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Lezione mecc n.10
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Argomenti di questa lezione:
• introdurre l’argomento centrale del corso:
l’energia e il lavoro
studiare cosa occorre fare per
modificare il modulo quadro del vettore
velocità
• dimostrare teorema dell’energia cinetica (o
delle forze vive) e chiarirne il significato e
alcune implicazioni
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Nuovo argomento. Energia e lavoro.
Ci chiediamo cosa dobbiamo fare per modificare il
modulo della velocità.
v=√(vx2+vy2+vz2)
Per evitare di “combattere” con radici quadrate, chiediamoci cosa
dobbiamo fare per cambiare il modulo quadro della velocità
v2= vx2+vy2+vz2=v•v
∆v2= ?
∆v2=2v∆v ?
si
no
dv
vi
dv
vi
vf
vf
dv2=2v•dv
prima di passare al limite,
∆v2≅2v•∆v
moltiplichiamo questa (quasi) uguaglianza per 1,
scrivendo 1=∆t/∆t
∆v2≅2v•∆v (∆t/∆t)=2 v ∆t •∆v /∆t=2∆s• a
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Visto che è comparsa un’accelerazione e che noi stiamo cercando la
causa del cambiamento del modulo di v, moltiplichiamo per m, così
da far comparire la forza, che sappiamo già essere causa
dell’accelerazione.
Moltiplichiamo anche per ½, per far sparire il 2 a secondo
membro. Inoltre passiamo al limite per ∆t 0.
d[(1/2)mv2]=[(1/2)m] 2ds• a=ds•F
Definiamo dL=F•ds ed Ek=[(1/2)mv2]
L si chiama lavoro
Ek si chiama energia cinetica
Entrambe queste grandezze sono scalari
L=∫dL=∫dEk=∆Ek
L=∆Ek: per modificare l’energia cinetica serve lavoro
Per lavorare serve applicare una forza a un punto che si sposti.
E non basta: lo spostamento deve avere una componente parallela
alla forza, altrimenti il pr. scalare si annulla. (Se spingete un’auto
non fatelo in direzione trasversale!)
Un lavoro negativo (forza opposta a ds) fa diminuire Ek. (Non
spingete l’auto da davanti!)
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Un aspetto formale: che “razza” di integrale è quello che ci fornisce il lavoro?
L=∫dL=∫ F•ds = ∫ F cosθ ds
Cosa è ds? Come è fatto il dominio su cui si integra?
Si tratta di integrali di linea. Qui il dominio non è un
intervallo, ma un tratto di curva.
Il tempo è sparito dai nostri discorsi….
Se ci chiediamo quanto si lavora velocemente, possiamo
andare a valutare dL/dt
dEk/dt=dL/dt= F•ds/dt= F•v
questa quantità si chiama potenza.
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Dimensioni e unità di misura MKS
La forza è definita dalla 2a eq. della dinamica, F=ma, dove [a]=L/T2
[F]=MLT-2
in MKS, Kg m s-2 si chiama Newton, simbolo N
Lavoro ed energia: F ds
[Lavoro]=ML2T-2
in MKS Kg m2 s-2, si chiama Joule (nome inglese da pronunciare “alla
francese”)
Potenza: Lavoro/unità di tempo
[Potenza]=ML2T-3
in MKS Kg m2 s-3chiama Watt (per la pronuncia, idem come sopra)
Nella pratica spesso si dà l’energia riportandola come prodotto fra
potenza e tempo. Caso tipico, kWh
1kWh= quanti Joule?
Calcoli del lavoro in alcuni casi semplici e/o importanti
Lavoro di una forza uniforme e costante,
L=∫dL=∫ F•ds = F•∫ds= F•∆s
In questo caso troviamo una quantità che NON dipende dal
particolare percorso, ma solo dalla posizione relativa degli estremi
della curva che descrive tale percorso
Questo semplice caso descrive ad esempio il lavoro della forza
peso in prossimità della superficie terrestre
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Lavoro di una forza costante in modulo che si agisce in
direzione opposta allo spostamento (cosθ=−1)
L=∫dL=∫ F•ds=∫−Fds=-F∫ds=-Fσ,
dove σ è la lunghezza del percorso
Questo semplice caso descrive ad esempio il lavoro di una forza
d’attrito radente dinamico su un piano uniformemente scabro
Lavoro di una forza elastica
L=∫dL=∫F•dx =−∫kx•dx = (nel caso unidimensionale) =
-k∫xdx=-[(1/2) kx2]xin xfin=-(1/2)k[xfin2−xin2]
Nel caso in più dimensioni, si vede che si lavora solo per gli
spostamenti radiali, per cui il risultato è il medesimo, a patto di
considerare che x è l’allungamento della molla (infatti
l’allungamento varia solo per spostamenti radiali)
Anche in questo caso, il lavoro non dipende dal percorso, ma solo
dai suoi estremi.
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Lavoro di una forza che si mantiene sempre
perpendicolare allo spostamento
L=∫dL=∫F•dx =0
Questo è il caso della forza di Lorentz, dove F=qv∧
∧B, infatti v e
ds=vdt sono vettori paralleli e il prodotto vettoriale che dà F è
perpendicolare sia a B che a v (ci interessa il fatto che lo è a v).
Ed è anche il caso di una reazione vincolare.
Anche per l’attrito statico L=0, perché il punto di applicazione
dell’attrito statico non si muove: ds=0.
Una precisazione importante
Il lavoro è definito come prodotto fra forza e spostamento del
punto in cui tale forza è applicata.
Per corpi puntiformi, il punto d’applicazione coincide con la
posizione del punto, ma per corpi estesi non è così.
A volte ci si sbaglia pensando che non è lo spostamento del punto
di applicazione a giocare, ma qualche altro punto “importante” del
corpo esteso.
In connessione con queste considerazioni, notiamo che non
sempre la forza che lavora è la stessa che provoca accelerazione.
Considerare una persona che inizia a camminare, oppure
un’automobile che accelera. In ciascuno di questi casi,
qual è la forza che lavora, e qual è la forza che provoca
accelerazione?