I ST.
DI
M ATEMATICA I
[A-E]
1. Lezione
martedı́ 4 ottobre 2016
Numeri Naturali. N = {0, 1, 2, 3, . . . }
Ordinamento
Operazioni aritmetiche (distributivit à, annullamento di prodotti)
Numeri pari e numeri dispari 2n, (2n + 1)
Numeri primi, fattorizzazione (Teorema fondamentale dell’aritmetica, unicità della fattorizzazione di ogni numero naturale in fattori
primi)
• Divisione euclidea (MCD e mcm)
1.1.
•
•
•
•
a≥b≥0
→
∃ 0 ≤ q, 0 ≤ r < b :
a = b.q+r
I due numeri q ed r sono unici
a = b q 0 + r0
b = r0 q1 + r1
r0 = r1 q2 + r2
.....
Se r0 = 0 il MCD è b, se r1 = 0 il MCD è r0 , se r2 1 = 0 il MCD è
r1 , ecc.
• Il difetto algebrico
5−7 =?
e il difetto metrico
1/3 =?
1.2. Numeri Interi Relativi. Z = {0, ±1, ±2, . . . }.
Si tratta di un primo ampliamento: risolve il difetto relativo alle sottrazioni,
∀x ∈ Z
∃ −x :
x + (−x) = 0
ma non quello delle divisioni.
Il motivo della regola dei segni nella moltiplicazione:
0 = a.0 = a.(x − x) = a.x + a.(−x)
→ a.(−x) = −a.x
Si ricordi che il MCD(a, b) di due numeri a e b si rappresenta come combinazione lineare dei due numeri,
MCD(a, b) = α a + β b
con α, β interi.
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E SEMPIO 1.1.
MCD(60, 45) = 15,
MCD(12, 42) = 6,
→
→
15 = 60 − 45
6 = 42 − 3 . 12
1.3. Numeri Razionali. Q
p
, N⊂Z ⊂Q
q
Si tratta di un secondo ampliamento: oltre al difetto relativo alle sottrazioni
risolve anche quello relativo alla divisione (esistenza dei reciproci)
∀p, q ∈ Z , q 6= 0 :
∀x ∈ Q, x 6= 0
∃ x−1
→ x.x−1 = 1
• equivalenza qp = kp
kq
• operazioni (la riduzione allo stesso denominatore per somme e
differenze)
• costruzione con riga e compasso (teorema di Talete)
1.4. Moltiplicazione. La regola dei segni equivale a riconoscere che:
• se c > 0 : a < b
• se c < 0 : a < b
→
→
c.a < c.b
c.a > c.b
In altri termini motiplicare per un fattore negativo induce un ribaltamento
rispetto all’origine.
1.5. Incompletezza dei razionali. .
La questione della diagonale del quadrato.
√
Irrazionalitá delle p per ogni p numero primo .
1.6. I numeri reali. .
Idea naif : fissato un riferimento sulla retta (un punto origine e un punto
unità) ad ogni punto corrisponde un numero.
Questa idea esprime direttamente, in modo intuitivo
• i numeri positivi, x ≥ 0
• i negativi, x ≤ 0
• l’ordinamento, x ≤ y
...ma cos’è un numero ?
Un’idea altrettanto naif é quella dei reali come
decimali con un numero di cifre dopo la virgola anche non limitato
1. LEZIONE
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Attenzione:
1 = 0.9999999999 ecc.ecc.
Ovvero uno stesso numero può essere espresso con espressioni decimali
diversissime !
NOTA: I numeri razionali espressi in forma decimale hanno due sole possibilitá
• un numero finito di decimali ( 5/2 = 2.5)
• una sequenza infinita di decimali ma di forma periodica provate
con 5/7, e valutate quanto é lungo il periodo.
• viceversa un numero che abbia una parte dopo la virgola finita o
periodica é razionale;
• le sequenze decimali infinite e non periodiche (immaginatene qualcuma) rappresentano i nuovi numeri, gli irrazionali.
