Incontri Olimpici – Udine, 18 ottobre 2015 Teoria dei numeri

Incontri Olimpici – Udine, 18 ottobre 2015
Teoria dei numeri – Esercizi per intervento della mattina
1) Sia n un numero intero positivo, con 1=d1<d2<…<dk=n dove per ogni i=1,…,k, di
sono divisori di n e k≥3. Determinare la somma di tutti gli n tali che n=d22+d33.
2) Quanti sono gli interi n con 1≤n≤1000 tali che 144|(n3–4n)?
3) Date {an} e {bn} successioni aritmetiche a termini interi tali che a1=b1=1 e
1<a2≤b2. Per qualche x intero positivo si ha ax∙bx=2010. Determinare qual è il
più grande valore possibile di x e, in tal caso, determinare le rispettive ragioni
aritmetiche.
4) Quanti giorni in un anno hanno il proprio numero che divide quello del mese cui
appartengono?
5) Per quanti numeri interi x, si ha che (x – 7)|(x3 – 7)?
6) Quanti sono i numeri interi positivi minori di 250 che sono coprimi con 250?
Analoga richiesta con 260. E con 273?
7) Determinare i numeri naturali di tre cifre che sono uguali a 34 volte la somma delle
proprie cifre.
8) Trovare tutti i numeri primi p tali che 17p+1 è un quadrato perfetto.
9) Quante sono le soluzioni (x;y), con x,y interi, dell’equazione:
x2y2–192xy+5776=16x2+25y2 ?
Incontri Olimpici – Udine, 18 ottobre 2015
Teoria dei numeri – Esercizi per il pomeriggio
1) Determinare se 20152016 è somma di due quadrati perfetti.
2) Sia n un numero naturale di 3 cifre. Si consideri n0 il numero ottenuto da n
eliminando le eventuali cifre uguali a 0. Determinare quanti n0 dividono, non
banalmente, n.
3) Il numero n = 230 + 330 ha soltanto due fattori primi di due cifre. Determinarli.
4) Trovare tutti i numeri interi n tali che n2+20n+11 è un quadrato perfetto.
5) Determinare tutti i numeri naturali n di tre cifre che sono uguali alle ultime tre cifre
di n2.
6) Determinare la somma di tutti i numeri primi p e q tali che p2–p+1=q3.
7) Determinare i più piccoli valori di x e y interi positivi tali che (x;y) sia soluzione
dell’equazione:
x2 – 853777y2 =1.
8) Sia n un numero intero positivo, d(n) indichi il numero dei divisori di n e si
definisca s(n)=d(1)+d(2)+…+d(n). Si considerino i numeri a uguale al numero
degli interi positivi non maggiori di 2015 tali che s(n) è dispari e b uguale al
numero degli interi positivi non maggiori di 2015 tali che s(n) è pari. Determinare il
valore di |a–b|.