Dipartimento di Architettura di Alghero - Università degli studi di Sassari
Analisi matematica e geometria
Obiettivi formativi
Obiettivi del corso di analisi sono l'acquisizione da parte dello studente della conoscenza delle funzioni elementari, loro proprietà e
grafico, e quindi della capacità di disegnare il grafico di una funzione, studiandone le proprietà; inoltre, si intendono fornire gli
strumenti per conseguire un'adeguata conoscenza e capacità di utilizzare concetti e strumenti fondamentali dell'analisi matematica
e loro applicazioni; particolare rilievo avrà la padronanza del calcolo differenziale e integrale.
Per quanto riguarda geometria, si intendono fornire gli strumenti per conseguire un'adeguata conoscenza e capacità di utilizzare
l'algebra lineare e le sue applicazioni; inoltre lo studente verrà introdotto all'uso delle coordinate cartesiane e dei cambi di
coordinate nel piano, studiando in particolare luoghi geometrici fondamentali.
Programma
Principali argomenti trattati: funzioni reali di variabile reale e loro proprietà (limitatezza, monotonia, convessità), funzioni elementari,
limiti e continuità, derivate, derivate successive, approssimazione di funzioni con polinomi, massimi e minimi, calcolo integrale e
sue applicazioni, equazioni differenziali, cenno al calcolo in più variabili.
1. Insiemi e funzioni; alcune proprietà delle funzioni: iniettività, suriettività, invertibilità; funzione inversa; composizione di
funzioni.
2. Qualche richiamo sui numeri reali; intervalli; insiemi limitati; massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore.
3. Funzioni reali di variabile reale: grafico, operazioni sul grafico, alcune proprietà delle funzioni elementari (potenze, polinomi,
esponenziali, logaritmo, funzioni trigonometriche, modulo, . . . ); limitatezza, monotonia, convessità; campo di esistenza
(dominio).
4. Limiti e continuità: definizione di limite, operazioni, forme indeterminate, limiti notevoli, teoremi di confronto; definizone di
continuità, alcuni tipi di discontinuità, sostituzione nel calcolo dei limiti, proprietà globali delle funzioni continue (teorema di
Weierstass, teorema degli zeri e dei
valori intermedi).
5. Derivate: definizione, calcolo; proprietà globali delle funzioni derivabili (teorema di Rolle, teorema di Lagrange); segno della
derivata e monotonia; punti stazionari.
6. Derivate successive; derivata seconda e convessità; criterio per massimi e minimi; punti di flesso; approssimazione locale
delle funzioni con polinomi: polinomio di Taylor (cenno); studio del grafico di una funzione.
7. Integrale di Riemann: definizione, funzioni integrabili, teoremi fondamentali del calcolo; calcolo di integrali; integrali impropri;
applicazioni geometriche dell’integrale.
8. Cenni al calcolo in pi`u variabili.
9. Equazioni differenziali: equazioni della forma y(n)(t) = f(t); cenno alle equazioni lineari e a variabili separabili del primo
ordine.
Geometria
Principali argomenti trattati: calcolo vettoriale, retta e circonferenza nel piano, cenni di geometria dello spazio (rette e piani), calcolo
matriciale, determinante, rango di una matrice, sistemi lineari, diagonalizzazione.
1. Nozioni preliminari: insiemi, operazioni con gli insiemi, insiemi numerici; retta reale, piano carte-iano.
2. Calcolo vettoriale in Rn: vettori, vettori applicati, somma di vettori, prodotto per uno scalare (con interpretazione
geometrica); modulo, distanza tra punti; prodotto scalare, proiezione; teorema del prodotto scalare.
3. Rette nel piano xy: retta per due punti, equazione parametrica, implicita, esplicita; parallelismo, ortogonalità.
4. Rette e piani in R3; equazioni parametriche e cartesiane; parallelismo, ortogonalità, intersezioni, posizioni reciproche.
5. Circonferenza: equazioni, equazione parametrica, centro, raggio, tangenti.
6. Matrici: operazioni di somma e prodotto per scalare; matrici quadrate, diagonali, triangolari, simmetriche, antisimmetriche;
prodotto riga per colonna di matrici e sue proprietà; matrice inversa.
7. Determinante: denizione (per induzione), proprietà; teoremi di Laplace, teorema di Binet, in- vertibilità e determinante;
matrice aggiunta, formula per il calcolo dell'inversa.
8. Prodotto vettoriale in R3:
9. Dipendenza e indipendenza lineare.
10. Rango: denizione con i minori, teorema del rango (righe indipendenti, colonne indipendenti).
11. Sistemi lineari: introduzione, sistemi lineari in forma matriciale, esempi; teorema di Cramer (sistemi quadrati).
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Risoluzione di sistemi lineari con il metodo dell'inversa, con il metodo di Cramer, con il metodo di eliminazione.
Teorema di Rouché-Capelli. Discussione di sistemi dipendenti da parametri; sistemi omogenei.
Cambi di coordinate nel piano (cenni) e applicazioni lineari.
Diagonalizzazione: matrici diagonali e applicazioni lineari associate; denizione di matrice diagonalizzabile.
Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico; molteplicità e criterio di diagonalizzabilità; diagonalizzabilità delle matrici
simmetriche.
Modalità d'esame
L'esame consiste in una prova scritta di Geometria e una prova scritta di Analisi matematica; il voto risulta dalla media dei voti
conseguiti nelle prove.
Bibliografia
Dispense
di
Algebra
Lineare
(distribuite
durante
P.
Marcellini,
C.
Sbordone,
Elementi
di
Matematica,
Liguori
P. Baiti, L. Freddi, Corso integrato di Matematica per le scienze naturali ed applicate, Forum (Udine), 2005.
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il
(Napoli),
corso).
2004.
