Lezione mecc n.10 pag 1 Argomenti di questa lezione: • introdurre l’argomento centrale del corso: l’energia e il lavoro studiare cosa occorre fare per modificare il modulo quadro del vettore velocità • dimostrare teorema dell’energia cinetica (o delle forze vive) e chiarirne il significato e alcune implicazioni Lezione mecc n.10 pag 2 Nuovo argomento. Energia e lavoro. Ci chiediamo cosa dobbiamo fare per modificare il modulo della velocità. v=√(vx2+vy2+vz2) Per evitare di “combattere” con radici quadrate, chiediamoci cosa dobbiamo fare per cambiare il modulo quadro della velocità v2= vx2+vy2+vz2=v•v ∆v2= ? ∆v2=2v∆v ? si no dv vi dv vi vf vf dv2=2v•dv prima di passare al limite, ∆v2≅2v•∆v moltiplichiamo questa (quasi) uguaglianza per 1, scrivendo 1=∆t/∆t ∆v2≅2v•∆v (∆t/∆t)=2 v ∆t •∆v /∆t=2∆s• a Lezione mecc n.10 pag 3 Visto che è comparsa un’accelerazione e che noi stiamo cercando la causa del cambiamento del modulo di v, moltiplichiamo per m, così da far comparire la forza, che sappiamo già essere causa dell’accelerazione. Moltiplichiamo anche per ½, per far sparire il 2 a secondo membro. Inoltre passiamo al limite per ∆t 0. d[(1/2)mv2]=[(1/2)m] 2ds• a=ds•F Definiamo dL=F•ds ed Ek=[(1/2)mv2] L si chiama lavoro Ek si chiama energia cinetica Entrambe queste grandezze sono scalari L=∫dL=∫dEk=∆Ek L=∆Ek: per modificare l’energia cinetica serve lavoro Per lavorare serve applicare una forza a un punto che si sposti. E non basta: lo spostamento deve avere una componente parallela alla forza, altrimenti il pr. scalare si annulla. (Se spingete un’auto non fatelo in direzione trasversale!) Un lavoro negativo (forza opposta a ds) fa diminuire Ek. (Non spingete l’auto da davanti!) Lezione mecc n.10 pag 4 Un aspetto formale: che “razza” di integrale è quello che ci fornisce il lavoro? L=∫dL=∫ F•ds = ∫ F cosθ ds Cosa è ds? Come è fatto il dominio su cui si integra? Si tratta di integrali di linea. Qui il dominio non è un intervallo, ma un tratto di curva. Il tempo è sparito dai nostri discorsi…. Se ci chiediamo quanto si lavora velocemente, possiamo andare a valutare dL/dt dEk/dt=dL/dt= F•ds/dt= F•v questa quantità si chiama potenza. Lezione mecc n.10 pag 5 Dimensioni e unità di misura MKS La forza è definita dalla 2a eq. della dinamica, F=ma, dove [a]=L/T2 [F]=MLT-2 in MKS, Kg m s-2 si chiama Newton, simbolo N Lavoro ed energia: F ds [Lavoro]=ML2T-2 in MKS Kg m2 s-2, si chiama Joule (nome inglese da pronunciare “alla francese”) Potenza: Lavoro/unità di tempo [Potenza]=ML2T-3 in MKS Kg m2 s-3chiama Watt (per la pronuncia, idem come sopra) Nella pratica spesso si dà l’energia riportandola come prodotto fra potenza e tempo. Caso tipico, kWh 1kWh= quanti Joule? Calcoli del lavoro in alcuni casi semplici e/o importanti Lavoro di una forza uniforme e costante, L=∫dL=∫ F•ds = F•∫ds= F•∆s In questo caso troviamo una quantità che NON dipende dal particolare percorso, ma solo dalla posizione relativa degli estremi della curva che descrive tale percorso Questo semplice caso descrive ad esempio il lavoro della forza peso in prossimità della superficie terrestre Lezione mecc n.10 pag 6 Lavoro di una forza costante in modulo che si agisce in direzione opposta allo spostamento (cosθ=−1) L=∫dL=∫ F•ds=∫−Fds=-F∫ds=-Fσ, dove σ è la lunghezza del percorso Questo semplice caso descrive ad esempio il lavoro di una forza d’attrito radente dinamico su un piano uniformemente scabro Lavoro di una forza elastica L=∫dL=∫F•dx =−∫kx•dx = (nel caso unidimensionale) = -k∫xdx=-[(1/2) kx2]xin xfin=-(1/2)k[xfin2−xin2] Nel caso in più dimensioni, si vede che si lavora solo per gli spostamenti radiali, per cui il risultato è il medesimo, a patto di considerare che x è l’allungamento della molla (infatti l’allungamento varia solo per spostamenti radiali) Anche in questo caso, il lavoro non dipende dal percorso, ma solo dai suoi estremi. Lezione mecc n.10 pag 7 Lavoro di una forza che si mantiene sempre perpendicolare allo spostamento L=∫dL=∫F•dx =0 Questo è il caso della forza di Lorentz, dove F=qv∧ ∧B, infatti v e ds=vdt sono vettori paralleli e il prodotto vettoriale che dà F è perpendicolare sia a B che a v (ci interessa il fatto che lo è a v). Ed è anche il caso di una reazione vincolare. Anche per l’attrito statico L=0, perché il punto di applicazione dell’attrito statico non si muove: ds=0. Una precisazione importante Il lavoro è definito come prodotto fra forza e spostamento del punto in cui tale forza è applicata. Per corpi puntiformi, il punto d’applicazione coincide con la posizione del punto, ma per corpi estesi non è così. A volte ci si sbaglia pensando che non è lo spostamento del punto di applicazione a giocare, ma qualche altro punto “importante” del corpo esteso. In connessione con queste considerazioni, notiamo che non sempre la forza che lavora è la stessa che provoca accelerazione. Considerare una persona che inizia a camminare, oppure un’automobile che accelera. In ciascuno di questi casi, qual è la forza che lavora, e qual è la forza che provoca accelerazione?