3 = 641
13
138 Si tratta di trovare il numero di
soluzioni dell’equazione x1 + · · · +
x7 = 8 con x≥ 0. Posto yi = xi + 1
abbiamo
y1 + · · · + y7 = 15 con
yi > 0. Il numero di soluzioni è,
pertanto, 14
6 = 3003.
Problemi di livello intermedio
1
8!
3!2!3!
4
8
= 560
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
88
Appendice A
5
5
8
2
7
13
2
8
4+3−1
3
9
10
15
18
19
= 280
2
17
2
P5
= 10608
= 20
= 84
12+5−1
4
4
1
16
3
k+3
3
k=0
9
6
+
13−k
3
= 11292
= 1820 ,
4
3
−4
−4
5
3
100+5−1
5−1
21
20
3
27
2007+4−1
4−1
30
20
3
31
6
3
2k
2
k=1
· 23 = 64
4
3
− 10
P7
− 4 = 516,
12
3
= 1060
= 252
−4
4
3
= 204
= 1351414120
−9
4
3
− 4 = 1060
= 4598126
32
10!
3!
33
479
34
1000000 − 976840 = 23160 (Suggerimento: Usa il PIE ed attenzione allo 0 !)
− (9 · 8! − 8 · 7!) = 282240
35 2007 · 22005 .
Suggerimento: Osserva che
n
n
n
+
+
+ · · · = 2n−1
0
2
4
ed applica la tecnica del double counting all’insieme S = {(a, A) : a ∈ A, A ∈ P2 (X)} (oppure usa la
proprietà (3.4)).
36 28501
(Suggerimento: Dimostrare che se |Ω| = n il numero di coppie {A, B} verificanti la condizione richiesta è
1+3n
n
2 − 2 ).
37
7
2,3,2
2
2 = 840
38
9000 − 52 102 = 6500
39
7 · 27 = 896
40
4 · 155 = 12012
P5
10
k=1 2k 2k = 2560
41
42
43
1365
10+3−1
3−1
= 66
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
89
Problemi di livello avanzato
6 · 30 · 20 = 3600
36
31
45
6 − 6 = 1211511
Troviamo il numero di sottinsiemi di 6 elementi senza numeri consecutivi. Sottraendoli al totale dei sottinsiemi di 6 elementi avremo la soluzione. Immaginiamo i 36 numeri come una riga di 36 palline, le 30 palline
non scelte (di colore bianco) e le 6 palline scelte (di colore nere). Le palline nere non devono essere consecutive,
quindi abbiamo 31 posti possibili dove collocarle. Dunque le palline nere possono essere collocate in
31
6 modi e la soluzione richiesta è
36
31
−
= 1211511
6
6
44
46
36
47
4368
48
49
50
9!
3!2!
52
1405
A.3
= 30240
5! 2
2
= 3600 2 · 5! = 240
Problemi di livello avanzato
13 30787.
Soluzione 1 : Poniamo x = a, y = a + b, z = a + b + c, d = 100 − x − y − z, con a, b, c, d > 0. Le terne
(x, y, z) soddisfacenti alle condizioni richieste sono in corrispondenza biunivoca con le soluzioni, in interi
positivi, dell’equazione
3a + 2b + c + d = 100
(*)
Le soluzioni di (*) possono essere contate nel modo seguente:
• se a= 0 sono 101+99+· · ·+1, se a = 1 sono 98+96+· · ·+2. Quindi se a = 0, 1 sono complessivamente
100
2 + 101;
• se a = 2, 3 sono complessivamente 94
2 + 95;
.
• ..
• se a = 30, 31 sono complessivamente
10
2
• se a = 32, 33 sono complessivamente
4
2
+ 11;
+ 5.
Allora il numero di soluzioni della (*) risulta uguale a:
16 X
6k + 4
k=0
2
+
16
X
(5 + 6k) = 30787
k=0
Soluzione 2 : Consideriamo tutte le terne ordinate di interi non negativi (x, y, z) tali che x + y + z ≤ 100.
A ogni terna siffatta corrisponde una parola binaria (sequenza di 1 e 0) di lunghezza 103 con 3 simboli 0
(diciamo, x simboli 1, un simbolo
0, y simboli 1, un simbolo 0, z simboli 1, un simbolo 0, 100 − x − y − z
103
simboli 1), quindi vi sono 3 terne (x, y, z) tali che x + y + z ≤ 100. Se consideriamo l’ordine degli
addendi irrilevante, ogni soluzione con x < y < z è stata contata 6 volte, ogni soluzione con esattamente
due delle variabili x, y, z distinte è stata contata 3 volte, e ogni soluzione con x = y = z è stata contata una
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90
Appendice A
sola volta. Allora, se aggiungiamo tre volte le soluzioni con x = y, y = z o x = z (il cui numero è uguale
al numero di soluzioni di 2x + y ≤ 100 che è 1 + 3 + 5 + · · · + 101 = 512 ) e altre due volte le soluzioni con
x = y = z (il cui numero
è 34), otteniamo 6 volte il numero delle terne desiderate con x ≤ y ≤ z. Pertanto
2 + 2 · 34)/6 = 30787.
la risposta è ( 103
+
3
·
51
3
Soluzione 3 : Come abbiamo visto nella soluzione 1 è sufficiente contare il numero di soluzioni dell’equazione
(*)
3a + 2b + c + d = 100
con a, b, c, d ≥ 0. A tal fine dimostriamo il seguente:
Lemma 1. Se an è il numero di soluzioni dell’equazione
(**)
3a + 2b + c + d = n
con a, b, c, d ≥ 0, allora
3
6
1 + x + x + ···
2
4
1 + x + x + ···
2
1 + x + x + ···
2
=1+
∞
X
an xn
n=1
Dimostrazione. Infatti svolgendo il prodotto al primo membro, e definendo a0 = 0, abbiamo
! ∞ ! ∞
! ∞
!
∞
X
X
X
X
2b
3a
d
c
x
x
x
x
=
a=0
=
b=0
∞
X
x
3a+2b+c+d
=
c=0
∞
X
n=0
a,b,c,d=0
d=0
X
3a+2b+c+d=n
x
n
!
=
∞
X
an xn
n=0
Dal Lemma 1 discende il
Lemma 2. Il numero an di soluzioni di (**) è
[ n3 ] 1
X
1
3k
an =
1 + (−1)
+ (n − 3k + 3)(n − 3k + 1)
8
4
k=0
Dimostrazione. Osservato che
1
1−x
1
1 + x2 + x4 + · · · =
1 − x2
1
1 + x3 + x6 + · · · =
1 − x3
1 + x + x2 + · · · =
dal Lemma 1 abbiamo:
∞
X
an xn =
n=0
(1 −
x)2 (1
1
− x2 ) (1 − x3 )
Per trovare il coefficiente di xn usiamo la seguente decomposizione in frazioni semplici:
1
1
1
1
1
8
4
2
8
=
+
+
+
(1 − x)2 (1 − x2 )
1 − x (1 − x)2 (1 − x)3 1 + x
Allora
∞
∞
∞ ∞ ∞
X
1
1X n 1X n+1 n 1X n+2 n 1X
n n
bn x n
x
+
(−1)
x
=
=
x
+
x
+
(1 − x)2 (1 − x2 )
8
4
2
8
n
n
n=0
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n=0
n=0
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n=0
n=0
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Problemi di livello avanzato
dove
1
1
(1 + (−1)n ) + (n + 1)(n + 3)
8
4
!
!
∞
∞
∞
X
X
X
x3n
bn xn ·
an xn =
bn =
Poichè
abbiamo:
n=0
n=0
n=0
an =
[ n3 ]
X
bn−3k
k=0
ed il Lemma 2 è dimostrato.
Usando Lemma 2 con n = 100 troviamo che il numero di soluzioni di (**) è
a100 =
33 X
1
k=0
17
11
3
8
1 + (−1)
100−3k
1
+ (101 − 3k)(103 − 3k) = 30787
4
= 165
24 I sottinsiemi di M di k elementi aventi minimo 1 sono complessivamente
n−1
k−1
in quanto fissato 1 posso scegliere i restanti
k−1 elementi dall’insieme {2, . . . , n}. Analogamente i sottinsiemi
di k elementi aventi minimo 2 sono n−2
k−1 , ecc... Pertanto:
X
k−1
n−2
n−1
(1)
+ · · · + (n − k + 1) ·
+2·
min A = 1 ·
k−1
k−1
k−1
A⊆M,|A|=k
Con un simile ragionamento si trova che
X
n−1
n−2
k−1
max A = n ·
+ (n − 1) ·
+ ··· + k ·
k−1
k−1
k−1
(2)
A⊆M,|A|=k
Sommando (1) e (2) abbiamo:
X
(min A + max A) = (n + 1)
n X
i−1
i=k
A⊆M,|A|=k
Ora dalla (3.7) abbiamo.
n X
i−1
k−1
i=k
Dalla (3) e la (4) discende che:
xk =
n
=
k
n X
i−1
i=k
k−1
k−1
=
(3)
(4)
n
k
e quindi i numeri xk sono tutti interi. Per dimostrare la seconda parte basta osservare che:
n−1
X
k=1
xk =
n−1
X
k=1
n
k
= 2n − 2 6≡ 0 (mod 4)
per cui i numeri x1 , . . . , xn−1 non possono essere tutti divisibili per 4.
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92
Appendice A
25 13.
Suggerimento Indichiamo con k il numero di problemi e con ni (i = 1, 2, . . . , k) il numero di persone che
hanno risolto il problema i. Contando in due modi la cardinalità dell’insieme
S = {(X, P ) : X ha risolto il problema P }
abbiamo che
k
X
(*)
ni = 40
i=1
Dato che ogni coppia di studenti ha al più un problema in comune si ha:
n1
n2
nk
10
+
+ ··· +
6
2
2
2
2
da cui discende che
k
X
i=1
n2i −
k
X
(**)
ni 6 90
i=1
Da (*),(**) e dalla disuguaglianza AM 6 QM abbiamo
402
− 40 6 90
k
=⇒
k > 13
Per dimostrare che 13 problemi bastano è sufficiente mostrare il seguente esempio (Tabella A.1), che è stato
costruito utilizzando il piano proiettivo su Z3 :
A
1
4
8
10
B
2
4
9
12
C
3
4
7
11
D
1
5
9
11
E
2
5
7
10
F
3
5
8
12
G
1
6
7
12
H
2
6
8
11
I
3
6
9
10
L
1
2
3
13
Tabella A.1. 13 problemi, 10 studenti: A, B, C, D, E, F, G, H, I, L
26 5000
Supponiamo che vi siano complessivamente n club c1 , c2 , . . . , cn ed indichiamo con 2ni + 1 (i = 1, 2, . . . , n)
il numero di studenti iscritti al club ci . Per la (i) abbiamo:
2n1 + 1
2n2 + 1
2nn + 1
10001
+
+ ··· +
=
=⇒
2
2
2
2
n
X
i=1
(*)
ni (2ni + 1) = 10001 · 5000
Applichiamo ora la tecnica del double counting contando in due modi diversi la cardinalità dell’insieme:
X = {(s, c, S) : s è uno studente del club c, che a sua volta è membro della società S}
• Il primo s elemento della terna (s, c, S) può essere scelto in 10001 modi, il terzo elemento S può essere
scelto in k modi, il secondo elemento c, una volta scelti s ed S, può essere scelto in un solo modo in
virtù della condizione (ii). Allora |X| = 10001 · k.
• Scelto il club ci , in virtù di (iii), il terzo elemento S della terna (s, ci , S) può essere scelto in ni modi;
una volta
P scelti ci ed S il primo elemento della terna può essere scelto in 2ni + 1 modi. Pertanto
|X| = ni=1 ni (2ni + 1).
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93
Problemi di livello avanzato
Uguagliando le due espressioni ottenute abbiamo:
10001 · k =
Dalle (*) e (**) ricaviamo che k = 5000.
n
X
(**)
ni (2ni + 1)
i=1
27 1256 Suggerimento: Diciamo ammissibile una parola binaria che non contiene la sequenza 1010. Sia
an il numero di parole ammissibili di lunghezza n. Indicando con bn , cn il numero di parole ammissibili di
lunghezza n che iniziano rispettivamente con 0 e con 1, abbiamo:
(1)
a n = bn + c n
Le parole ammissibili di lunghezza n che iniziano con 0 sono in corrispondenza biunivoca con le parole
ammissibili di lunghezza n − 1, per cui bn = an−1 e quindi per (1) abbiamo:
(2)
cn = an − an−1
Le parole ammissibili che iniziano con 1 sono di tre tipi
• 1011 . . . e queste sono cn−3 = an−3 − an−4 ;
• 100 . . . e queste sono bn−2 = an−3 ;
• 11 . . . e queste sono cn−1 = an−1 − an−2 ;
Pertanto:
(3)
cn = (an−3 − an−4 ) + an−3 + (an−1 − an−2 ) = 2an−3 − an−2 + an−1 − an−4
I primi 4 termini della successione an sono:
a1 = 2 ,
a2 = 4 ,
a3 = 8 ,
(4)
a4 = 15
e inoltre da (1), (2), (3) discende che an soddisfa la seguente relazione ricorsiva:
an = 2an−3 − an−2 + 2an−1 − an−4
(5)
∀n > 5
Da (4) e (5) si trova che a11 = 1256.
√
28 C = 32 (Suggerimento: Utilizzare la tecnica del double counting. Il problema è stato proposto in
Russia in un concorso di ammissione all’Università (vedi [6] pag.2)
29 Sia pi il punteggio finale della squadra Si con
21 ≤ p1 < p2 < · · · < p15 .
Poichè i numeri pi sono interi, ne segue che pi ≥ 20 + i per ogni i. Pertanto
(1)
p1 + · · · + p15 ≥ 420
Poichè ogni incontro determina un totale di 4 punti e poichè vi sono
p1 + · · · + p15 = 420.
15
2
= 105 incontri, ne segue che:
Allora in (1) si ha l’uguaglianza e, di conseguenza, pi = 20 + i per ogni i. In particolare, p15 = 35. Siano
xi , yi , zi i numeri di vittorie, sconfitte e pareggi della squadra Si rispettivamente. Allora
xi + yi + zi = 14
,
3xi + yi + 2zi = pi = 20 + i.
Ora, se fosse z1 5 = 0 si avrebbe
x15 + y15 = 14
,
3x15 + y15 = 35
ma ciò è assurdo essendo x15 un numero intero. Pertanto z15
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21
2
≥ 1 e la tesi è provata.
=⇒
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x15 =
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94
Appendice A
30 126
Suggerimento: Per avere la soluzione è sufficiente determinare il numero di soluzioni dell’equazione
(1)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 8
con x1 ≥ 0, x2 ≥ 1, x3 ≥ 1, x4 ≥ 1, x5 ≥ 0. Posto y1 = x1 + 1, y2 = x2 , y3 = x3 , y4 = x4 , y5 = x5 + 1 la
(1) si trasforma in
y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 10
(2)
con yi > 0. L’equazione (2) ha 94 = 126 soluzioni.
31 504
Suggerimento: Indicando con an il numero di sottinsiemi porosi di {1, 2, . . . , n} dimostrare che è verificata
la ricorrenza an = an−1 + an−2 + an−3 . Essendo a1 = 2, a2 = 4, a3 = 7 si trova a10 = 504.
32 1706
Suggerimento: Indicando con an il numero di ricoprimenti di una griglia 2 × n dimostrare che è verificata
la ricorrenza an = an−1 + 4an−2 + 2an−3 . Essendo a1 = 1, a2 = 5, a3 = 10 si trova a8 = 1706.
33 512.
Suggerimento:
34 Suggerimento:
35 3 − 3 · 2m + 3m .
Suggerimento: Usare il PIE.
36 Suggerimento: Double counting !
37
8 · 3499
38 108720
Soluzione: Il numero degli anagrammi di MAMMALUCCO con le 3 lettere M consecutive è
8!
= 10080
2!2!
Determiniamo ora il numero di anagrammi contenenti almeno 3 consonanti consecutive. Indicando con xi
(i = 1, . . . , 6) il numero di consonanti comprese tra le quattro vocali:
C
. . C} V C
. . C} V C
. . C} V |C .{z
. . C} V C
. . C}
| .{z
| .{z
| .{z
| .{z
x1
abbiamo:
x2
x3
x4
x5
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 6
(*)
Per trovare il numero di soluzioni di (*) con xi > 3 per qualche i = 1, . . . , 6 applichiamo il PIE: se Ai è
l’insieme delle soluzioni tali che xi > 3 risulta:
|S| = |A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ∪ A5 | =
5
X
i=1
|Ai | −
X
i<j
|Ai ∩ Aj | = 5 · 35 − 10 = 165
4!
6!
Poichè le 4 vocali possono essere permutate in 2!
= 12 modi e le 6 consonanti in 3!2!
= 60 modi il numero
degli anagrammi di MAMMALUCCO contenenti almeno 3 consonanti consecutive è 12 · 60 · 165 = 118800.
Pertanto il numero di anagrammi soddisfacenti la condizione richiesta è:
118800 − 10080 = 108720
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Problemi di livello avanzato
39 55
Suggerimento: Dimostrare che il numero Hn dei sottinsiemi felici di {1, 2, . . . , n} soddisfa la relazione di
ricorrenza:
Hn+2 = Hn+1 + Hn
(*)
Per dimostrare (*) possiamo ragionare così: i sottinsiemi felici dell’insieme A = {1, . . . , n + 2} contenenti
n+2 sono in corrispondenza biunivoca con i sottinsiemi felici dell’insieme B = {1, . . . , n}. Infatti posso fare
corrispondere al sottinsieme X ⊆ A il sottinsieme Y ⊆ B ottenuto aggiungendo 1 a tutti i suoi elementi,
ma con un’elemento in più n + 2; e viceversa.
I sottinsiemi felici di {1, . . . , n + 2} non contenenti n + 2 sono i sottinsiemi felici di {1, . . . , n + 1}. Dal
ragionamento fatto discende la relazione (*).
40 12 2n−1 + 3n−2 − 1
Soluzione (Oliforum). Ci sono due tipi di griglie: quelle che hanno la prima riga di 2 colori, e quelle che
hanno la prima riga di almeno 3 colori.
Lemma. La riga sottostante ad una con 2 colori ha 2 colori. La riga sottostante ad una con almeno 3
colori, ha almeno 3 colori.
Dimostrazione. Una riga con due colori ha necessariamente il pattern ABAB . . .
...
...
A B A ...
x1 x2 x3 . . .
Imponendo x2 = C, si hanno forzatamente x1 = x3 = D, e cosi’ via definendo tutta la riga a partire da
x2 = C. Se una riga ha tre colori, esiste un punto con un pattern ABC:
...
...
A B C ...
x1 x2 x3 . . .
Si ha obbligatoriamente x2 = D, e x1 = C, x3 = A, quindi anche la riga sottostante è di almeno 3 colori e
può essere scelta in unico modo, e così via per tutte le altre righe ad essa sottostanti.
Quindi il numero di scacchiere ammissibili è dato dalla somma delle scacchiere con 2 colori in prima riga
e dalle scacchiere con almeno 3 colori in prima riga. Quelle con due colori hanno in ogni riga un pattern
del tipo ABABA . . . . Con quattro colori le prime righe possibili diventano 12, ovvero scelgo due colori
tra quattro e l’ordine conta, la seconda la scegliamo in 2 modi, la terza in 2 modi e così via, quindi
4 × 3 × 2n−1 = 4! × 2n−2 scacchiere ammissibili siffatte. Per quanto visto prima la scacchiera con almeno
3 colori in prima riga è univocamente determinata dalla prima riga, quindi il numero di queste scacchiere
equivale il numero delle stringhe su alfabeto quaternario composte da almeno tre di queste lettere e senza
due lettere uguali vicine; 4 modi per scegliere la prima lettera, 3 modi per scegliere la seconda, 3 per la
terza e così via, ovvero 4 × 3n−1 ; così facendo contiamo anche le righe di due soli colori, che sono 12. Quindi
abbiamo che la soluzione è:
12(2n−1 + 3n−2 − 1)
41 2n+1 − 2
I vertici dei quadrati formano una griglia di n × n punti. I punti della prima prima riga possono essere
colorati in due modi:
• con due colori uguali adiacenti;
• con tutti i colori alternati (BRBR . . . oppure RBRB . . . ).
Nel primo caso ciscuna delle righe rimanenti può essere colorata in un sol modo. Nel secondo caso ciascuna
delle righe rimanenti può essere colorata in due modi. Pertanto il numero di colorazioni richieste è:
2n − 2 + 2 · 2n−1 = 2n+1 − 2
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96
Appendice A
Osservazione. Ragionando in modo analogo si dimostra che una griglia m×n si può colorare in 2n +2m −2
modi in maniera tale che ciascun piccolo quadratino unitario abbia due vertici di ciascun colore.
42 6750
Soluzione. Ho 8 luci accese
quindi ho due righe senza luci accese e una colonna senza luci accese. Posso
scegliere le 2 righe in 62 = 15 modi differenti. Posso scegliere la colonna in 5 modi differenti.
Mi rimangono 4 righe e 4 colonne con 2 luci accese in ciascuna. Nella prima tra queste 4 righe (la chiamerò
semplicemente prima riga d’ora in poi) posso scegliere in 6 modi diversi le colonne in cui accendere 2 luci (e
le due colonne in questione le posso chiamare A e B) . Posso scegliere in 3 modi l’altra riga in cui accendere
una luce nella colonna A (e la chiamerò riga X). La seconda luce accesa nella colonna B può essere nella
riga X o meno.
Se è nella riga X allora non ho altre luci accese nella riga X e neppure nella prima riga, inoltre non ho altre
luci accese nemmeno nelle colonne A e B. Quindi le 4 rimanenti luci accese sono in posizioni obbligate.
Se non è nella riga X: posso sceglire in 2 modi distinti la riga in cui posizionare la seconda luce accesa nella
collonna B. Inoltre posso scegliere in due modi distinti la seconda luce accesa nella riga X. Per ciascuna
di queste 2 · 2 = 4 scelte mi trovo ad avere due righe e due colonne con 2 luci accese ciascuna (ma la luce
della finestra nella colonna B e riga X non è accesa) e quindi le rimanenti 3 luci accese si troveranno in
posizioni obbligate.
Le configurazioni possibili sono quindi: 15 · 56̇ · 3 · (4 + 1) = 6750.
A.4
Problemi tratti da gare matematiche
1
6
27
204
52
26
2
30
28
7
53
56
3
64
36
313−3·2
54
11
4
22
37
m+n−1
55
30
5
162
38
6
56
(C)
6
4
39
66
57
34
7
210
40
180
58
2 + n(n − 1)
8
10
41
72
59
30
24
42
36
60
9
16
61
720
13
+3
10
128
43
6
11
4
44
2
62
non può esistere una tale
lotteria
12
334
45
15
63
n deve essere divisibile per 4
13
13
46
54
64
12
14
1326
47
90
68
m+n−1
16
R = 63, C = 90
48
336
69
22n−1 + 2n
20
233
49
S = 30, V = 20
70
(n + 2)-esimo numero di Fibonacci
21
210
50
11
6
51
22
E. Suppa, R. Tupitti
2710
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
2
n
71
2 se n è pari ed
dispari
n2 −1
2
se n è
a.s. 2011-12
97
Problemi tratti da gare matematiche
14
75
32
102
36
129
76
3n +1
2
103
1706
137 Possibile
77
36; nk
104
10
138 Possibile
78
2n − n − 1
105
9
139
2n − n
79
26 · 103 · 262
106
20
140
(a)1005 (b)666
80
178200
107
63
141
81
27
108
2
1001 · 1002
142
(c − 1)n + (−1)n (c − 1)
143
4500
144
425
n−k−1
k−1
82
999
109
16
83
18
110
37
84
17
111
0
85
5
112
29
145
314
86
12 · 103 · 223
113
4
146
400
87
16
114
16
147
2730
88
70
115
4374
148
171
89
864
116
3k−1
149
8
90
100
117
16
150
48
91
7
118
667
151
3750
92
5
119
12
152
18
93
24
120
576
153
144
94
76
121
2
154
6
95
4
122
30
155
24
123
72
670
96
156
97
360
124
6
6933
98
T
125
6
157
495
99
25
126
405
158
2001
100
15
127
196
159
7200
101
360
128
6
160
3456
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
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E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
Indice analitico
Archimede, 45
cardinalità, 9
codominio, 3
coefficiente
binomiale, 30
multinomiale, 41
combinazione
con ripetizione, 37
semplice, 30
corrispondenza, 3
Dirichlet, 16
disposizione
circolare, 28
con ripetizione, 28
semplice, 27
dominio, 3
double counting, 11
equazione
caratteristica, 46
fattoriale, 26
decrescente, 28
formula
chiusa, 44
di Binet, 48
di Leibnitz, 42
di Newton, 35
di Vandermonde, 32
ricorsiva, 44
funzione, 3
biettiva, 3
iniettiva, 3
suriettiva, 3
grado, 12
grafico, 3
grafo, 12
immagine, 3
legge
dei tre fattoriali, 32
delle classi complementari, 32
di Stiefel, 32
di Stiefel generalizzata, 32
metodo
del doppio conteggio, 11
molteplicità, 37
multinsieme, 37
numeri
di Fibonacci, 44, 48
di Lucas, 48
numero
di parti, 32
parola binaria, 37
permutazione, 3
circolare, 29
con ripetizione, 26
semplice, 26
pigeonhole principle, 16
principio
dei cassetti, 16
di Fubini, 11
di inclusione-esclusione, 9
fondamentale del calcolo combinatorio, 10
induzione, 4
problema
delle torri di Hanoi, 49
progressione
aritmetica, 44
geometrica, 44
proprietà
dei coefficienti binomiali, 32
ragione, 44
regola
del complementare, 10
del prodotto, 10
della somma, 9
relazione, 3
di ricorrenza, 46
successione, 44
Tartaglia, 35
teorema
100
101
Indice analitico
binomiale, 35
multinomiale, 42
triangolo
di Tartaglia, 35
E. Suppa, R. Tupitti
Liceo Scientifico A.Einstein, Teramo
a.s. 2011-12
