esempi su attriti radenti statico e dinamico • esempi su pendolo

Lezione mecc n.8
Argomenti di questa lezione
(esercitazione):
• esempi su attriti radenti statico e
dinamico
• esempi su pendolo semplice
• legge di Hooke
pag 1
Lezione mecc n.8
pag 2
Attrito radente statico
Un libro è poggiato su un tavolo.
Quanto misura l’’intensità dell’attrito radente statico? E
come è diretta tale
forza?
Lezione mecc n.8
pag 3
Attrito radente dinamico
esempio: l’oggetto si muove verso il basso qual è la sua
accelerazione? Dipende dal tempo? È positiva o negativa?
Grafico di v(t)? E se v si annulla, poi cosa succede?
θ
Lezione mecc n.8
pag 4
Attrito radente statico
Sistema dell’esercizio precedente: il blocco si muove inizialmente
verso l’alto. Quando/dove si ferma?
Dopo che si è fermato, torna e muoversi e scende oppure resta lì?
Lezione mecc n.8
Altro esempio:
cosa può succedere?
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Lezione mecc n.8
pag 6
Pendolo semplice in piccole oscillazioni
moto in direzione radiale:
Mac=mL(dθ/dt)2=
Moto in direzione tangenziale
Mat=MLd2θ/dt2=
M
Lezione mecc n.8
Legge di Hooke, forza elastica
F=−k(x−x0)
a∝x
costante di proporzionalità= − k/m
⇒
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Lezione mecc n.8
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Esercizio 1 del 20 settembre 2011
Vista dall’alto
Su un piano orizzontale liscio è fissata una guida ruvida a forma di
anello di raggio R. Dentro l’anello si muove un corpo puntiforme
di massa M che striscia sulla superficie cilindrica interna
dell’anello stesso (coefficiente d’attrito dinamico
µD µD). All’istante
t=0, il corpo ha una velocità (tangenziale) v0.
a) Scrivere il modulo della forza totale
R agente sul corpo all’istante
iniziale;
b) scrivere l’equazione di moto per il corpo;
c) risolvere l’equazione di moto, così da determinare la funzione
M
v(t);
d) Calcolare lo spazio percorso dal corpo fra l’istante t=0 e
l’istante in cui la sua velocità si è ridotta di un certo fattore α.
Il peso è bilanciato dalla reazione del piano, a cui non sono
associati attriti, quindi il moto in direzione verticale è privo
d’interesse.
Invece, la reazione normale dell’anello è l’unica forza che
garantisce l’accelerazione centripeta, quindi a t=0
N=MaC=Mv02/R, ne consegue che la forza (tangenziale)
d’attrito radente dinamico è A=µDMv02/R.
Questa determina un’accelerazione tangenziale µDv02/R,
che agli istanti successivi scala con v2 e vale µDv2/R.
Il modulo della forza all’istante iniziale è
Lezione mecc n.8
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√(N2+A2)= [Mv02/R]√(1+µD2).
E’ sufficiente scrivere un’equazione per la velocità
tangenziale, e, per quanto detto sopra, si ha
dv/dt=−µDv2/R,
dove il segno “−” sta ad indicare che l’attrito determina una
forza resistente, cioè opposta alla velocità.
Separando le variabili l’equazione di moto diventa
dv/v2==−(µD/R)dt,
che si integra facilmente:
ottenendo, data la condizione iniziale
v|t=0=v0, v(t)=v0/(1+µDv0t/R).
La velocità v si riduce di un fattore α, cioè scende da v0 a
v0/α, quando 1/(1+µDv0t/R)=α, cioè a tα=R(α−1)/v0.
Lo spazio percorso lungo la circonferenza si trova
integrando v(t) fra 0 e tα.
Lezione mecc n.8
Si tratta anche qui di un integrale assai semplice, da
calcolare con la sostituzione
z=1+µDv0t/R:
∆Sα=∫1α(v0/z)(R/µDv0)dz=(R/µD)lnα.
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