Capitolo 6 Matrici diagonalizzabili
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A01 93 Alberto Canetti Autovalori, autovettori ed equazioni differenziali Copyright © MMVII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it [email protected] via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978–88–548–1094-5 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell’Editore. I edizione: aprile 2007 A Maria Gabriella e David Prefazione I matematici hanno l’abitudine di definire in modo chiaro e preciso tutto ciò che utilizzano. Questa chiarezza ha un costo che non tutti sono disposti a pagare, ma ha un grande vantaggio: elimina le ambiguità. Ad esempio, durante un corso di Algebra Lineare si incontra l’argomento autovalori ed autovettori di una matrice, o se si preferisce di un operatore lineare. Bene. Le definizioni che vengono date sono chiare: non vi sono possibilità di equivoci. Naturalmente prima di questo necessita un minimo di padronanza dell’ambiente in cui si sviluppano i concetti di autovalore ed autovettore: spazi vettoriali, funzioni lineari, matrici, sottospazi, basi, dimensione, ed altri ancora. Ma all’improvviso succede qualcosa che interrompe questa successione di informazioni, date con un ordine prestabilito e consolidato da anni. In una pausa tra un’ora e l’altra di lezione, uno studente chiede a cosa servono gli autovalori ed autovettori. Questo è molto inconsueto: lo studente non chiede cosa siano, ma chiede quale sia il loro eventuale utilizzo futuro (nel senso dei suoi studi, naturalmente, ma anche nel senso professionale e scientifico). Non è un caso che tale studente sia un futuro ingegnere. A questo punto, si può naturalmente parlare di diagonalizzazione di matrici, dunque di similitudine, e perciò di cambiamenti di basi. Oppure di sottospazi invarianti rispetto all’azione di una matrice. Ma forse non è questo ciò che lo studente si aspettava: tale risposta infatti non esce dall’algebra lineare, non dà il senso di ciò a cui serviranno in futuro. Chi scrive crede che se si vuole dare una risposta, che spieghi effettivamente a cosa serviranno gli autovalori e gli autovettori, si deve necessariamente rompere lo schema prestabilito. Nello schema infatti non è previsto che si parli di assi di una conica oppure di sistemi lineari di equazioni differenziali, e dunque di curve-soluzione di tali sistemi, ovvero di curve parametriche. In queste note si cerca di dare una risposta a quella domanda utilizzando, per introdurre gli autovalori ed autovettori, i sistemi lineari di equazioni differenziali. Questa scelta naturalmente cambia lo schema, cambia la sequenza di argomenti che conducono al concetto di autovalore ed autovettore. Ne segue che il costo da pagare per avere quella risposta può risultare ostico. Gli argomenti non possono più essere esposti a pacchetti chiusi, ed in ogni pacchetto si sviluppa tutta la conoscenza attuale, ma il flusso delle informazioni deve tenere conto di realtà variegate che si intrecciano e si intersecano, deve tei nere conto anche di eventuali informazioni parziali e/o temporaneamente incomplete: le inevitabili mancanze che emergono verranno poi riprese e completate. Tutto questo dà un ritmo lento all’esposizione. Ad esempio, se qualcuno cerca dove trovare, in queste note, il tasto risolvente ad una determinata domanda rimarrà probabilmente deluso: non esiste una ricetta miracolosa per risolvere i suoi problemi. Non esiste una pagina, un indirizzo in cui trovare la risposta. Queste note non sono un dizionario enciclopedico in cui alla voce (ad esempio) autovalore si trovi la definizione di tale termine, e tutti gli utilizzi che se ne possono fare. Queste note vanno lette tutte, da cima a fondo: possono piacere o non piacere, ma vanno lette cosı̀ come si legge un romanzo. Non si trova alcun riferimento ad argomenti precedenti che vengano indicati con una sigla numerica. Ad esempio: ... ed a causa del teorema 3.2.15 se ne deduce che ..... Non solo, ma si è cercato di evitare dichiarazioni del tipo: teorema, corollario, ecc. Ancora, con un altro esempio, il concetto di autovalore (cosı̀ come quello di autovettore) è introdotto con cautela, e naturalmente prima necessitano alcuni indispensabili preliminari sulle curve parametriche e sui sistemi differenziali. Tutte queste nozioni, che sono inevitabilmente parziali, non possono (e non vogliono) essere esaustive dell’argomento: lo scopo sono comunque gli autovalori ed autovettori. Ed una volta entrati nel mondo dei sistemi differenziali si incontra, in modo naturale, la matrice esponenziale. A questo punto (anche se esula dall’argomento direttore) se ne parla un po’. Tale matrice viene introdotta con più cautela ancora: prima si incontra la matrice esponenziale diagonale, che appare quasi naturale, poi quella generale. Questo perchè l’argomento non è facilmente digeribile, almeno per chi lo incontra per la prima volta. E la matrice esponenziale non è nemmeno facilmente calcolabile. Forse l’approccio non è moderno: infatti gli argomenti non sono introdotti a colpi di definizioni, ma con esempi e controesempi. Certo le definizioni sono rapide, efficaci: possono staccare dal passato e fissare un anello iniziale con cui poi evolvere gli argomenti successivi. Ma le definizioni hanno un aspetto che travalica (se non giustificate) lo sviluppo naturale dei problemi e dei tentativi di dare loro una risposta. Appunto: a cosa servono gli autovalori ed autovettori? Per poter leggere queste note è necessario un minimo di conoscenza di calcolo differenziale (per funzioni di una variabile), di calcolo integrale (per funzioni di una variabile). Necessita anche la conoscenza di alcune curve cartesiane (peraltro classiche, come le coniche), e dei seguenti argomenti di algebra lineare: spazi vettoriali, sottospazi, basi, dimensione, funzioni lineari, nucleo ed immagine di funzione lineare, rango (di funzione lineare e di matrice), isomorfismi lineari e matrici invertibili, determinante di matrice. In questa prima parte l’argomento fondamentale è la diagonalizzabilità (in senso reale) di una matrice reale. Seguirà una seconda parte riguardante la diagonalizzabiltà (in senso complesso) di una matrice reale, e la non diagonalizzabilità (nè in senso reale, nè in senso complesso) di una matrice reale, dunque la sua forma di Jordan. ii Queste note sono indirizzate a studenti dei corsi di Laurea in Matematica, Fisica, Ingegneria, e possono essere utilizzate come seconda parte in un corso di Algebra lineare. Contengono infatti la teoria completa della diagonalizzabilità (in senso reale) di una matrice reale che si sviluppa nei seguenti capitoli e paragrafi: Capitolo 3. Autovalori ed autovettori § 3.1 Definizioni § 3.2 Polinomio caratteristico § 3.3 Autospazio § 3.5 Geometria degli autovalori ed autovettori (solo la prima parte) Capitolo 4. Matrici simili § 4.1 Matrici simili § 4.2 § 4.3 § 4.4 § 4.5 Proprietà della similitudine Basi di autovettori Autovalori distinti Esempi di matrici diagonalizzabili Capitolo 5. Matrici simmetriche § 5.1 Trasposizione e simmetria § 5.2 Autovalori di matrice simmetrica § 5.3 Autovalori distinti § 5.4 Teorema spettrale o Teorema degli assi Capitolo 6. Matrici diagonalizzabili § 6.1 Esempio introduttivo § 6.2 Molteplicità algebrica e geometrica § 6.3 Criterio di diagonalizzabilità § 6.4 Esempi di matrici diagonalizzabili Queste note sono state scritte in LATEX 2ε dall’autore. Le figure sono state eseguite in Cabri Géomètre da Umberto Tocci. Si ringrazia lo studente di Ingegneria: Maria Rosaria Sorrentino. Un particolare ringraziamento alla professoressa Margherita D’Aprile per la cura e l’attenzione con cui ha corretto una prima stesura di questo lavoro, e per i suggerimenti dati. iii Bibliografia [1] Franco Banino, Geometria per fisici Feltrinelli Editore Milano, 1977. [2] Gilbert Strang, Algebra lineare e sue applicazioni Liguori Editore Napoli, 1981. [3] Morris W. Hirsch, e Stephen Smale, Differential equations, Dynamical systems and Linear Algebra Academic Press, New York, 1974. [4] Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos Westview Press, Cambridge, 2000. [5] Serge Lang, Linear Algebra Addison Wesley, London-Sydney-Manila, 1968. [6] Nicolaas Kuiper, Linear Algebra and Geometry North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1961. [7] John R. Silvester, Geometry, Ancient and Modern Oxford University Press, 2001. v Indice Capitolo 1. Curve parametriche § 1.1 La retta nel piano § 1.2 § 1.3 § 1.4 § 1.5 § 1.6 § 1.7 § 1.8 § 1.9 § 1.10 § 1.11 pag. pag. 20 20 23 25 29 32 La parabola Giulietta e Romeo Introduzione agli autovalori ed autovettori Esercizi II Capitolo 3. Autovalori ed autovettori § 3.1 Definizioni § 3.2 § 3.3 § 3.4 § 3.5 § 3.6 § 3.7 § 3.8 1 4 6 7 8 9 11 12 13 14 15 Velocità della retta La retta nello spazio Curve parametriche: definizione Curve-grafico La circonferenza L’ellisse L’iperbole L’elica Curve esponenziali Esercizi I Capitolo 2. Sistemi lineari di equazioni differenziali § 2.1 La trattrice § 2.2 § 2.3 § 2.4 § 2.5 1 Polinomio caratteristico Autospazio Curva-soluzione generale Geometria degli autovalori ed autovettori Algebra degli autovalori ed autovettori Curve equivalenti Esercizi III vii pag. 34 35 36 40 42 44 48 52 53 Capitolo 4. Matrici simili § 4.1 Matrici simili § 4.2 § 4.3 § 4.4 § 4.4 § 4.5 § 4.6 § 4.7 § 4.8 pag. 57 Capitolo 5. Matrici simmetriche § 5.1 Trasposizione e simmetria § 5.2 § 5.3 § 5.4 § 5.5 § 5.6 § 5.7 pag. 84 84 87 88 91 93 96 102 Autovalori di matrice simmetrica Autovalori distinti Teorema spettrale o Teorema degli assi Scomposizione spettrale Diagonalizzazione simultanea di due matrici simmetriche Esercizi V Capitolo 6. Matrici diagonalizzabili § 6.1 Esempio introduttivo § 6.2 § 6.3 § 6.4 § 6.5 § 6.6 § 6.7 § 6.8 57 59 61 62 63 68 74 77 80 Proprietà della similitudine Basi di autovettori Autovalori distinti Esempi di matrici diagonalizzabili Schema risolvente Numeri di Fibonacci Equazioni differenziali scalari ed equazioni alle differenze Esercizi IV Molteplicità algebrica e geometrica Criterio di diagonalizzabilità Esempi di matrici diagonalizzabili Equazioni differenziali scalari Matrice esponenziale Storia di una matrice Esercizi VI viii pag. 107 107 110 111 112 114 119 126 128
