a di Ingegneria. Programma del corso di Matematica III

Università degli Studi di Bergamo. Facoltà di Ingegneria.
Programma del corso di Matematica III - Prima parte
Laurea Specialistica in Ingegneria Edile
a.a. 2009–2010
Giulia Furioli
1. Algebra lineare.
Richiami sullo spazio vettoriale R3 : somma, prodotto per uno scalare, prodotto
scalare, norma, distanza, prodotto vettoriale. Spazi vettoriali astratti reali e complessi: definizioni ed esempi. Sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza
e indipendenza lineare, in particolare in spazi di funzioni, esempi. Implicazioni fra la
nozione di dipendenza di funzioni in un punto, dipendenza in ogni punto e dipendenza
come funzioni (∗). Famiglie generatrici, basi, dimensione di uno spazio e coordinate di
un vettore rispetto una base, esempi. Le coordinate rispetto ad una base sono univocamente determinate (∗). Sottospazi generati da insiemi di vettori, esempi. Prodotto
scalare, ortogonalità, basi ortonormali, esempi. Una base ortonormale nello spazio
dei polinomi trigonometrici di grado n (∗) . Procedimento di ortonormalizzazione
di Gram–Schmidt, esempi. Proiezione ortogonale su un sottospazio di dimensione
finita.
Applicazioni lineari, definizioni ed esempi. Condizione necessaria perché un’applicazione sia lineare è che L(0) = 0 (∗). Nucleo e immagine, definizioni ed esempi.
Nucleo ed immagine sono sottospazi vettoriali (∗). Teorema di struttura delle controimmagini di un elemento (∗) ed applicazione alle equazioni differenziali lineari.
Un’applicazione lineare L è iniettiva se e solo se Ker L = {0} (∗). Applicazioni lineari tra spazi di dimensione finita. L’immagine è lo spazio generato dalle immagini
degli elementi di una base dello spazio di partenza (∗). Teorema di nullità più rango
(dim Ker L + dim Im L = dim V ) (∗), esempi di applicazione. Richiami sul calcolo
matriciale. Matrice di una applicazione lineare. Teorema di rappresentazione delle
applicazioni lineari, esempi. Composizione di applicazioni lineari, ogni composta di
applicazioni lineari è lineare, calcolo della matrice associata ad una composizione; esempi. Applicazioni invertibili e matrici associate. Applicazioni lineari tra spazi della
stessa dimensione, matrici di cambiamento di base, esempi. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili su R e su C, matrici di passaggio. Polinomio caratteristico ed equazione
caratteristica. Il polinomio caratteristico, il determinante (∗) e la traccia sono invarianti per matrici simili. Autovalori ed autovettori reali e complessi. Autospazi. Gli
autovalori sono invarianti per matrici simili (∗). Molteplicità algebrica e geometrica,
autovalori regolari, esempi. Risultati su autovettori e molteplicità. Teorema sulla
regolarità degli autovalori e diagonalizzabilità in R e in C. Diagonalizzabilità su R
di matrici reali simmetriche.
2. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali.
Equazione di ordine n, equazione di ordine n in forma normale e sistema del primo
ordine in forma normale, definizioni ed esempi. Soluzione di una equazione e di un
sistema. Integrale generale. Equazioni e sistemi autonomi, equazioni e sistemi lineari,
esempi. Equivalenza di un’equazione di ordine n e di un opportuno sistema del primo
ordine, esempi. Teorema di regolarità di una soluzione di un’equazione di ordine n e
di un sistema del primo ordine. Problema di Cauchy per un sistema del primo ordine
e per una equazione di ordine n, definizioni ed esempi. Teorema di esistenza di Peano,
teorema di esistenza e unicità locale, teorema di esistenza ed unicità globale, teorema
di dipendenza continua dai dati iniziali; esempi di applicazione. Sistemi lineari del
primo ordine. Teorema di esistenza ed unicità globale e regolarità. Operatore lineare
differenziale associato alla matrice dei coefficienti. Teorema di struttura dell’integrale
generale e teorema sulla dimensione del nucleo dell’operatore differenziale associato
al sistema (∗). Sistema fondamentale di soluzioni, matrice fondamentale. Sistemi di
equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti, esempi. Integrale generale di
un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti nel caso di matrice dei coefficienti
diagonalizzabile in campo reale e in campo complesso.
3. Serie di Fourier.
Il problema della propagazione del calore in una sbarra monodimensionale: impostazione del problema con condizioni iniziali e al bordo, determinazione delle
soluzioni con il metodo di separazione delle variabili, linearità dell’equazione e determinazione formale di soluzioni espresse in serie. Polinomi e serie trigonometriche.
Determinazione di una base ortonormale dello spazio dei polinomi trigonometrici di
grado minore o uguale ad n (∗) (già compreso nella parte di Algebra lineare). Determinazione dei coefficienti di Fourier attraverso la minimizzazione della distanza nello
spazio dei polinomi trigonometrici di grado minore o uguale a n (∗). Serie di Fourier.
Esempi. Funzioni monotone a tratti. Teorema di convergenza puntuale della serie di
Fourier per una funzione periodica, limitata e monotona a tratti. Applicazioni del
teorema al calcolo di somme di serie trigonometriche. Funzioni sviluppabili in serie
di soli seni o di soli coseni; applicazione al problema della propagazione del calore in
una sbarra con dato opportuno.
4. Esercizi.
Fanno parte del programma le otto esercitazioni disponibili sul sito.
N.B.: Degli argomenti contrassegnati con (∗), si richiede anche la dimostrazione.
Testi consigliati:
1. Appunti del corso sono disponibili sul sito.
2. M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa, MATEMATICA, Calcolo infinitesimale e
algebra lineare, Zanichelli, nuova edizione 2004;
3. C. D. Pagani e S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Ed. Zanichelli);
4. A. Bacciotti e F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2 (Ed. Levrotto e Bella,
Torino).