Gara a squadre

Gara a squadre
Luigi Amedeo Bianchi
Gabriele Dalla Torre
Luca Ghidelli
16 aprile 2014
Esercizio 1. La successione a0 , a1 , . . . è tale che a0 = 0 e per ogni intero n > 0
|an | = |an−1 + 1|.
Quanto vale al minimo |a1 + a2 + . . . + a2013 |?
Esercizio 2. Quanti sono i numeri di nove cifre che contengono esattamente
una volta ogni cifra da 1 a 9, hanno le cifre da 1 a 4 in ordine crescente (non
necessariamente in posizioni consecutive) e le cifre da 6 a 9 in ordine decrescente?
Esercizio 3. Qual è il più piccolo intero n > 1 tale che la media aritmetica dei
primi n quadrati perfetti positivi è un quadrato perfetto?
Esercizio 4. Quante terne (x, y, z) di numeri reali soddisfano il sistema di equazioni


(x + 1)yz = 12
(y + 1)xz = 4


(z + 1)xy = 4.
Esercizio 5. Determinare la somma dei quadrati di tutti i valori di n per cui tutte
le soluzioni dell’equazione x3 − 3x + n = 0 sono numeri interi.
Esercizio 6. In quanti modi è possibile scegliere tre caselle da una scacchiera 8×8
in modo che ciascuna di esse abbia un lato in comune con almeno una delle altre
due?
Esercizio 7. Qual è la somma delle cifre del numero
1 + 11 + 111 + 1111 + . . . + 1 . . . 1,
dove l’ultimo numero della somma ha 2015 cifre?
1
Esercizio 8. Siano a, b e c, con a > b > c, le lunghezze delle mediane di un
2
2
triangolo rettangolo di lati 120, 209 e 241. Quanto vale a c+b
?
2
Esercizio 9. Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia P un punto di
intersezione tra la circonferenza di diametro AC e l’altezza relativa a B. Se
AB = 62 e AC = 47, quanto vale AP 2 ?
Esercizio 10. Sia a1 , a2 , . . . una successione strettamente crescente di numeri
interi positivi tale che per ogni intero n > 2 valga
an = 4an−1 − an−2 .
Se a4 = 194, quanto vale a5 ?
Esercizio 11. Qual è il più piccolo intero positivo n tale che per ogni intero
a ∈ {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} valga
n ≡ −1 mod a?
Esercizio 12. Quanti valori diversi assume l’espressione
1:2:3:4:5:6:7:8
considerando tutte le sue varianti ottenute inserendo un qualunque numero di
parentesi?
2