Università degli Studi di Bergamo. Facoltà di Ingegneria.
Programma del corso di Matematica 3
Laurea Specialistica in Ingegneria Edile
a.a. 2005–2006
dott.ssa Giulia Furioli, dott. Giacomo Gigante
1. Algebra lineare.
Richiami sullo spazio vettoriale R3 : somma, prodotto per uno scalare, prodotto
scalare, norma, distanza, prodotto vettoriale. Spazi vettoriali astratti reali: definizioni
ed esempi. Combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, famiglie generatrici, basi, dimensione e coordinate di un vettore rispetto una base. Sottospazi
vettoriali, spazi generati da insiemi di vettori. Esempi di spazi vettoriali di funzioni.
Spazi di polinomi. Prodotto scalare, ortogonalità, basi ortonormali. Teorema di
proiezione.
Applicazioni lineari, nucleo e immagine. Teorema di struttura delle controimmagini
di un elemento ed applicazione alle equazioni differenziali lineari. Applicazioni lineari
tra spazi di dimensione finita. Teorema di nullità più rango (dim Ker L + dim Im L =
dim V ). Richiami sul calcolo matriciale. Matrice di una applicazione lineare. Teorema di rappresentazione delle applicazioni lineari. Applicazioni lineari e sistemi.
Richiami su determinante e rango di una matrice. Teorema di Rouché-Capelli. Composizione di applicazioni lineari, applicazioni invertibili e matrici associate. Applicazioni lineari tra spazi della stessa dimensione, matrici di cambiamento di base.
Matrici simili. Matrici diagonalizzabili su R e su C, matrici di passaggio. Polinomio
caratteristico ed equazione caratteristica. Autovalori ed autovettori reali e complessi. Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica, autovalori regolari. Teorema
su regolarità degli autovalori e diagonalizzabilità in R e in C.
2. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali.
Equazione di ordine n, equazione di ordine n in forma normale e sistema del primo ordine in forma normale. Esempi. Soluzione di una equazione e di un sistema. Integrale
generale. Equazioni e sistemi autonomi. Equazioni e sistemi lineari. Equivalenza di
un’equazione di ordine n e di un opportuno sistema del primo ordine. Regolarità di
una soluzione di un’equazione di ordine n e di un sistema del primo ordine. Orbite.
Problema di Cauchy per un sistema del primo ordine e per una equazione di ordine
n. Esempi. Teorema di esistenza e unicità locale. Teorema di esistenza ed unicità globale. Teorema di dipendenza continua dai dati iniziali. Problema ben posto
nel senso di Hadamard. Sistemi lineari del primo ordine. Teorema di esistenza ed
unicità globale e regolarità. Operatore lineare differenziale associato alla matrice dei
coefficienti. Teorema di struttura dell’integrale generale e teorema sulla dimensione
del nucleo dell’operatore differenziale associato al sistema. Digressione su dipendenza e indipendenza lineare di funzioni o di funzioni calcolate in un punto. Sistema
fondamentale di soluzioni, matrice fondamentale. Sistemi di equazioni lineari del
primo ordine a coefficienti costanti. Teoremi sulle traslate di una soluzione. Matrice esponenziale. Integrale generale di un sistema lineare omogeneo a coefficienti
costanti tramite la matrice esponenziale. Studio nel caso di matrice diagonalizzabile
in campo reale. Esempi nel caso in cui la matrice sia diagonalizzabile in campo complesso. Metodo di somiglianza per la ricerca di un integrale particolare di un sistema
completo.
3. Esercizi:
Fanno parte del programma le sei esercitazioni e il foglio di esercizi di Algebra lineare
disponibili sul sito.
Testi consigliati:
1. Appunti del corso sono disponibili sul sito.
2. M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa, MATEMATICA, Calcolo infinitesimale e
algebra lineare, Zanichelli, nuova edizione 2004;
3. C. D. Pagani e S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Ed. Zanichelli);
4. A. Bacciotti e F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2 (Ed. Levrotto e Bella,
Torino).
