Algebra e geometria

A
Francesco Bertolini
Algebra e geometria
Una storia comune
Copyright © MMXV
Aracne editrice int.le S.r.l.
www.aracneeditrice.it
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via Quarto Negroni, 
 Ariccia (RM)
() 
 ----
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senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: luglio 
Indice
Introduzione
7
1 Gli insiemi numerici fondamentali
9
2 Quanti sono i numeri? Gli infiniti si possono confrontare
21
3 Nozioni di algebra astratta
3.1 Le strutture algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Relazioni d’ordine ed anelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
33
4 Le matrici
43
5 I polinomi
49
6 Le equazioni algebriche
6.1 Premessa . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Le funzioni simmetriche . . . . . . . . .
6.3 Risoluzione dell’equazione di terzo grado
6.4 Le equazioni di quarto grado . . . . . .
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59
59
61
62
63
7 I numeri complessi
65
7.1 Come sono nati? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.2 I numeri complessi e la loro rappresentazione . . . . . . . . . . . 66
8 I quaternioni
71
9 Risolubilità per radicali delle equazioni algebriche
79
10 I numeri algebrici e i numeri trascendenti
83
11 Le costruzioni con riga e compasso
11.1 Le costruzioni impossibili . . . . .
11.1.1 La duplicazione del cubo . .
11.1.2 La trisezione dell’angolo . .
11.1.3 La quadratura del cerchio .
11.1.4 Il poligono regolare inscritto
. . . .
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in una
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circonferenza
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Indice
4
INDICE
12 Le geometrie non euclidee
12.1 Introduzione metodologica alla geometria euclidea e alle geometrie non euclidee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1.1 Le definizioni, i postulati e le nozioni comuni . . . . . . .
12.2 Il quinto postulato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3 I teoremi della geometria assoluta (indipendenti dal V postulato)
contenuti nel I Libro degli Elementi . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4 I teoremi contenuti nel I Libro degli Elementi che dipendono dal
quinto postulato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
Appendice
111
A I numeri naturali
111
B La serie geometrica
113
C L’unità immaginaria conduce alle soluzioni reali
115
D Numeri irrazionali che conducono a numeri naturali: la
successione di Fibonacci
117
E La misura geometrica di π
119
F Algoritmo di divisione estesa tra due numeri naturali
123
G La dimostrazione dell’irrazionalità di e
125
H L’identità di Eulero
127
Bibliografia
131
101
102
108
108
110
Introduzione
In questo saggio sono affrontati alcuni risultati fondamentali di algebra, con un
approccio fondativo, utile per cogliere le proprietà di base degli insiemi numerici
consueti. Si trattano poi aspetti geometrici, legati all’applicazione di strumenti
algebrici per la risoluzione di problemi classici dell’antichità.
’L’atteggiamento scientifico e quello poetico coincidono: entrambi sono atteggiamenti insieme di ricerca e di progettazione, di scoperta e di invenzione’ 1
cosı̀ come affermò Italio Calvino che colse sinteticamente il potere immaginifico
della matematica, quale si dipana da un’analisi solo apparentemente sterile e
tecnica.
Come disse Kronecker, Dio ha fatto i numeri naturali, tutto il resto è opera
dell’uomo. In realtà, anche i numeri naturali sono costruiti dall’uomo; analizzando la realtà e cogliendone gli aspetti strutturali, si riesce, infatti, a costruire
una sublime intelaiatura che dai numeri nati per contare, si giunge ad aspetti
sempre più astratti ma al tempo stesso unificanti e potenti.
Si può trarre giovamento dalla lettura dei percorsi che integrano algebra
e geometria, laddove l’algebra giunge a soccorso della geometria per provare
l’impossibilità ad effettuare alcune costruzioni geometriche di rilievo storico.
Cosı̀ come si apprezzerà con sorpresa il fatto di non poter disporre di una
‘formula’ per risolvere equazioni di grado superiore al quarto, non per limiti
umani, ma perchè tale non esistenza è conseguenza della teoria. Sono risultati
di impossibilità di per sè di grande impatto epistemologico in un mondo, quello
matematico, in cui tutto pare possibile se coerente.
Si riscopriranno, inoltre, risultati ormai sedimentati dall’insegnamento, come
la regola dei segni o le familiari proprietà operazionali tra numeri, che non sono
nè ovvi, nè tanto meno sempre garantiti, nel senso che sono solo conseguenza di
un impianto assiomatico dichiarato ma non assoluto.
La creatività del matematico che ipotizza nuovi sistemi ipotetici, unita alla
necessità del rigore, si esprime nella realizzazione di sistemi matematici astratti
in cui le consuete proprietà (commutatività, corrispondenza tra grado dell’equazione e numero di soluzioni....) non saranno più valide.
L’importanza dell’evoluzione storica dei concetti matematici e la rilevanza
del passaggio da strutture corrispondenti alla realtà fenomenica ad ambienti
astratti, di cui si chiede solo la coerenza, sono rese evidenti dalla scoperta (o
invenzione?) delle geometrie non euclidee, di cui si parla sinteticamente in un
capitolo apposito.
1 I.Calvino
Una pietra sopra, Saggi 1945-1985, Mondadori Milano 1995, [45].
7
8
6
Introduzione
Introduzione
Alcune citazioni sono tratte dalle opere di autori, come Musil, Calvino,
Zweig, Perec. Si tratta di letture che possono permettere di alzare talvolta
lo sguardo dal particolare dei passaggi tecnici delle dimostrazioni, volgendolo
verso un pensiero filosofico generale alla ricerca del sapere, in un percorso non
privo di contraddizioni, evitate invece con cura dalle scienze esatte.
La ricca bibliografia permette di approfondire i vari temi, trattati spesso solo
sinteticamente.
Capitolo 1
Gli insiemi numerici
fondamentali
Consideriamo gli insiemi numerici, indicandoli con:
N Insieme dei numeri naturali
Z Insieme dei numeri interi
Q Insieme dei numeri razionali
R Insieme dei numeri reali
C Insieme dei numeri complessi
Tali insiemi sono inoltre dotati di operazioni interne o leggi di composizione,
come somma e prodotto. Cosa si intende per operazioni interne? Si tratta di
funzioni che operano nel seguente modo:
detto A l’insieme considerato, sia A × A il prodotto cartesiano, ossia
A × A = {(a, b)/a, b ∈ A}
Un’operazione interna è dunque una funzione
ϕ : A × A −→ A
Ossia, tale funzione associa ad una generica coppia di valori, presi nell’insieme
di partenza, uno ed un solo valore dello stesso insieme.
L’insieme dei numeri naturali1 è dato da
N := {0, 1, 2, . . .}
è un insieme infinito, discreto, dove ogni elemento ammette il successivo.
∀a ∈ N =⇒ ∃a ∈ N a = a + 1
In tale insieme esistono due operazioni interne dette somma + e prodotto ×.
Attraverso il prodotto si può parlare di divisibilità tra due numeri naturali.
1 Si
veda in Appendice A per una breve introduzione ai numeri naturali.
9
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8
Algebra e geometria
Gli insiemi numerici fondamentali
Definizione 1. Un numero naturale a è divisibile per un numero naturale b,
diverso da 0, se esiste un numero naturale c tale che a = b · c.
Da questa definizione si ricava il concetto di numero naturale primo:
Definizione 2. Un numero naturale p si dice primo se avendo p = a·b con a, b ∈
N si ha che a può essere solo 1 o p e il fattore b può essere solo rispettivamente
p o 1.
Il risultato più importante per i numeri naturali è il seguente:
Teorema 1 (fondamentale dell’aritmetica). Ogni numero naturale si può esprimere come prodotto di fattori primi in un unico modo, a meno dell’ordine dei
fattori.
Per la dimostrazione dell’esistenza si può consultare [58, pag.26] oppure [6],
mentre per l’unicità è utile [21, pag.17].
I numeri primi costituiscono uno degli ambiti numerici più attraenti e al
tempo stesso più misteriosi della teoria dei numeri.
La loro distribuzione appare casuale e ancora oggi non si è riusciti ad individuarne una possibile regolarità. Nonostante ciò, uno dei teoremi più profondi
della matematica fu dimostrato nel terzo secolo a.C. da Euclide ([29]) ed afferma
che i numeri primi sono infiniti.
Nell’antica Grecia il concetto di infinito costituiva un argomento di grande
difficoltà se non di rifiuto, basti pensare che tutte le relazioni matematiche che
avevano a che fare con l’infinito si rapportavano con una forma di infinito potenziale, come è indicato negli stessi postulati della geometria euclidea, riportati
nel capitolo 12.
Teorema 2 (sull’infinità dei numeri primi, proposizione 20 del Libro IX degli
Elementi di Euclide). I numeri primi sono infiniti.
Dimostrazione. Il teorema viene enunciato originariamente cosı̀: Esistono sempre numeri primi in numero maggiore di quanti numeri primi si voglia proporre.
Supponiamo, per assurdo, che i numeri primi siano finiti e siano tutti in
questa lista:
{p1 , p2 , p3 , ..., pn }
In tal caso, si consideri il nuovo numero, più grande di tutti i numeri dell’elenco:
q = p 1 · p 2 · p 3 · · · pn + 1
Come è questo numero? Se è primo, avrei una contraddizione con l’ipotesi che
i numeri primi sono tutti e soli quelli in elenco. Se non fosse primo, allora
per il teorema precedente si dovrebbe scrivere come prodotto di almeno due
fattori primi, che, dovendo essere appartenenti all’elenco, saranno del tipo pi , pj .
Dunque, si avrebbe:
q = p1 · p2 · p3 · · · pn + 1 = pi · pj
Questo è di nuovo assurdo perchè avrei che, ad esempio, pi è divisore di q ed è al
tempo stesso non divisore di q dato che darebbe resto 1 nella divisione di q per
pi . Quindi, preso un qualsiasi insieme finito di numeri primi, è sempre possibile
costruire un nuovo numero che è o un nuovo numero primo o è un numero che
ha tra i suoi divisori un nuovo numero primo.
i.
Gli insiemi numerici fondamentali
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9
Si tratta di una dimostrazione per assurdo, e la reductio ad absurdum, tanto
amata da Euclide, è una delle più belle armi di un matematico.
Come affermò G.H.Hardy (1887-1966): è un gambetto molto più raffinato di
quasiasi gambetto degli scacchi: un giocatore di scacchi può offrire in sacrificio
un pedone o qualche altro pezzo, ma il matematico offre la partita, [37].
Riprendiamo ora la costruzione degli insiemi numerici. La differenza e il quoziente non sono operazioni interne in N, in quanto sottraendo o dividendo due numeri naturali, in generale non si ottengono numeri naturali. Per la sottrazione,
l’impossibilità è data dal fatto che N è inferiormente limitato.
Anticipando quanto vedremo in seguito, le seguenti equazioni sono in generale impossibili in N:
a + x = b se b < a
a · x = b se b non è multiplo di a
L’insieme dei numeri interi Z si può introdurre come l’insieme quoziente
Z := N × N/R
dove R è una relazione di equivalenza2 definita nel seguente modo
(a, b)R(c, d) ⇐⇒ a + d = b + c
In base a tale definizione, il prodotto cartesiano N × N viene suddiviso in
classi ognuna delle quali viene chiamata numero intero relativo.
In generale la classe (a, b) contiene tutte le coppie di numeri naturali che
forniscono la stessa differenza ordinata tra il primo elemento della coppia e il
secondo.
Usualmente si assocerà alla classe (a, b) il numero naturale
a − b se a > b
altrimenti si assocerà il nuovo numero
−(b − a) se b > a
Nel caso in cui a = b la classe (a, b) conterrà tutte le coppie con elementi tra
loro uguali, ad essa si assocerà l’elemento 0. A titolo di esempio, alla classe
(0, 1) = {(a, b)/(a, b)R(0, 1)} = {(a, a + 1)} = {(0, 1), (1, 2), (2, 3) . . .}
faremo corrispondere il numero: -1.
Mentre alla classe:
(1, 0) = {(a, b)/(a, b)R(1, 0)} = {(b + 1, b)} = {(1, 0), (2, 1), (3, 2) . . .}
faremo corrispondere il numero: +1.
In questo modo, l’insieme dei numeri interi relativi si indica usualmente cosı̀:
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
Si noti che tale insieme, a differenza di N, è inferiormente illimitato.
2 Per
relazione di equivalenza si intende una relazione tra gli elementi di un insieme che sia
riflessiva, simmetrica e transitiva.
12
Algebra e geometria
10
Gli insiemi numerici fondamentali
In tale insieme si definiscono le operazioni:
+e×
(somma e prodotto) entrambe commutative ed associative.
proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma.
La somma e il prodotto sono cosı̀ definiti:
Vale inoltre la
(a, b) + (a , b ) := (a + a , b + b )
(a, b) × (a , b ) := (aa + bb , ab + a b)
Tali definizioni formalizzano la consueta somma e prodotto tra numeri relativi:
(a − b) + (a − b ) = a + a − (b + b )
(a − b) × (a − b ) = (aa + bb ) − (ab + a b)
Le definizioni suddette soddisfano la condizione fondamentale di non dipendere dal particolare rappresentante della classe di equivalenza considerato.
Il vantaggio, rispetto all’insieme dei numeri naturali, è che in Z ogni elemento
ammette il suo opposto, cioè:
∀a ∈ Z
∃x ∈ Z tale che a + x = 0
Quindi ogni equazione di primo grado del tipo:
a+x=b
a, b ∈ Z
ammette soluzione in Z e tale unica soluzione è data da x = b − a.
N e Z sono insiemi discreti, in quanto ogni elemento ammette il suo successivo 3 , e tra due elementi consecutivi di questi due insiemi non vi è alcun elemento
intermedio. In Z non è ancora possibile risolvere equazioni del tipo:
a · x = b se b non è multiplo di a
Ora, è immediato comprendere che le equazioni del tipo a · x = b con a = 0 e
b = 0 non abbiano soluzioni, poichè qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0; si
vuole però che questa sia l’unica eccezione. Per poter risolvere anche equazioni
del tipo:
a·x=b
a = ±1 a = 0
è necessario estendere l’insieme Z con l’introduzione dei numeri razionali.
Usualmente si indica con
p
tale che p, q ∈ Z, q = 0
Q :=
q
In modo più formale anche Q si può definire come insieme quoziente a partire
dal prodotto cartesiano su Z:
Z × Z∗ = {(a, b) tale che a, b ∈ Z b = 0}
3 ∀a
∈ Z ⇒ ∃a = a + 1 ∈ Z
i.
Gli insiemi numerici fondamentali
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11
Si pone in questo insieme la seguente relazione di equivalenza:
(a, b)R(c, d) ⇐⇒ a · d = b · c
Si indica con ab la classe di equivalenza della coppia (a, b), essa contiene tutte
le coppie di numeri interi relativi che forniscono lo stesso quoziente tra il primo
elemento della coppia e il secondo.
La classe di equivalenza cosı̀ costruita si chiama frazione.
L’insieme dei numeri razionali è dunque:
Q := Z × Z∗ /R
Se in dettaglio vogliamo analizzare una classe di equivalenza, ad esempio:
(1, 2) = {(a, b) tale che b = 2a} = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (−1, −2) . . .}
Tale classe rappresenta la frazione 12 comprendendo tutte le frazioni equivalenti
ad essa.
In tale insieme ritroviamo certamente anche l’insieme Z: basta infatti considerare le classi (a, 1) corrispondenti alle frazioni a1 che sono in corrispondenza
biunivoca con Z. La somma e il prodotto sono definiti nel seguente modo:
(a, b) + (a , b ) := (ab + a b, bb )
(a, b) · (a , b ) := (aa , bb )
Tali definizioni formalizzano la consueta somma e prodotto tra numeri razionali:
a
ab + a b
a
+ =
b
b
bb
aa
a a
·
= b b
bb
Le definizioni sopra indicate hanno il pregio, oltre alla necessità, di fornire lo
stesso risultato cambiando rappresentante della classe di equivalenza considerato: ad esempio, 12 = 24 e 23 = 69 ; ebbene, se facciamo:
2
7
1
+ =
2
3
6
Cambiando rappresentanti, ed usando la definizione di somma, si ha:
6
42
2
+ =
4
9
36
I due risultati sono uguali, sono cioè la stessa classe di equivalenza, dato che
7
42
6 = 36 .
In Q, oltre a valere le proprietà operazionali di Z, si ha che ogni elemento
diverso da 0 ammette l’inverso:
infatti, se si considera (a, b) ∈ Q con a = 0, si prova che
∃(x, y) ∈ Q tale che (a, b) · (x, y) = 1 = (n, n)
14
Algebra e geometria
12
Gli insiemi numerici fondamentali
In questo modo, anche ogni equazione algebrica di primo grado è risolvibile:
a·x=b
ammette soluzione data da
x=
a = 0
b
a
I numeri razionali possono essere rappresentati sotto forma di insiemi di
frazioni tra loro equivalenti, ma anche attraverso il risultato della divisione,
espressa dalla stessa frazione, tra due numeri interi (il numeratore e il denominatore).
In tal caso, se si dividono tra loro due numeri naturali a e b, si può ottenere
o un numero decimale finito, se il resto è nullo, o un numero periodico, se non
si ottiene mai resto nullo.
Il resto della divisione, infatti, dovendo essere minore del divisore b, ha solo
b possibilità: 0, 1, · · · , b − 1 e quindi, se non si ottiene resto nullo, dopo al più
b − 1 resti, si otterrà un resto già ricavato precedentemente e da qui la sequenza
delle cifre del quoziente si ripeterà, con un periodo che al massimo conterrà b − 1
cifre.
Ciò non dipende dalla particolare base di rappresentazione dei numeri scelta.
La base di rappresentazione, invece, interviene determinando se il numero che
esprime il quoziente tra i due numeri dati è decimale finito o se è periodico.
Ad esempio, 1/3 = 0, 33333 . . . in base dieci, mentre 1/3 = 0, 2 in base
sei, cosı̀ come 1/5 = 0, 2 in base dieci, mentre 1/5 = 0, 111 . . . in base sei. Si
ricordi, a proposito, i criteri che stabiliscono quando una frazione del tipo a/b
presenta una rappresentazione decimale finita o periodica: tali regole dipendono
fortemente dalla base di rappresentazione.
E’interessante stabilire quando una divisione produce un numero decimale
periodico di periodo massimo, come ad esempio: 1/7 che ha un periodo in base
dieci formato da sei cifre, oppure 1/1949 che ha un periodo di ben 1948 cifre
(ossia dopo 1948 divisioni si riproduce lo stesso resto e quindi la stessa sequenza
di cifre nel quoziente), [18].
Come si fa ad effettuare tale verifica? I computer restituiscono sempre in
uscita numeri decimali finiti. Occorre un programma che traduca l’algoritmo
di divisione ripetendo la divisione tante volte fino a quando non riappare nel
resto un numero già ricavato. In Appendice F è riportato un programma che
effettua tale procedura.
A differenza dell’insieme dei numeri relativi, Q non è discreto, poichè tra due
suoi elementi qualsiasi esiste sempre un numero razionale compreso: considerati,
infatti, pq e rs ∈ Q, basta prendere la loro media aritmetica per avere un numero
razionale compreso tra i due numeri razionali fissati. Esistono, anzi, infiniti
numeri razionali compresi tra due numeri razionali fissati. Tale proprietà si
esprime dicendo che Q è un insieme denso.
In Q, cosı̀ come nei suoi sottoinsiemi numerici prima definiti, si introduce
anche una relazione di ordinamento4 definita nel seguente modo:
a < b ⇐⇒ ∃c ∈ Q+ tale che b = c + a
4 Ossia una relazione < che goda delle proprietà irriflessiva, antisimmetrica e transitiva,
come verrà aprofondito in un prossimo paragrafo.
i.
Gli insiemi numerici fondamentali
15
13
Ricapitolando, a partire da N si sono costruite successive sue estensioni:
N⊂Z⊂Q
fino ad arrivare ad un insieme in cui ogni equazione di primo grado5 a coefficienti
in Q risulta risolubile; ciò si verifica perchè rispetto alla somma e al prodotto
l’insieme Q possiede l’opposto −a e l’inverso a1 con a = 0. Si potrà dire, con
una denominazione che diverrà più chiara in seguito, che Q è un corpo ordinato.
Inoltre, si può affermare che Q è chiuso algebricamente, per quanto riguarda
le equazioni lineari: essendo risolvibili in tale insieme tutte le equazioni di primo
grado non degeneri.Nonostante le sue numerose proprietà , il corpo ordinato Q
deve essere ancora esteso a qualche insieme più grande e più ricco.
Infatti Q non è completo, ossia non è possibile porre in corrispondenza
biunivoca tutti i punti della retta euclidea con i numeri razionali.
Tale limitazione è legata alla incommensurabilità di alcune grandezze geometriche, problema messo drammaticamente in evidenza dalla scuola pitagorica
(V sec. a.C.). Sia, infatti, un quadrato di lato unitario; si vuole esprimere la
lunghezza della diagonale come multiplo di un sottomultiplo del lato. Questa
volontà era coerente con l’impostazione pitagorica di ricavare le misure di tutte
le grandezze come rapporti tra numeri interi.
Se la diagonale d di un quadrato di lato unitario fosse multipla di un
sottomultiplo del lato, allora
d=
m
con m, n numeri interi, con M CD(m, n) = 1
n
cioè m e n sono primi tra di loro. Per il teorema di Pitagora (offrı̀ in questo
modo inconsapevolmente la fine della sua stessa scuola!), si ha:
d2 = 1 + 1 = 2
Quindi devono esistere due numeri interi m, n tali che:
m2
= 2 =⇒ m2 = 2n2
n2
Da questa relazione si ha che m2 è pari, da cui m deve essere pari, perchè il
quadrato di un numero dispari è dispari. Dunque m = 2a e sostituendo tale
espressione in m2 = 2n2 , si ha:
4a2 = 2n2 =⇒ n2 = 2a2 =⇒ n2 è pari =⇒ n è pari
Quanto ricavato è in contraddizione con l’ipotesi che m e n siano primi tra di
loro. Si noti che anche in questa dimostrazione si è usata la ‘reductio ad absurdum’ impiegata per dimostrare che i numeri primi sono infiniti. Non esistono
2
2
quindi m, n ∈ N tali che m
n2 = 2. L’equazione x = 2 è perciò impossibile in Q.
Conseguenza immediata di quanto affermato è che, se consideriamo la retta
euclidea, non esiste alcun numero razionale che corrisponde al punto P della
retta, che ha una distanza dall’origine uguale alla lunghezza del segmento congruente con la diagonale del quadrato di lato unitario. Molte proprietà geometriche fondamentali non sarebbero vere in un ambiente contenente esclusivamente
5 Non
degenere, cioè con coefficiente dell’indeterminata diverso da zero.
16
Algebra e geometria
14
Gli insiemi numerici fondamentali
i numeri razionali: ad esempio, una retta avente punti interni ed esterni ad una
circonferenza fissata potrebbe non intersecarla. Nel piano cartesiano Q × Q, la
circonferenza di equazione x2 + y 2 = 1 e la retta di equazione y = x, passante
per il centro della circonferenza, avrebbero intersezione vuota in tale piano a
coordinate razionali. Come del resto molti teoremi dell’analisi delle funzioni
reali valgono proprio grazie alle proprietà di R, come il teorema degli zeri che
afferma che una funzione continua su un intervallo [a, b], che assume valori discordi agli estremi, allora si annulla almeno in un valore interno all’intervallo.
Si pensi alla funzione
y = x2 − 2
nell’intervallo [0, 2] ∩ Q. Essa è continua, y(0) < 0, y(2) > 0, ma, se rimaniamo
confinati nel piano cartesiano razionale, rappresentativo di Q × Q, non esiste
alcun valore dell’intervallo dato in cui la funzione si annulla, poichè si annulla
in un numero irrazionale.
Nasce cosı̀ l’insieme R dei numeri reali, che contiene i numeri razionali e
i numeri irrazionali, cioè i numeri che non si ottengono da un quoziente tra
numeri interi. Tale insieme si può introdurre tramite i seguenti assiomi:
Assioma 1 (di continuità di Cantor). Dati due qualsiasi sottoinsiemi di R
non vuoti, separati e convergenti, allora esiste in R l’elemento di separazione di
questi due sottoinsiemi.
Tradotto simbolicamente vuol dire:
Se ∀A, B ⊆ R, A = ∅, B = ∅ tali che
• ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ a ≤ b(separazione di A e B );
• ∀ ∈ R, > 0, ∃a ∈ A ∧ ∃b ∈ B tali che b − a < (convergenza di A e
B : gli elementi di A e B sono arbitrariamente vicini tra di loro);
allora ∃c ∈ R tale che a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A ∧ ∀b ∈ B
(c è detto elemento di separazione tra A e B).
Un altro modo per introdurre la continuità in R è dato dal seguente assioma:
Assioma 2 (di continuità di Dedekind). Dati due qualsiasi sottoinsiemi di
R non vuoti, esaustivi, disgiunti e separati, allora esiste in R l’elemento di
separazione di questi due sottoinsiemi.
Tradotto simbolicamente vuol dire:
Se ∀A, B ⊆ R, A = ∅, B = ∅ tali che
• A ∪ B = R (insiemi esaustivi )
• A ∩ B = ∅ (insiemi disgiunti )
• ∀a ∈ A, ∀b ∈ B ⇒ a ≤ b (insiemi separati )
allora ∃c ∈ R tale che a ≤ c ≤ b ∀a ∈ A ∧ ∀b ∈ B (c è ancora detto elemento
di separazione tra A e B ).
i.
Gli insiemi numerici fondamentali
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Tali assiomi non valgono nell’insieme dei numeri razionali; infatti, se consideriamo:
A = {x ∈ Q/x ≤ 0 ∪ (x > 0 ∧ x2 < 2)}
B = {x ∈ Q/x > 0 ∧ x2 > 2)}
Si verifica facilmente che tali sottoinsiemi razionali sono esaustivi, disgiunti e
separati, ma non possiedono all’interno di Q l’elemento di separazione, perchè
se cosı̀ fosse, allora tale elemento dovrebbe essere un numero razionale il cui
quadrato sia 2. Ma abbiamo verificato che l’equazione x2 = 2 è impossibile in
Q.
Quindi non si verifica in Q l’assioma di Dedekind.
Ecco come Richard Dedekind (1831-1916) introdusse nel 1872 con efficacia
il suo postulato, dove si respira la forza creatrice del pensiero matematico, [23]:
‘Ogni volta che è data una sezione (A1 , A2 ) che non sia determinata da alcun
numero razionale, noi creiamo un nuovo numero, un numero irrazionale α, che
noi consideriamo come completamente definito da questa sezione; noi diremo
che il numero α corrisponde a questa sezione o che la determina’
L’insieme dei numeri reali R è definito come il corpo ordinato in cui si verifica uno degli assiomi di continuità. L’elemento di separazione
√ dei due insiemi
precedenti A e B esiste in R e viene indicato con il simbolo: 2
R può quindi essere visto come l’unione dei numeri razionali e degli elementi
di separazione di sottoinsiemi esaustivi, separati e disgiunti di numeri razionali
che non possiedono in Q l’elemento di separazione: questi altri elementi sono chiamati numeri irrazionali. Per cogliere la genesi storica dell’introduzione
(definizione) dei numeri irrazionali come elementi di separazione tra classi di
numeri razionali, o come limiti di successioni di razionali, si vedano i recenti
testi [14, 46]. √
Il numero 2 è pertanto irrazionale. √
generalizzare anche per proLa dimostrazione dell’irrazionalità di 2 si può √
vare l’irrazionalità di altri numeri, come ad esempio a dove a non è un quadrato
perfetto. A tale scopo, occorre utilizzare il teorema fondamentale dell’aritmetica
(teo.1).
Si osservi che l’insieme dei numeri irrazionali non è chiuso rispetto alla somma o al prodotto; sommando o moltiplicando numeri irrazionali, infatti, non è
detto che si ottengano sempre numeri irrazionali:
√
√
√
√
2 + (− 2) = 0 ∈ Q
10 · 10 = 10 ∈ Q
√
√
2+3 ·
2 − 3 = −7
√
√
2+3 + − 2+3 =6
Mentre, ad esempio,
3·
√
2∈
/Q
Sommando un numero razionale con un numero irrazionale, si ottiene sempre
un numero irrazionale (dimostrarlo per esercizio), quindi, ad esempio:
√
√
2+3 e 2−3∈
/Q
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Algebra e geometria
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Gli insiemi numerici fondamentali
√
Altre dimostrazioni dell’irrazionalità di 2, come anche approfondimenti sui
numeri irrazionali sono rinvenibili nel testo [56]. Un interessante e sorprendente
esempio su come i numeri irrazionali possano generare numeri naturali addirittura in una successione infinita è dato in Appendice D, dove si introduce la
successione di Fibonacci.
I due assiomi di continuità sono equivalenti? Non del tutto.
Si può dimostrare che se in un corpo ordinato vale l’assioma di Dedekind,
allora vale l’assioma di Cantor, mentre non è vero il viceversa. L’equivalenza tra
i due assiomi si verifica se nel corpo ordinato vale anche il cosiddetto assioma
di Archimede, che prende spunto dal confronto tra due segmenti per i quali si
può sempre considerare un multiplo del segmento più piccolo che supera l’altro:
Assioma 3 (di Archimede). In un insieme ordinato U dotato di un operazione
interna +, considerati due elementi qualsiasi a,b, con b > 0, esiste sempre un
multiplo di b che supera a.
Formalmente:
n volte
∀a, b ∈ U b > 0, ∃n ∈ N tale che b + b + b + · · · > a
In tutti gli insiemi numerici analizzati finora vale l’assioma di Archimede.
Il prossimo teorema esprime l’equivalenza tra i due assiomi:
Teorema 1. In un campo ordinato si verifica l’assioma di Dedekind se e solo
se valgono l’assioma di Cantor e l’assioma di Archimede.
Una dimostrazione elementare è rinvenibile in [3]. L’assioma di Dedekind è
quindi più potente dell’assioma di Cantor.
Definizione 3. Un corpo ordinato si dice continuo o completo se in esso si
verifica l’assioma di Dedekind.
Q non è completo, mentre R è un campo ordinato e continuo (o completo).
Un altro modo per assiomatizzare la continuità di R, equivalente al postulato di Dedekind, è quello di imporre che ogni suo sottoinsieme non vuoto
limitato superiormente ammetta l’estremo superiore.
Definizione 4. Un sottoinsieme A, di un insieme U dotato di una relazione
d’ordine, è detto limitato superiormente, se esiste almeno un elemento x ∈
U ∧x∈
/ A tale che x > a, ∀a ∈ A.
L’estremo superiore di un insieme A è un elemento λ che è maggiore di ogni
elemento di A, ma che è il minimo tra tutti gli elementi che sono più grandi di A,
ossia, tale per cui, se scendiamo al di sotto di λ di una quantità arbitrariamente
piccola, cadiamo dentro l’insieme A, formalmente:
i.
Gli insiemi numerici fondamentali
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Definizione 5.
λ = sup(A)
se
• λ ≥ a, ∀a ∈ A;
• ∀ ∈ U, > 0, ∃a ∈ A, tale che a > λ − Non è detto che l’estremo superiore appartenga all’insieme di cui è estremo;
se ciò accade, si afferma che λ = massimo di A.
Assioma 4 (di completezza). In R ogni sottoinsieme non vuoto, limitato superiormente, possiede l’estremo superiore.
Si prova che se vale tale assioma, è vero anche che ogni insieme non vuoto
limitato inferiormente possiede estremo inferiore, cioè un elemento minore di
ogni elemento dell’insieme, ma che è il più grande degli elementi minori; dove
per definizione generale di estremo inferiore si ha:
Definizione 6.
µ = inf (A)
se
• µ ≤ a, ∀a ∈ A;
• ∀ ∈ U, > 0, ∃a ∈ A, tale che a < µ + Se poi µ ∈ A allora si dice che µ = minimo di A.
Si dimostra che l’assioma di completezza, come sopra formulato, è equivalente all’assioma di Dedekind ed implica quindi conseguentemente l’assioma di
Archimede, [16, 46].
In Q non vale ovviamente tale assioma: preso, ad esempio
A = x ∈ Q/x ≤ 0 ∪ (x > 0 ∧ x2 < 2)
esso è un insieme limitato superiormente (basta, ad esempio, considerare il numero 3 che è maggiore di ogni elemento di A) ma non possiede l’estremo superiore, in quanto esso non può che essere quel numero il cui quadrato è uguale a
2, ma abbiamo dimostrato che tale numero non è razionale.
Trasponendo tali concetti numerici all’ambito geometrico, si può osservare
che nella geometria elementare euclidea la continuità della retta, ossia il fatto
di non avere ‘buchi’, è un concetto molto moderno ed è assente negli Elementi
di Euclide.
In molti teoremi, infatti, la presunta completezza della linea geometrica viene
data per scontata, senza bisogno di porre un postulato per garantirla.
Si pensi al primo teorema dell’opera euclidea: ‘Su un segmento assegnato si
può costruire un triangolo equilatero’.
Per la dimostrazione di tale teorema, si realizza una costruzione di due
circonferenze aventi come centri gli estremi del segmento, base del triangolo
equilatero, e raggi congruenti al segmento stesso.
Tali circonferenze si pone che si intersechino in un punto che si dimostra
essere il terzo vertice del triangolo equilatero: chi ci garantisce però che tale
punto esista?
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Algebra e geometria
Gli insiemi numerici fondamentali
Non basta il disegno, ovviamente.
L’intersezione è garantita dalla continuità delle linee, o meglio da un assioma
di completezza, o di continuità, che verrà enunciato da David Hilbert nel 1899
nella sua opera [40], ed è l’equivalente dell’assioma di Dedekind per il corpo dei
numeri reali.
Hilbert per la continuità introdusse una coppia di assiomi, uno è l’assioma
di Archimede per i segmenti, l’altro è un’assioma di completezza equivalente
all’assioma di Cantor:
Assioma 5 (di continuità di Hilbert).
1. Assioma archimedeo: Se AB e
CD sono due segmenti qualsiasi, c’è un numero n, tale che il trasporto del
segmento CD reiterato n volte da A sulla semiretta passante per B, porta
al di là del punto B.
2. Assioma di completezza lineare: Il sistema dei punti di una retta
con le sue relazioni di ordinamento e congruenza non è suscettibile di un
ampliamento per il quale rimangono inalterate le relazioni sussistenti tra
gli elementi precedenti come pure le proprietà fondamentali di ordinamento lineare e congruenza che seguono dagli assiomi di incidenza, ordine,
congruenza e parallelismo.