Università degli Studi di Bergamo. Facoltà di Ingegneria. Programma del corso di Matematica III Laurea Specialistica in Ingegneria Edile a.a. 2008–2009 Giulia Furioli 1. Algebra lineare. Richiami sullo spazio vettoriale R3 : somma, prodotto per uno scalare, prodotto scalare, norma, distanza, prodotto vettoriale. Spazi vettoriali astratti reali e complessi: definizioni ed esempi. Sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza e indipendenza lineare, in particolare in spazi di funzioni, esempi. Implicazioni fra la nozione di dipendenza di funzioni in un punto, dipendenza in ogni punto e dipendenza come funzioni (∗). Famiglie generatrici, basi, dimensione di uno spazio e coordinate di un vettore rispetto una base, esempi. Le coordinate rispetto ad una base sono univocamente determinate (∗). Sottospazi generati da insiemi di vettori, esempi. Prodotto scalare, ortogonalità, basi ortonormali, esempi. Una base ortonormale nello spazio dei polinomi trigonometrici di grado n (∗) . Procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt, esempi. Proiezione ortogonale su un sottospazio di dimensione finita. Applicazioni lineari, definizioni ed esempi. Condizione necessaria perché un’applicazione sia lineare è che L(0) = 0 (∗). Nucleo e immagine, definizioni ed esempi. Nucleo ed immagine sono sottospazi vettoriali (∗). Un’applicazione lineare L è iniettiva se e solo se Ker L = {0} (∗). Teorema di struttura delle controimmagini di un elemento (∗) ed applicazione alle equazioni differenziali lineari. Applicazioni lineari tra spazi di dimensione finita. L’immagine è lo spazio generato dalle immagini degli elementi di una base dello spazio di partenza (∗). Teorema di nullità più rango (dim Ker L + dim Im L = dim V ) (∗), esempi di applicazione. Richiami sul calcolo matriciale. Matrice di una applicazione lineare. Teorema di rappresentazione delle applicazioni lineari, esempi. Composizione di applicazioni lineari, ogni composta di applicazioni lineari è lineare (∗), calcolo della matrice associata ad una composizione; esempi. Applicazioni invertibili e matrici associate. Applicazioni lineari tra spazi della stessa dimensione, matrici di cambiamento di base, esempi. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili su R e su C, matrici di passaggio. Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Il polinomio caratteristico, il determinante e la traccia sono invarianti per matrici simili (∗). Autovalori ed autovettori reali e complessi. Autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica, autovalori regolari, esempi. Teorema sulla regolarità degli autovalori e diagonalizzabilità in R e in C. 2. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali. Equazione di ordine n, equazione di ordine n in forma normale e sistema del primo ordine in forma normale, definizioni ed esempi. Soluzione di una equazione e di un sistema. Integrale generale. Equazioni e sistemi autonomi, equazioni e sistemi lineari, esempi. Equivalenza di un’equazione di ordine n e di un opportuno sistema del primo ordine, esempi. Teorema di regolarità di una soluzione di un’equazione di ordine n e di un sistema del primo ordine. Problema di Cauchy per un sistema del primo ordine e per una equazione di ordine n, definizioni ed esempi. Teorema di esistenza di Peano, teorema di esistenza e unicità locale, teorema di esistenza ed unicità globale, teorema di dipendenza continua dai dati iniziali; esempi di applicazione. Sistemi lineari del primo ordine. Teorema di esistenza ed unicità globale e regolarità. Operatore lineare differenziale associato alla matrice dei coefficienti. Teorema di struttura dell’integrale generale e teorema sulla dimensione del nucleo dell’operatore differenziale associato al sistema (∗). Sistema fondamentale di soluzioni, matrice fondamentale. Sistemi di equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti, esempi. Integrale generale di un sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti nel caso di matrice dei coefficienti diagonalizzabile in campo reale. Esempi nel caso in cui la matrice sia diagonalizzabile in campo complesso. 3. Serie di Fourier. Il problema della propagazione del calore in una sbarra monodimensionale: impostazione del problema con condizioni iniziali e al bordo, determinazione delle soluzioni con il metodo di separazione delle variabili, linearità dell’equazione e determinazione formale di soluzioni espresse in serie. Polinomi e serie trigonometriche. Determinazione di una base ortonormale dello spazio dei polinomi trigonometrici di grado minore o uguale ad n (∗). Determinazione dei coefficienti di Fourier attraverso la minimizzazione della distanza nello spazio dei polinomi trigonometrici di grado minore o uguale a n (∗). Serie di Fourier. Esempi. Funzioni monotone a tratti. Teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier per una funzione periodica, limitata e monotona a tratti. Applicazioni del teorema al calcolo di somme di serie trigonometriche. Funzioni sviluppabili in serie di soli seni o di soli coseni; applicazione al problema della propagazione del calore in una sbarra con dato opportuno. 4. Esercizi. Fanno parte del programma le otto esercitazioni disponibili sul sito. N.B.: Degli argomenti contrassegnati con (∗), si richiede anche la dimostrazione. Testi consigliati: 1. Appunti del corso sono disponibili sul sito. 2. M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa, MATEMATICA, Calcolo infinitesimale e algebra lineare, Zanichelli, nuova edizione 2004; 3. C. D. Pagani e S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Ed. Zanichelli); 4. A. Bacciotti e F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2 (Ed. Levrotto e Bella, Torino).