Università degli Studi di Bergamo. Facoltà di Ingegneria.
Programma del corso di Matematica III
Laurea Specialistica in Ingegneria Edile
a.a. 2008–2009
Giulia Furioli
1. Algebra lineare.
Richiami sullo spazio vettoriale R3 : somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, norma, distanza, prodotto vettoriale. Spazi vettoriali astratti reali e complessi:
definizioni ed esempi. Sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, in particolare in spazi di funzioni, esempi. Implicazioni fra la
nozione di dipendenza di funzioni in un punto, dipendenza in ogni punto e dipendenza come funzioni (∗). Famiglie generatrici, basi, dimensione di uno spazio e coordinate di un vettore rispetto una base, esempi. Le coordinate rispetto ad una base
sono univocamente determinate (∗). Sottospazi generati da insiemi di vettori, esempi. Prodotto scalare, ortogonalità, basi ortonormali, esempi. Una base ortonormale
nello spazio dei polinomi trigonometrici di grado n (∗) . Procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt, esempi. Proiezione ortogonale su un sottospazio di
dimensione finita.
Applicazioni lineari, definizioni ed esempi. Condizione necessaria perché un’applicazione sia lineare è che L(0) = 0 (∗). Nucleo e immagine, definizioni ed esempi.
Nucleo ed immagine sono sottospazi vettoriali (∗). Un’applicazione lineare L è iniettiva se e solo se Ker L = {0} (∗). Teorema di struttura delle controimmagini
di un elemento (∗) ed applicazione alle equazioni differenziali lineari. Applicazioni
lineari tra spazi di dimensione finita. L’immagine è lo spazio generato dalle immagini
degli elementi di una base dello spazio di partenza (∗). Teorema di nullità più rango
(dim Ker L + dim Im L = dim V ) (∗), esempi di applicazione. Richiami sul calcolo
matriciale. Matrice di una applicazione lineare. Teorema di rappresentazione delle applicazioni lineari, esempi. Composizione di applicazioni lineari, ogni composta
di applicazioni lineari è lineare (∗), calcolo della matrice associata ad una composizione; esempi. Applicazioni invertibili e matrici associate. Applicazioni lineari tra
spazi della stessa dimensione, matrici di cambiamento di base, esempi. Matrici simili.
Matrici diagonalizzabili su R e su C, matrici di passaggio. Polinomio caratteristico
ed equazione caratteristica. Il polinomio caratteristico, il determinante e la traccia
sono invarianti per matrici simili (∗). Autovalori ed autovettori reali e complessi.
Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica, autovalori regolari, esempi. Teorema
sulla regolarità degli autovalori e diagonalizzabilità in R e in C.
2. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali.
Equazione di ordine n, equazione di ordine n in forma normale e sistema del primo
ordine in forma normale, definizioni ed esempi. Soluzione di una equazione e di un
sistema. Integrale generale. Equazioni e sistemi autonomi, equazioni e sistemi lineari,
esempi. Equivalenza di un’equazione di ordine n e di un opportuno sistema del primo
ordine, esempi. Teorema di regolarità di una soluzione di un’equazione di ordine n e
di un sistema del primo ordine. Problema di Cauchy per un sistema del primo ordine
e per una equazione di ordine n, definizioni ed esempi. Teorema di esistenza di Peano,
teorema di esistenza e unicità locale, teorema di esistenza ed unicità globale, teorema
di dipendenza continua dai dati iniziali; esempi di applicazione. Sistemi lineari del
primo ordine. Teorema di esistenza ed unicità globale e regolarità. Operatore lineare
differenziale associato alla matrice dei coefficienti. Teorema di struttura dell’integrale
generale e teorema sulla dimensione del nucleo dell’operatore differenziale associato
al sistema (∗). Sistema fondamentale di soluzioni, matrice fondamentale. Sistemi di
equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti, esempi. Integrale generale di
un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti nel caso di matrice dei coefficienti
diagonalizzabile in campo reale. Esempi nel caso in cui la matrice sia diagonalizzabile
in campo complesso.
3. Serie di Fourier.
Il problema della propagazione del calore in una sbarra monodimensionale: impostazione del problema con condizioni iniziali e al bordo, determinazione delle soluzioni
con il metodo di separazione delle variabili, linearità dell’equazione e determinazione
formale di soluzioni espresse in serie. Polinomi e serie trigonometriche. Determinazione di una base ortonormale dello spazio dei polinomi trigonometrici di grado
minore o uguale ad n (∗). Determinazione dei coefficienti di Fourier attraverso la minimizzazione della distanza nello spazio dei polinomi trigonometrici di grado minore
o uguale a n (∗). Serie di Fourier. Esempi. Funzioni monotone a tratti. Teorema
di convergenza puntuale della serie di Fourier per una funzione periodica, limitata
e monotona a tratti. Applicazioni del teorema al calcolo di somme di serie trigonometriche. Funzioni sviluppabili in serie di soli seni o di soli coseni; applicazione al
problema della propagazione del calore in una sbarra con dato opportuno.
4. Esercizi.
Fanno parte del programma le otto esercitazioni disponibili sul sito.
N.B.: Degli argomenti contrassegnati con (∗), si richiede anche la dimostrazione.
Testi consigliati:
1. Appunti del corso sono disponibili sul sito.
2. M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa, MATEMATICA, Calcolo infinitesimale e
algebra lineare, Zanichelli, nuova edizione 2004;
3. C. D. Pagani e S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Ed. Zanichelli);
4. A. Bacciotti e F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2 (Ed. Levrotto e Bella,
Torino).
