Università degli Studi di Bergamo. Facoltà di Ingegneria.
Programma del corso di Matematica III
Laurea Specialistica in Ingegneria Edile
a.a. 2006–2007
Giulia Furioli, Laura Fontanelli
1. Algebra lineare.
Richiami sullo spazio vettoriale R3 : somma, prodotto per uno scalare, prodotto
scalare, norma, distanza, prodotto vettoriale. Spazi vettoriali astratti reali e complessi: definizioni ed esempi. Sottospazi vettoriali, combinazioni lineari, dipendenza
e indipendenza lineare, in particolare in spazi di funzioni, esempi. Famiglie generatrici, basi, dimensione di uno spazio e coordinate di un vettore rispetto una base,
esempi. Le coordinate rispetto ad una base sono univocamente determinate (∗). Sottospazi generati da insiemi di vettori, esempi. Prodotto scalare, ortogonalità, basi
ortonormali, esempi; procedimento di ortonormalizzazione di Gram–Schmidt, esempi.
Applicazioni lineari, definizioni ed esempi. Condizione necessaria perché un’applicazione sia lineare è che L(0) = 0 (∗). Nucleo e immagine, definizioni ed esempi.
Nucleo ed immagine sono sottospazi vettoriali (∗). Un’applicazione lineare L è iniettiva se e solo se Ker L = {0} (∗). Teorema di struttura delle controimmagini
di un elemento (∗) ed applicazione alle equazioni differenziali lineari. Applicazioni
lineari tra spazi di dimensione finita. L’immagine è lo spazio generato dalle immagini
degli elementi di una base dello spazio di partenza (∗). Teorema di nullità più rango
(dim Ker L + dim Im L = dim V ) (dimostrazione facoltativa), esempi di applicazione.
Richiami sul calcolo matriciale. Matrice di una applicazione lineare. Teorema di rappresentazione delle applicazioni lineari, esempi. Composizione di applicazioni lineari,
ogni composta di applicazioni lineari è lineare (∗), calcolo della matrice associata
ad una composizione (∗); esempi. Applicazioni invertibili e matrici associate. Applicazioni lineari tra spazi della stessa dimensione, matrici di cambiamento di base,
esempi. Matrici simili. Matrici diagonalizzabili su R e su C, matrici di passaggio.
Polinomio caratteristico ed equazione caratteristica. Il polinomio caratteristico è invariante per matrici simili (∗). Autovalori ed autovettori reali e complessi. Autospazi.
Molteplicità algebrica e geometrica, autovalori regolari, esempi. Teorema sulla regolarità degli autovalori e diagonalizzabilità in R e in C. Teorema sulla diagonalizzabilità
di una matrice reale simmetrica. Matrici ortogonali.
2. Equazioni differenziali ordinarie e sistemi di equazioni differenziali.
Equazione di ordine n, equazione di ordine n in forma normale e sistema del primo
ordine in forma normale, definizioni ed esempi. Soluzione di una equazione e di
un sistema. Integrale generale. Equazioni e sistemi autonomi, equazioni e sistemi
lineari, esempi. Equivalenza di un’equazione di ordine n e di un opportuno sistema
del primo ordine, esempi. Regolarità di una soluzione di un’equazione di ordine n e
di un sistema del primo ordine. Problema di Cauchy per un sistema del primo ordine
e per una equazione di ordine n, definizioni ed esempi. Teorema di esistenza e unicità
locale, teorema di esistenza ed unicità globale, teorema di dipendenza continua dai
dati iniziali; esempi di applicazione. Problema ben posto nel senso di Hadamard.
Sistemi lineari del primo ordine. Teorema di esistenza ed unicità globale e regolarità
(∗). Operatore lineare differenziale associato alla matrice dei coefficienti. Teorema di
struttura dell’integrale generale e teorema sulla dimensione del nucleo dell’operatore
differenziale associato al sistema (∗). Sistema fondamentale di soluzioni, matrice
fondamentale. Sistemi di equazioni lineari del primo ordine a coefficienti costanti,
esempi. Costruzione della matrice esponenziale. Integrale generale di un sistema
lineare omogeneo a coefficienti costanti tramite la matrice esponenziale. Studio nel
caso di matrice diagonalizzabile in campo reale. Esempi nel caso in cui la matrice
sia diagonalizzabile in campo complesso. (Facoltativo: metodo di somiglianza per la
ricerca di un integrale particolare di un sistema completo).
3. Serie di Fourier.
Il problema della propagazione del calore in una sbarra monodimensionale: impostazione del problema con condizioni iniziali e al bordo, determinazione delle
soluzioni con il metodo di separazione delle variabili, linearità dell’equazione e determinazione formale di soluzioni espresse in serie. Polinomi e serie trigonometriche.
Determinazione di una base ortonormale dello spazio dei polinomi trigonometrici
di grado minore o uguale ad n (∗). Determinazione dei coefficienti di Fourier attraverso la minimizzazione dello scarto quadratico medio nello spazio dei polinomi
trigonometrici di grado minore o uguale a n; serie di Fourier. Esempi. Funzioni
monotone a tratti. Teorema di convergenza puntuale della serie di Fourier per una
funzione periodica, limitata e monotona a tratti. Applicazioni del teorema al calcolo
di somme di serie trigonometriche. Funzioni sviluppabili in serie di soli seni o di soli
coseni; applicazione al problema della propagazione del calore in una sbarra con dato
opportuno.
4. Esercizi.
Fanno parte del programma le sette esercitazioni disponibili sul sito.
N.B.: Degli argomenti contrassegnati con (∗), si richiede anche la dimostrazione.
Testi consigliati:
1. Appunti del corso sono disponibili sul sito.
2. M. Bramanti, C. D. Pagani e S. Salsa, MATEMATICA, Calcolo infinitesimale e
algebra lineare, Zanichelli, nuova edizione 2004;
3. C. D. Pagani e S. Salsa: Analisi Matematica 2 (Ed. Zanichelli);
4. A. Bacciotti e F. Ricci, Lezioni di Analisi Matematica 2 (Ed. Levrotto e Bella,
Torino).
