Gara a squadre

Gara a squadre
Esercizio 1. Le caselle di una scacchiera 10 × 10 sono colorate con quattro colori,
in modo che caselle con un vertice in comune abbiano colori diversi. In quanti
modi diversi può essere colorata la scacchiera? Fornire le ultime quattro cifre.
Esercizio 2. Intorno a una tavola circolare sono sedute 18 persone. In quanti
modi è possibile dividere le 18 persone in 9 coppie in modo che le 9 coppie possano stringersi contemporaneamente la mano senza che vi siano braccia che si
incrociano?
Esercizio 3. Due numeri interi positivi differiscono di 189 e hanno minimo comune multiplo 133866. Quanto vale la loro somma?
Esercizio 4. Un parallelepipedo 4 × 5 × 6 è costituito da 120 cubi di lato 1. Quanti
sono i percorsi di lunghezza minima che collegano due vertici opposti del parallelepipedo, sono formati da spigoli di cubi e corrono sulla superficie esterna del
parallelepipedo? Fornire le ultime quattro cifre.
Esercizio 5. Quanto vale la somma del numeratore e del denominatore della
frazione
1
1
1
1 − 2 ··· 1 −
1− 2
2
3
20142
ridotta ai minimi termini?
Esercizio 6. Sia (fn )n∈Z>0 la successione definita da f1 = 2014 e, per ogni intero
n > 1,
f1 + f2 + . . . + fn−1 + fn = n2 fn .
Scrivere il prodotto di numeratore e denominatore della frazione f (2014) ridotta
ai minimi termini.
Esercizio 7. Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e siano D ed E due punti
sui lati AB e AC, rispettivamente, tali che valgano CD = CE e BCD = 50◦ .
Quanti gradi misura l’angolo ADE?
Esercizio 8. Alberto, Barbara, Claudio e Daniela vogliono spartirsi 12 caramelle,
6 al lampone e 6 alla fragola, in modo che ognuno di loro riceva almeno 2 caramelle.
Quante spartizioni diverse sono possibili?
Esercizio 9. Sapendo che a ogni lettera corrisponde un’unica cifra, a lettere diverse
corrispondono cifre diverse e vale inoltre l’uguaglianza
ADA
= 0, F IN E,
BOB
in cui il rapporto è ridotto ai minimi termini, calcolare le quattro cifre F IN E.
Esercizio 10. Dato un triangolo ABC, si costruiscano i quadrati esterni BADE,
ACF G e CBHI. Si congiungano poi E con H, I con F e G con D e si costruiscano
i tre quadrati aventi questi segmenti come lati. Se AB = 24, BC = 26 e AC = 29,
quanto vale la somma delle aree degli ultimi tre quadrati costruiti?
Esercizio 11. Per ogni intero positivo n sia f (n) il prodotto tra n e la somma
delle cifre di n. Calcolare la somma di tutti gli n per i quali vale f (n) = 201420.
Esercizio 12. Sia ABCD un tetraedro regolare di volume 648 e siano P , Q, R ed
S punti all’esterno del tetraedro tali che ABCP , ABDQ, ACDR e BCDS siano
anch’essi tetraedri regolari. Quanto misura il volume di P QRS?
Esercizio 13. Sia ABC un triangolo di lati AB = 67, AC = 32 e BC = 77
e sia M il punto medio di AB. Siano inoltre P e Q i punti di intersezione tra
il segmento di estremi i simmetrici di M rispetto ad AC e a BC e i lati AC e
BC, rispettivamente. Sapendo che l’angolo ACB misura 60◦ , quanto vale la parte
intera del perimetro di P QM ?
Esercizio 14. Sia p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx un polinomio con a, b, c e d reali
positivi. Sapendo che valgono p(1) = 1, p(5) = 70 e {p(−2), p(−1), p(2)} ⊂ Z,
c
calcolare abd
.
Esercizio 15. Sia f1 = 1, f2 = 2, f3 = 4, f4 = 5, f5 = 7, f6 = 9,. . . la successione
di interi positivi ottenuta prendendo, in successione, un intero dispari, due interi
pari, tre interi dispari,. . . Quanto vale f2014 ?
Esercizio 16. Calcolare il prodotto di tutti gli interi positivi m per i quali esiste
un intero positivo n tale che m2 + 3n e n2 + 3m sono entrambi quadrati perfetti.
Esercizio 17. La potenza 22014 ha la prima delle proprie 607 cifre decimali uguale
a 1. Quante potenze dell’insieme
{20 , 21 , 22 , . . . , 22012 , 22013 }
cominciano con la cifra 4?
Esercizio 18. Se α, β e γ sono le radici del polinomio 5x3 − 50x2 − 1858x + 9916,
quanto vale
1
1
1
+
+
?
α−5 β−5 γ−5
2