Lezione mecc n.13
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Introduzione alla dinamica dei sistemi
Definizione di centro di massa
Forze esterne ed interne ad un sistema
Quantità di moto e sue variazioni (prima equazione
cardinale della dinamica)
Sistemi di due particelle: urti
Sistemi di due particelle: massa ridotta
Impulso di una forza
Forze impulsive
Inoltre, prossimamente su questi schermi:
• una particolare classe di sistemi a molte particelle: i
corpi rigidi
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Media aritmetica e media pesata
Esempio:
materia
xxx
yyy
zzz
totale
crediti
6
4
2
12
voto
20
22
30
72
Media aritmetica: 72/3=24
Media pesata: (620+422+230)/12=(120+88+60)/12=22.3
⇒ voti più bassi pesati con più crediti riducono il risultato.
Si ha un sistema formato da molte particelle, come definire il
suo centro?
Se ri è la posizione della particella i-ma,che ha massa mi,
definiamo
Mtot=m1+m2+…+mn= massa del sistema
Rcm=(m1r1+ m2r2+..+ mnrn)/Mtot=posizione del centro di massa
Più sinteticamente,
Estensione al caso di distribuzione continua
N
∑m
i
= M tot
1
1
M tot
r r
∑ mi ri = Rcm
N
1
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Per passare alla dinamica, deriviamo l’espressione di Rcm per trovare
una definizione della velocità e dell’accelerazione del centro di massa
r
dRcm d 1
=
dt
dt M tot
N
r
1
m
r
=
∑1 i i M
tot
N
1
d r
m
r
=
∑1 i dt i M
tot
r r
∑ mivi = Vcm
N
1
In modo analogo, continuando a derivare, troviamo acm
r
dVcm d 1
=
dt
dt M tot
N
r
1
m
v
=
∑1 i i M
tot
N
d r
1
m
v
=
∑1 i dt i M
tot
N
r r
m
a
∑ i i = acm
1
se moltiplichiamo per Mtot gli ultimi due membri otteniamo
N
r
r
m
a
=
M
a
∑ i i tot cm
1
r
r
ovvero ∑ Fi = M tot acm
N
1
Questo ci permette di dire che il centro di massa del sistema accelera
come se il sistema fosse una sola particella di massa Mtot sottoposta a
una forza complessiva data dalla somma di tutte le forze agenti su
tutte le particelle.
Notare che a loro volta, le Fi sono da considerarsi forze risultanti: su
ogni particella possono agire tante forze.
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Esempio
F12
1
2
F13
g
F23
3
Qui sulla particella 1 agiscono tre forze. Una è dovuta all’interazuione
con 2, una all’interazione con 3 e una proviene dall’esterno del
sistema ed è il peso (interazione con la Terra, che non è considerata
parte del sistema). Lo stesso si può dire per F2 e F3
F1=F12+F13+M1g
F2=F21+F23+M2g
F3=F31+F32+M3g
Per il sistema,
Ftot=F1+F2+F3
e
Ftot=(M1+M2+M3)acm
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Consideriamo, per la lista delle forze, di quali
informazioni disponiamo grazie al 3° principio
della dinamica:
Fij=−Fji
quindi, nel nostro esempio,
F12=−F21, F13=−F31, F32=−F23,
Grazie a questo, nella somma di tutte le forze si
annullano a coppie tutti i termini che vengono da
forze interne al sistema:
F1=F12+F13+M1g
F2=F21+F23+M2g
F3=F31+F32+M3g
Nella somma di tutte le forze che agiscono su
tutte le particelle possiamo non considerare tutte
le forze che vengono da dentro il sistema:
n r
r
r
M tot acm = Ftot = ∑ Festerne − i
1
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E’ molto opportuno riscrivere le equazioni della dinamica dopo aver
introdotto una nuova quantità che si chiama quantità di moto
p=mv
per un sistema di particelle,
Ptot=Σpi
derivando, si può scrivere
r
N
N
r
r N
dPtot
d r N
= ∑ mi vi = ∑ mi ai = ∑ Fi =∑ Fext − i =Ftot
dt
dt
1
1
1
1
questa relazione è una delle due relazioni fondamentali della
dinamica, è stata dedotta a partire dal 2° e 3° principio della dinamica
ed è nota come
prima equazione cardinale della dinamica
in più (rispetto ai principi della dinamica) questa è corretta anche per
sistemi a massa variabile:
F=ma vale solo se m è costante: se per qualche ragione m cresce,
serve forza anche per mantenere un corpo a velocità costante.
Un vagone si muove sotto la pioggia, che pian
piano lo riempie. Affinché la velocità del vagone
resti costante, serve una forza che provveda ad
accelerare le gocce che cadono dentro il vagone
fino alla velocità del vagone stesso.
L’equivalente del primo principio della dinamica, dedotto dalla prima
eq. cardinale, suona così:
La quantità di moto totale di un sistema si conserva se è nulla la
somma delle forze esterne agenti sul sistema.
In particolare, Ptot è costante per tutti i sistemi isolati.
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Urti e dinamica interna di sistemi di due particelle.
Esiste un approccio che riduce lo studio della dinamica di un sistema
di due particelle allo studio della dinamica di una particella singola.
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Consideriamo posizioni, velocità e accelerazioni dei due oggetti:
x1, v1=dx1/dt,
a1=dv1/dt=d2x1/dt2
x2, v2=dx2/dt,
a2=dv2/dt=d2x2/dt2
scriviamo le differenze di queste quantità:
x=x2−x1
v=v2−v1
a=a2−a1
queste quantità si chiamano posizione relativa,
velocità relativa, accelerazione relativa
Se il sistema è isolato, le particelle subiscono solo le forze che
ciascuna esercita sull’altra.
Queste forze sono uguali ed opposte per il 3° principio.
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a=?
a=a2−a1=F2/m2−F1/m1=F21/m2−F12/m1=
F21/m2+F21/m1=(1/m2+1/m1)F
Se definiamo µ come 1/µ=(1/m2+1/m1), otteniamo
F=µa
Quanto vale µ?
Se m1=m2,
S m1>>m2,
k
M
µ=
µ=
5M
µ=
ω=
Nel moto della Terra intorno al sole,
Qual è la forza? Qual è la massa ridotta?
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Urti fra due corpi
Per ogni particella, vogliamo conoscere ∆p.
Poiché F=dp/dt, ∆p=∫Fdt
∫Fdt
si chiama impulso
Spesso si considerano urti istantanei.
Sono urti che avvengono con forze di
interazioni molto intense, ma per durate molto
brevi.
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L’impulso ∫Fdt è fissato, e possiamo
immaginare di mandare F all’infinito
riducendo contemporaneamente il dominio di
integrazione:
F
F
t
F
t
t
La presenza di forze impulsive, permette di trascurare
l’effetto di altre forze durante la breve durata dell’urto.
Per esempio durante l’urto fra due auto possiamo trascurare
l’effetto del peso e dell’attrito fra gomme e asfalto.
Forze che possono essere di natura impulsiva:
forze di contatto, altre reazioni vincolari….
Forze che NON possono essere di natura impulsiva:
forza elastica, forza peso, attrito dinamico…
