Prova scritta del concorso a n. 1 borse di studio Matematica
(triennale) da Euro 3.000,00 ciascuna per l’a.a. 2015/16
Collegio Universitario per le Scienze “Luciano Fonda”
Tema 2
1. Dimostrare che un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è
divisibile per 3.
2. Si discuta il numero di soluzioni del seguente sistema parametrico al
variare del parametro k:
√
4 − x2 + 2x − k = 0
0≤x≤2
3. In un quadrilatero convesso ABCD i lati AB, BC e CD hanno la stessa
lunghezza. Inoltre si supponga che anche i segmenti AC, BD e AD siano
uguali. Si calcolino gli angoli del quadrilatero e si dimostri che tutti i
quadrilateri con queste proprietà sono simili.
4. Quanti numeri interi fra 1000 e 9999 (inclusi)
(a) sono composti solo da cifre dispari?
(b) hanno cifre distinte?
(c) quanti fra quelli soddisfacenti la precedente condizione (b) sono numeri pari?
√
n
5. Si determini il più piccolo intero positivo n0 a partire dal quale n2 è
decrescente.
