Gara a squadre Luigi Amedeo Bianchi Gabriele Dalla Torre Luca Ghidelli 16 aprile 2014 Esercizio 1. La successione a0 , a1 , . . . è tale che a0 = 0 e per ogni intero n > 0 |an | = |an−1 + 1|. Quanto vale al minimo |a1 + a2 + . . . + a2013 |? Esercizio 2. Quanti sono i numeri di nove cifre che contengono esattamente una volta ogni cifra da 1 a 9, hanno le cifre da 1 a 4 in ordine crescente (non necessariamente in posizioni consecutive) e le cifre da 6 a 9 in ordine decrescente? Esercizio 3. Qual è il più piccolo intero n > 1 tale che la media aritmetica dei primi n quadrati perfetti positivi è un quadrato perfetto? Esercizio 4. Quante terne (x, y, z) di numeri reali soddisfano il sistema di equazioni (x + 1)yz = 12 (y + 1)xz = 4 (z + 1)xy = 4. Esercizio 5. Determinare la somma dei quadrati di tutti i valori di n per cui tutte le soluzioni dell’equazione x3 − 3x + n = 0 sono numeri interi. Esercizio 6. In quanti modi è possibile scegliere tre caselle da una scacchiera 8×8 in modo che ciascuna di esse abbia un lato in comune con almeno una delle altre due? Esercizio 7. Qual è la somma delle cifre del numero 1 + 11 + 111 + 1111 + . . . + 1 . . . 1, dove l’ultimo numero della somma ha 2015 cifre? 1 Esercizio 8. Siano a, b e c, con a > b > c, le lunghezze delle mediane di un 2 2 triangolo rettangolo di lati 120, 209 e 241. Quanto vale a c+b ? 2 Esercizio 9. Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia P un punto di intersezione tra la circonferenza di diametro AC e l’altezza relativa a B. Se AB = 62 e AC = 47, quanto vale AP 2 ? Esercizio 10. Sia a1 , a2 , . . . una successione strettamente crescente di numeri interi positivi tale che per ogni intero n > 2 valga an = 4an−1 − an−2 . Se a4 = 194, quanto vale a5 ? Esercizio 11. Qual è il più piccolo intero positivo n tale che per ogni intero a ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} valga n ≡ −1 mod a? Esercizio 12. Quanti valori diversi assume l’espressione 1:2:3:4:5:6:7:8 considerando tutte le sue varianti ottenute inserendo un qualunque numero di parentesi? 2