Algebra e geometria
annuncio pubblicitario
A Francesco Bertolini Algebra e geometria Una storia comune Copyright © MMXV Aracne editrice int.le S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Quarto Negroni, Ariccia (RM) () ---- I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. I edizione: luglio Indice Introduzione 7 1 Gli insiemi numerici fondamentali 9 2 Quanti sono i numeri? Gli infiniti si possono confrontare 21 3 Nozioni di algebra astratta 3.1 Le strutture algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Relazioni d’ordine ed anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 33 4 Le matrici 43 5 I polinomi 49 6 Le equazioni algebriche 6.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Le funzioni simmetriche . . . . . . . . . 6.3 Risoluzione dell’equazione di terzo grado 6.4 Le equazioni di quarto grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 59 61 62 63 7 I numeri complessi 65 7.1 Come sono nati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 7.2 I numeri complessi e la loro rappresentazione . . . . . . . . . . . 66 8 I quaternioni 71 9 Risolubilità per radicali delle equazioni algebriche 79 10 I numeri algebrici e i numeri trascendenti 83 11 Le costruzioni con riga e compasso 11.1 Le costruzioni impossibili . . . . . 11.1.1 La duplicazione del cubo . . 11.1.2 La trisezione dell’angolo . . 11.1.3 La quadratura del cerchio . 11.1.4 Il poligono regolare inscritto . . . . . . . . . . . . . . . . in una . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . circonferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 97 97 97 98 99 5 6 Indice 4 INDICE 12 Le geometrie non euclidee 12.1 Introduzione metodologica alla geometria euclidea e alle geometrie non euclidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1 Le definizioni, i postulati e le nozioni comuni . . . . . . . 12.2 Il quinto postulato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 I teoremi della geometria assoluta (indipendenti dal V postulato) contenuti nel I Libro degli Elementi . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 I teoremi contenuti nel I Libro degli Elementi che dipendono dal quinto postulato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Appendice 111 A I numeri naturali 111 B La serie geometrica 113 C L’unità immaginaria conduce alle soluzioni reali 115 D Numeri irrazionali che conducono a numeri naturali: la successione di Fibonacci 117 E La misura geometrica di π 119 F Algoritmo di divisione estesa tra due numeri naturali 123 G La dimostrazione dell’irrazionalità di e 125 H L’identità di Eulero 127 Bibliografia 131 101 102 108 108 110 Introduzione In questo saggio sono affrontati alcuni risultati fondamentali di algebra, con un approccio fondativo, utile per cogliere le proprietà di base degli insiemi numerici consueti. Si trattano poi aspetti geometrici, legati all’applicazione di strumenti algebrici per la risoluzione di problemi classici dell’antichità. ’L’atteggiamento scientifico e quello poetico coincidono: entrambi sono atteggiamenti insieme di ricerca e di progettazione, di scoperta e di invenzione’ 1 cosı̀ come affermò Italio Calvino che colse sinteticamente il potere immaginifico della matematica, quale si dipana da un’analisi solo apparentemente sterile e tecnica. Come disse Kronecker, Dio ha fatto i numeri naturali, tutto il resto è opera dell’uomo. In realtà, anche i numeri naturali sono costruiti dall’uomo; analizzando la realtà e cogliendone gli aspetti strutturali, si riesce, infatti, a costruire una sublime intelaiatura che dai numeri nati per contare, si giunge ad aspetti sempre più astratti ma al tempo stesso unificanti e potenti. Si può trarre giovamento dalla lettura dei percorsi che integrano algebra e geometria, laddove l’algebra giunge a soccorso della geometria per provare l’impossibilità ad effettuare alcune costruzioni geometriche di rilievo storico. Cosı̀ come si apprezzerà con sorpresa il fatto di non poter disporre di una ‘formula’ per risolvere equazioni di grado superiore al quarto, non per limiti umani, ma perchè tale non esistenza è conseguenza della teoria. Sono risultati di impossibilità di per sè di grande impatto epistemologico in un mondo, quello matematico, in cui tutto pare possibile se coerente. Si riscopriranno, inoltre, risultati ormai sedimentati dall’insegnamento, come la regola dei segni o le familiari proprietà operazionali tra numeri, che non sono nè ovvi, nè tanto meno sempre garantiti, nel senso che sono solo conseguenza di un impianto assiomatico dichiarato ma non assoluto. La creatività del matematico che ipotizza nuovi sistemi ipotetici, unita alla necessità del rigore, si esprime nella realizzazione di sistemi matematici astratti in cui le consuete proprietà (commutatività, corrispondenza tra grado dell’equazione e numero di soluzioni....) non saranno più valide. L’importanza dell’evoluzione storica dei concetti matematici e la rilevanza del passaggio da strutture corrispondenti alla realtà fenomenica ad ambienti astratti, di cui si chiede solo la coerenza, sono rese evidenti dalla scoperta (o invenzione?) delle geometrie non euclidee, di cui si parla sinteticamente in un capitolo apposito. 1 I.Calvino Una pietra sopra, Saggi 1945-1985, Mondadori Milano 1995, [45]. 7 8 6 Introduzione Introduzione Alcune citazioni sono tratte dalle opere di autori, come Musil, Calvino, Zweig, Perec. Si tratta di letture che possono permettere di alzare talvolta lo sguardo dal particolare dei passaggi tecnici delle dimostrazioni, volgendolo verso un pensiero filosofico generale alla ricerca del sapere, in un percorso non privo di contraddizioni, evitate invece con cura dalle scienze esatte. La ricca bibliografia permette di approfondire i vari temi, trattati spesso solo sinteticamente. Capitolo 1 Gli insiemi numerici fondamentali Consideriamo gli insiemi numerici, indicandoli con: N Insieme dei numeri naturali Z Insieme dei numeri interi Q Insieme dei numeri razionali R Insieme dei numeri reali C Insieme dei numeri complessi Tali insiemi sono inoltre dotati di operazioni interne o leggi di composizione, come somma e prodotto. Cosa si intende per operazioni interne? Si tratta di funzioni che operano nel seguente modo: detto A l’insieme considerato, sia A × A il prodotto cartesiano, ossia A × A = {(a, b)/a, b ∈ A} Un’operazione interna è dunque una funzione ϕ : A × A −→ A Ossia, tale funzione associa ad una generica coppia di valori, presi nell’insieme di partenza, uno ed un solo valore dello stesso insieme. L’insieme dei numeri naturali1 è dato da N := {0, 1, 2, . . .} è un insieme infinito, discreto, dove ogni elemento ammette il successivo. ∀a ∈ N =⇒ ∃a ∈ N a = a + 1 In tale insieme esistono due operazioni interne dette somma + e prodotto ×. Attraverso il prodotto si può parlare di divisibilità tra due numeri naturali. 1 Si veda in Appendice A per una breve introduzione ai numeri naturali. 9 10 8 Algebra e geometria Gli insiemi numerici fondamentali Definizione 1. Un numero naturale a è divisibile per un numero naturale b, diverso da 0, se esiste un numero naturale c tale che a = b · c. Da questa definizione si ricava il concetto di numero naturale primo: Definizione 2. Un numero naturale p si dice primo se avendo p = a·b con a, b ∈ N si ha che a può essere solo 1 o p e il fattore b può essere solo rispettivamente p o 1. Il risultato più importante per i numeri naturali è il seguente: Teorema 1 (fondamentale dell’aritmetica). Ogni numero naturale si può esprimere come prodotto di fattori primi in un unico modo, a meno dell’ordine dei fattori. Per la dimostrazione dell’esistenza si può consultare [58, pag.26] oppure [6], mentre per l’unicità è utile [21, pag.17]. I numeri primi costituiscono uno degli ambiti numerici più attraenti e al tempo stesso più misteriosi della teoria dei numeri. La loro distribuzione appare casuale e ancora oggi non si è riusciti ad individuarne una possibile regolarità. Nonostante ciò, uno dei teoremi più profondi della matematica fu dimostrato nel terzo secolo a.C. da Euclide ([29]) ed afferma che i numeri primi sono infiniti. Nell’antica Grecia il concetto di infinito costituiva un argomento di grande difficoltà se non di rifiuto, basti pensare che tutte le relazioni matematiche che avevano a che fare con l’infinito si rapportavano con una forma di infinito potenziale, come è indicato negli stessi postulati della geometria euclidea, riportati nel capitolo 12. Teorema 2 (sull’infinità dei numeri primi, proposizione 20 del Libro IX degli Elementi di Euclide). I numeri primi sono infiniti. Dimostrazione. Il teorema viene enunciato originariamente cosı̀: Esistono sempre numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre. Supponiamo, per assurdo, che i numeri primi siano finiti e siano tutti in questa lista: {p1 , p2 , p3 , ..., pn } In tal caso, si consideri il nuovo numero, più grande di tutti i numeri dell’elenco: q = p 1 · p 2 · p 3 · · · pn + 1 Come è questo numero? Se è primo, avrei una contraddizione con l’ipotesi che i numeri primi sono tutti e soli quelli in elenco. Se non fosse primo, allora per il teorema precedente si dovrebbe scrivere come prodotto di almeno due fattori primi, che, dovendo essere appartenenti all’elenco, saranno del tipo pi , pj . Dunque, si avrebbe: q = p1 · p2 · p3 · · · pn + 1 = pi · pj Questo è di nuovo assurdo perchè avrei che, ad esempio, pi è divisore di q ed è al tempo stesso non divisore di q dato che darebbe resto 1 nella divisione di q per pi . Quindi, preso un qualsiasi insieme finito di numeri primi, è sempre possibile costruire un nuovo numero che è o un nuovo numero primo o è un numero che ha tra i suoi divisori un nuovo numero primo. i. Gli insiemi numerici fondamentali 11 9 Si tratta di una dimostrazione per assurdo, e la reductio ad absurdum, tanto amata da Euclide, è una delle più belle armi di un matematico. Come affermò G.H.Hardy (1887-1966): è un gambetto molto più raffinato di quasiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio un pedone o qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita, [37]. Riprendiamo ora la costruzione degli insiemi numerici. La differenza e il quoziente non sono operazioni interne in N, in quanto sottraendo o dividendo due numeri naturali, in generale non si ottengono numeri naturali. Per la sottrazione, l’impossibilità è data dal fatto che N è inferiormente limitato. Anticipando quanto vedremo in seguito, le seguenti equazioni sono in generale impossibili in N: a + x = b se b < a a · x = b se b non è multiplo di a L’insieme dei numeri interi Z si può introdurre come l’insieme quoziente Z := N × N/R dove R è una relazione di equivalenza2 definita nel seguente modo (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c In base a tale definizione, il prodotto cartesiano N × N viene suddiviso in classi ognuna delle quali viene chiamata numero intero relativo. In generale la classe (a, b) contiene tutte le coppie di numeri naturali che forniscono la stessa differenza ordinata tra il primo elemento della coppia e il secondo. Usualmente si assocerà alla classe (a, b) il numero naturale a − b se a > b altrimenti si assocerà il nuovo numero −(b − a) se b > a Nel caso in cui a = b la classe (a, b) conterrà tutte le coppie con elementi tra loro uguali, ad essa si assocerà l’elemento 0. A titolo di esempio, alla classe (0, 1) = {(a, b)/(a, b)R(0, 1)} = {(a, a + 1)} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3) . . .} faremo corrispondere il numero: -1. Mentre alla classe: (1, 0) = {(a, b)/(a, b)R(1, 0)} = {(b + 1, b)} = {(1, 0), (2, 1), (3, 2) . . .} faremo corrispondere il numero: +1. In questo modo, l’insieme dei numeri interi relativi si indica usualmente cosı̀: Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} Si noti che tale insieme, a differenza di N, è inferiormente illimitato. 2 Per relazione di equivalenza si intende una relazione tra gli elementi di un insieme che sia riflessiva, simmetrica e transitiva. 12 Algebra e geometria 10 Gli insiemi numerici fondamentali In tale insieme si definiscono le operazioni: +e× (somma e prodotto) entrambe commutative ed associative. proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. La somma e il prodotto sono cosı̀ definiti: Vale inoltre la (a, b) + (a , b ) := (a + a , b + b ) (a, b) × (a , b ) := (aa + bb , ab + a b) Tali definizioni formalizzano la consueta somma e prodotto tra numeri relativi: (a − b) + (a − b ) = a + a − (b + b ) (a − b) × (a − b ) = (aa + bb ) − (ab + a b) Le definizioni suddette soddisfano la condizione fondamentale di non dipendere dal particolare rappresentante della classe di equivalenza considerato. Il vantaggio, rispetto all’insieme dei numeri naturali, è che in Z ogni elemento ammette il suo opposto, cioè: ∀a ∈ Z ∃x ∈ Z tale che a + x = 0 Quindi ogni equazione di primo grado del tipo: a+x=b a, b ∈ Z ammette soluzione in Z e tale unica soluzione è data da x = b − a. N e Z sono insiemi discreti, in quanto ogni elemento ammette il suo successivo 3 , e tra due elementi consecutivi di questi due insiemi non vi è alcun elemento intermedio. In Z non è ancora possibile risolvere equazioni del tipo: a · x = b se b non è multiplo di a Ora, è immediato comprendere che le equazioni del tipo a · x = b con a = 0 e b = 0 non abbiano soluzioni, poichè qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0; si vuole però che questa sia l’unica eccezione. Per poter risolvere anche equazioni del tipo: a·x=b a = ±1 a = 0 è necessario estendere l’insieme Z con l’introduzione dei numeri razionali. Usualmente si indica con p tale che p, q ∈ Z, q = 0 Q := q In modo più formale anche Q si può definire come insieme quoziente a partire dal prodotto cartesiano su Z: Z × Z∗ = {(a, b) tale che a, b ∈ Z b = 0} 3 ∀a ∈ Z ⇒ ∃a = a + 1 ∈ Z i. Gli insiemi numerici fondamentali 13 11 Si pone in questo insieme la seguente relazione di equivalenza: (a, b)R(c, d) ⇐⇒ a · d = b · c Si indica con ab la classe di equivalenza della coppia (a, b), essa contiene tutte le coppie di numeri interi relativi che forniscono lo stesso quoziente tra il primo elemento della coppia e il secondo. La classe di equivalenza cosı̀ costruita si chiama frazione. L’insieme dei numeri razionali è dunque: Q := Z × Z∗ /R Se in dettaglio vogliamo analizzare una classe di equivalenza, ad esempio: (1, 2) = {(a, b) tale che b = 2a} = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (−1, −2) . . .} Tale classe rappresenta la frazione 12 comprendendo tutte le frazioni equivalenti ad essa. In tale insieme ritroviamo certamente anche l’insieme Z: basta infatti considerare le classi (a, 1) corrispondenti alle frazioni a1 che sono in corrispondenza biunivoca con Z. La somma e il prodotto sono definiti nel seguente modo: (a, b) + (a , b ) := (ab + a b, bb ) (a, b) · (a , b ) := (aa , bb ) Tali definizioni formalizzano la consueta somma e prodotto tra numeri razionali: a ab + a b a + = b b bb aa a a · = b b bb Le definizioni sopra indicate hanno il pregio, oltre alla necessità, di fornire lo stesso risultato cambiando rappresentante della classe di equivalenza considerato: ad esempio, 12 = 24 e 23 = 69 ; ebbene, se facciamo: 2 7 1 + = 2 3 6 Cambiando rappresentanti, ed usando la definizione di somma, si ha: 6 42 2 + = 4 9 36 I due risultati sono uguali, sono cioè la stessa classe di equivalenza, dato che 7 42 6 = 36 . In Q, oltre a valere le proprietà operazionali di Z, si ha che ogni elemento diverso da 0 ammette l’inverso: infatti, se si considera (a, b) ∈ Q con a = 0, si prova che ∃(x, y) ∈ Q tale che (a, b) · (x, y) = 1 = (n, n) 14 Algebra e geometria 12 Gli insiemi numerici fondamentali In questo modo, anche ogni equazione algebrica di primo grado è risolvibile: a·x=b ammette soluzione data da x= a = 0 b a I numeri razionali possono essere rappresentati sotto forma di insiemi di frazioni tra loro equivalenti, ma anche attraverso il risultato della divisione, espressa dalla stessa frazione, tra due numeri interi (il numeratore e il denominatore). In tal caso, se si dividono tra loro due numeri naturali a e b, si può ottenere o un numero decimale finito, se il resto è nullo, o un numero periodico, se non si ottiene mai resto nullo. Il resto della divisione, infatti, dovendo essere minore del divisore b, ha solo b possibilità: 0, 1, · · · , b − 1 e quindi, se non si ottiene resto nullo, dopo al più b − 1 resti, si otterrà un resto già ricavato precedentemente e da qui la sequenza delle cifre del quoziente si ripeterà, con un periodo che al massimo conterrà b − 1 cifre. Ciò non dipende dalla particolare base di rappresentazione dei numeri scelta. La base di rappresentazione, invece, interviene determinando se il numero che esprime il quoziente tra i due numeri dati è decimale finito o se è periodico. Ad esempio, 1/3 = 0, 33333 . . . in base dieci, mentre 1/3 = 0, 2 in base sei, cosı̀ come 1/5 = 0, 2 in base dieci, mentre 1/5 = 0, 111 . . . in base sei. Si ricordi, a proposito, i criteri che stabiliscono quando una frazione del tipo a/b presenta una rappresentazione decimale finita o periodica: tali regole dipendono fortemente dalla base di rappresentazione. E’interessante stabilire quando una divisione produce un numero decimale periodico di periodo massimo, come ad esempio: 1/7 che ha un periodo in base dieci formato da sei cifre, oppure 1/1949 che ha un periodo di ben 1948 cifre (ossia dopo 1948 divisioni si riproduce lo stesso resto e quindi la stessa sequenza di cifre nel quoziente), [18]. Come si fa ad effettuare tale verifica? I computer restituiscono sempre in uscita numeri decimali finiti. Occorre un programma che traduca l’algoritmo di divisione ripetendo la divisione tante volte fino a quando non riappare nel resto un numero già ricavato. In Appendice F è riportato un programma che effettua tale procedura. A differenza dell’insieme dei numeri relativi, Q non è discreto, poichè tra due suoi elementi qualsiasi esiste sempre un numero razionale compreso: considerati, infatti, pq e rs ∈ Q, basta prendere la loro media aritmetica per avere un numero razionale compreso tra i due numeri razionali fissati. Esistono, anzi, infiniti numeri razionali compresi tra due numeri razionali fissati. Tale proprietà si esprime dicendo che Q è un insieme denso. In Q, cosı̀ come nei suoi sottoinsiemi numerici prima definiti, si introduce anche una relazione di ordinamento4 definita nel seguente modo: a < b ⇐⇒ ∃c ∈ Q+ tale che b = c + a 4 Ossia una relazione < che goda delle proprietà irriflessiva, antisimmetrica e transitiva, come verrà aprofondito in un prossimo paragrafo. i. Gli insiemi numerici fondamentali 15 13 Ricapitolando, a partire da N si sono costruite successive sue estensioni: N⊂Z⊂Q fino ad arrivare ad un insieme in cui ogni equazione di primo grado5 a coefficienti in Q risulta risolubile; ciò si verifica perchè rispetto alla somma e al prodotto l’insieme Q possiede l’opposto −a e l’inverso a1 con a = 0. Si potrà dire, con una denominazione che diverrà più chiara in seguito, che Q è un corpo ordinato. Inoltre, si può affermare che Q è chiuso algebricamente, per quanto riguarda le equazioni lineari: essendo risolvibili in tale insieme tutte le equazioni di primo grado non degeneri.Nonostante le sue numerose proprietà , il corpo ordinato Q deve essere ancora esteso a qualche insieme più grande e più ricco. Infatti Q non è completo, ossia non è possibile porre in corrispondenza biunivoca tutti i punti della retta euclidea con i numeri razionali. Tale limitazione è legata alla incommensurabilità di alcune grandezze geometriche, problema messo drammaticamente in evidenza dalla scuola pitagorica (V sec. a.C.). Sia, infatti, un quadrato di lato unitario; si vuole esprimere la lunghezza della diagonale come multiplo di un sottomultiplo del lato. Questa volontà era coerente con l’impostazione pitagorica di ricavare le misure di tutte le grandezze come rapporti tra numeri interi. Se la diagonale d di un quadrato di lato unitario fosse multipla di un sottomultiplo del lato, allora d= m con m, n numeri interi, con M CD(m, n) = 1 n cioè m e n sono primi tra di loro. Per il teorema di Pitagora (offrı̀ in questo modo inconsapevolmente la fine della sua stessa scuola!), si ha: d2 = 1 + 1 = 2 Quindi devono esistere due numeri interi m, n tali che: m2 = 2 =⇒ m2 = 2n2 n2 Da questa relazione si ha che m2 è pari, da cui m deve essere pari, perchè il quadrato di un numero dispari è dispari. Dunque m = 2a e sostituendo tale espressione in m2 = 2n2 , si ha: 4a2 = 2n2 =⇒ n2 = 2a2 =⇒ n2 è pari =⇒ n è pari Quanto ricavato è in contraddizione con l’ipotesi che m e n siano primi tra di loro. Si noti che anche in questa dimostrazione si è usata la ‘reductio ad absurdum’ impiegata per dimostrare che i numeri primi sono infiniti. Non esistono 2 2 quindi m, n ∈ N tali che m n2 = 2. L’equazione x = 2 è perciò impossibile in Q. Conseguenza immediata di quanto affermato è che, se consideriamo la retta euclidea, non esiste alcun numero razionale che corrisponde al punto P della retta, che ha una distanza dall’origine uguale alla lunghezza del segmento congruente con la diagonale del quadrato di lato unitario. Molte proprietà geometriche fondamentali non sarebbero vere in un ambiente contenente esclusivamente 5 Non degenere, cioè con coefficiente dell’indeterminata diverso da zero. 16 Algebra e geometria 14 Gli insiemi numerici fondamentali i numeri razionali: ad esempio, una retta avente punti interni ed esterni ad una circonferenza fissata potrebbe non intersecarla. Nel piano cartesiano Q × Q, la circonferenza di equazione x2 + y 2 = 1 e la retta di equazione y = x, passante per il centro della circonferenza, avrebbero intersezione vuota in tale piano a coordinate razionali. Come del resto molti teoremi dell’analisi delle funzioni reali valgono proprio grazie alle proprietà di R, come il teorema degli zeri che afferma che una funzione continua su un intervallo [a, b], che assume valori discordi agli estremi, allora si annulla almeno in un valore interno all’intervallo. Si pensi alla funzione y = x2 − 2 nell’intervallo [0, 2] ∩ Q. Essa è continua, y(0) < 0, y(2) > 0, ma, se rimaniamo confinati nel piano cartesiano razionale, rappresentativo di Q × Q, non esiste alcun valore dell’intervallo dato in cui la funzione si annulla, poichè si annulla in un numero irrazionale. Nasce cosı̀ l’insieme R dei numeri reali, che contiene i numeri razionali e i numeri irrazionali, cioè i numeri che non si ottengono da un quoziente tra numeri interi. Tale insieme si può introdurre tramite i seguenti assiomi: Assioma 1 (di continuità di Cantor). Dati due qualsiasi sottoinsiemi di R non vuoti, separati e convergenti, allora esiste in R l’elemento di separazione di questi due sottoinsiemi. Tradotto simbolicamente vuol dire: Se ∀A, B ⊆ R, A = ∅, B = ∅ tali che • ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ a ≤ b(separazione di A e B ); • ∀ ∈ R, > 0, ∃a ∈ A ∧ ∃b ∈ B tali che b − a < (convergenza di A e B : gli elementi di A e B sono arbitrariamente vicini tra di loro); allora ∃c ∈ R tale che a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A ∧ ∀b ∈ B (c è detto elemento di separazione tra A e B). Un altro modo per introdurre la continuità in R è dato dal seguente assioma: Assioma 2 (di continuità di Dedekind). Dati due qualsiasi sottoinsiemi di R non vuoti, esaustivi, disgiunti e separati, allora esiste in R l’elemento di separazione di questi due sottoinsiemi. Tradotto simbolicamente vuol dire: Se ∀A, B ⊆ R, A = ∅, B = ∅ tali che • A ∪ B = R (insiemi esaustivi ) • A ∩ B = ∅ (insiemi disgiunti ) • ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ a ≤ b (insiemi separati ) allora ∃c ∈ R tale che a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A ∧ ∀b ∈ B (c è ancora detto elemento di separazione tra A e B ). i. Gli insiemi numerici fondamentali 17 15 Tali assiomi non valgono nell’insieme dei numeri razionali; infatti, se consideriamo: A = {x ∈ Q/x ≤ 0 ∪ (x > 0 ∧ x2 < 2)} B = {x ∈ Q/x > 0 ∧ x2 > 2)} Si verifica facilmente che tali sottoinsiemi razionali sono esaustivi, disgiunti e separati, ma non possiedono all’interno di Q l’elemento di separazione, perchè se cosı̀ fosse, allora tale elemento dovrebbe essere un numero razionale il cui quadrato sia 2. Ma abbiamo verificato che l’equazione x2 = 2 è impossibile in Q. Quindi non si verifica in Q l’assioma di Dedekind. Ecco come Richard Dedekind (1831-1916) introdusse nel 1872 con efficacia il suo postulato, dove si respira la forza creatrice del pensiero matematico, [23]: ‘Ogni volta che è data una sezione (A1 , A2 ) che non sia determinata da alcun numero razionale, noi creiamo un nuovo numero, un numero irrazionale α, che noi consideriamo come completamente definito da questa sezione; noi diremo che il numero α corrisponde a questa sezione o che la determina’ L’insieme dei numeri reali R è definito come il corpo ordinato in cui si verifica uno degli assiomi di continuità. L’elemento di separazione √ dei due insiemi precedenti A e B esiste in R e viene indicato con il simbolo: 2 R può quindi essere visto come l’unione dei numeri razionali e degli elementi di separazione di sottoinsiemi esaustivi, separati e disgiunti di numeri razionali che non possiedono in Q l’elemento di separazione: questi altri elementi sono chiamati numeri irrazionali. Per cogliere la genesi storica dell’introduzione (definizione) dei numeri irrazionali come elementi di separazione tra classi di numeri razionali, o come limiti di successioni di razionali, si vedano i recenti testi [14, 46]. √ Il numero 2 è pertanto irrazionale. √ generalizzare anche per proLa dimostrazione dell’irrazionalità di 2 si può √ vare l’irrazionalità di altri numeri, come ad esempio a dove a non è un quadrato perfetto. A tale scopo, occorre utilizzare il teorema fondamentale dell’aritmetica (teo.1). Si osservi che l’insieme dei numeri irrazionali non è chiuso rispetto alla somma o al prodotto; sommando o moltiplicando numeri irrazionali, infatti, non è detto che si ottengano sempre numeri irrazionali: √ √ √ √ 2 + (− 2) = 0 ∈ Q 10 · 10 = 10 ∈ Q √ √ 2+3 · 2 − 3 = −7 √ √ 2+3 + − 2+3 =6 Mentre, ad esempio, 3· √ 2∈ /Q Sommando un numero razionale con un numero irrazionale, si ottiene sempre un numero irrazionale (dimostrarlo per esercizio), quindi, ad esempio: √ √ 2+3 e 2−3∈ /Q 18 Algebra e geometria 16 Gli insiemi numerici fondamentali √ Altre dimostrazioni dell’irrazionalità di 2, come anche approfondimenti sui numeri irrazionali sono rinvenibili nel testo [56]. Un interessante e sorprendente esempio su come i numeri irrazionali possano generare numeri naturali addirittura in una successione infinita è dato in Appendice D, dove si introduce la successione di Fibonacci. I due assiomi di continuità sono equivalenti? Non del tutto. Si può dimostrare che se in un corpo ordinato vale l’assioma di Dedekind, allora vale l’assioma di Cantor, mentre non è vero il viceversa. L’equivalenza tra i due assiomi si verifica se nel corpo ordinato vale anche il cosiddetto assioma di Archimede, che prende spunto dal confronto tra due segmenti per i quali si può sempre considerare un multiplo del segmento più piccolo che supera l’altro: Assioma 3 (di Archimede). In un insieme ordinato U dotato di un operazione interna +, considerati due elementi qualsiasi a,b, con b > 0, esiste sempre un multiplo di b che supera a. Formalmente: n volte ∀a, b ∈ U b > 0, ∃n ∈ N tale che b + b + b + · · · > a In tutti gli insiemi numerici analizzati finora vale l’assioma di Archimede. Il prossimo teorema esprime l’equivalenza tra i due assiomi: Teorema 1. In un campo ordinato si verifica l’assioma di Dedekind se e solo se valgono l’assioma di Cantor e l’assioma di Archimede. Una dimostrazione elementare è rinvenibile in [3]. L’assioma di Dedekind è quindi più potente dell’assioma di Cantor. Definizione 3. Un corpo ordinato si dice continuo o completo se in esso si verifica l’assioma di Dedekind. Q non è completo, mentre R è un campo ordinato e continuo (o completo). Un altro modo per assiomatizzare la continuità di R, equivalente al postulato di Dedekind, è quello di imporre che ogni suo sottoinsieme non vuoto limitato superiormente ammetta l’estremo superiore. Definizione 4. Un sottoinsieme A, di un insieme U dotato di una relazione d’ordine, è detto limitato superiormente, se esiste almeno un elemento x ∈ U ∧x∈ / A tale che x > a, ∀a ∈ A. L’estremo superiore di un insieme A è un elemento λ che è maggiore di ogni elemento di A, ma che è il minimo tra tutti gli elementi che sono più grandi di A, ossia, tale per cui, se scendiamo al di sotto di λ di una quantità arbitrariamente piccola, cadiamo dentro l’insieme A, formalmente: i. Gli insiemi numerici fondamentali 19 17 Definizione 5. λ = sup(A) se • λ ≥ a, ∀a ∈ A; • ∀ ∈ U, > 0, ∃a ∈ A, tale che a > λ − Non è detto che l’estremo superiore appartenga all’insieme di cui è estremo; se ciò accade, si afferma che λ = massimo di A. Assioma 4 (di completezza). In R ogni sottoinsieme non vuoto, limitato superiormente, possiede l’estremo superiore. Si prova che se vale tale assioma, è vero anche che ogni insieme non vuoto limitato inferiormente possiede estremo inferiore, cioè un elemento minore di ogni elemento dell’insieme, ma che è il più grande degli elementi minori; dove per definizione generale di estremo inferiore si ha: Definizione 6. µ = inf (A) se • µ ≤ a, ∀a ∈ A; • ∀ ∈ U, > 0, ∃a ∈ A, tale che a < µ + Se poi µ ∈ A allora si dice che µ = minimo di A. Si dimostra che l’assioma di completezza, come sopra formulato, è equivalente all’assioma di Dedekind ed implica quindi conseguentemente l’assioma di Archimede, [16, 46]. In Q non vale ovviamente tale assioma: preso, ad esempio A = x ∈ Q/x ≤ 0 ∪ (x > 0 ∧ x2 < 2) esso è un insieme limitato superiormente (basta, ad esempio, considerare il numero 3 che è maggiore di ogni elemento di A) ma non possiede l’estremo superiore, in quanto esso non può che essere quel numero il cui quadrato è uguale a 2, ma abbiamo dimostrato che tale numero non è razionale. Trasponendo tali concetti numerici all’ambito geometrico, si può osservare che nella geometria elementare euclidea la continuità della retta, ossia il fatto di non avere ‘buchi’, è un concetto molto moderno ed è assente negli Elementi di Euclide. In molti teoremi, infatti, la presunta completezza della linea geometrica viene data per scontata, senza bisogno di porre un postulato per garantirla. Si pensi al primo teorema dell’opera euclidea: ‘Su un segmento assegnato si può costruire un triangolo equilatero’. Per la dimostrazione di tale teorema, si realizza una costruzione di due circonferenze aventi come centri gli estremi del segmento, base del triangolo equilatero, e raggi congruenti al segmento stesso. Tali circonferenze si pone che si intersechino in un punto che si dimostra essere il terzo vertice del triangolo equilatero: chi ci garantisce però che tale punto esista? 20 18 Algebra e geometria Gli insiemi numerici fondamentali Non basta il disegno, ovviamente. L’intersezione è garantita dalla continuità delle linee, o meglio da un assioma di completezza, o di continuità, che verrà enunciato da David Hilbert nel 1899 nella sua opera [40], ed è l’equivalente dell’assioma di Dedekind per il corpo dei numeri reali. Hilbert per la continuità introdusse una coppia di assiomi, uno è l’assioma di Archimede per i segmenti, l’altro è un’assioma di completezza equivalente all’assioma di Cantor: Assioma 5 (di continuità di Hilbert). 1. Assioma archimedeo: Se AB e CD sono due segmenti qualsiasi, c’è un numero n, tale che il trasporto del segmento CD reiterato n volte da A sulla semiretta passante per B, porta al di là del punto B. 2. Assioma di completezza lineare: Il sistema dei punti di una retta con le sue relazioni di ordinamento e congruenza non è suscettibile di un ampliamento per il quale rimangono inalterate le relazioni sussistenti tra gli elementi precedenti come pure le proprietà fondamentali di ordinamento lineare e congruenza che seguono dagli assiomi di incidenza, ordine, congruenza e parallelismo.
