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Alberto Canetti
Autovalori, autovettori
ed equazioni differenziali
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via Raffaele Garofalo, 133 A/B
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ISBN
978–88–548–1094-5
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I edizione: aprile 2007
A Maria Gabriella e David
Prefazione
I matematici hanno l’abitudine di definire in modo chiaro e preciso tutto
ciò che utilizzano. Questa chiarezza ha un costo che non tutti sono disposti a
pagare, ma ha un grande vantaggio: elimina le ambiguità.
Ad esempio, durante un corso di Algebra Lineare si incontra l’argomento
autovalori ed autovettori di una matrice, o se si preferisce di un operatore
lineare. Bene. Le definizioni che vengono date sono chiare: non vi sono possibilità di equivoci. Naturalmente prima di questo necessita un minimo di padronanza dell’ambiente in cui si sviluppano i concetti di autovalore ed autovettore:
spazi vettoriali, funzioni lineari, matrici, sottospazi, basi, dimensione, ed altri
ancora.
Ma all’improvviso succede qualcosa che interrompe questa successione di informazioni, date con un ordine prestabilito e consolidato da anni.
In una pausa tra un’ora e l’altra di lezione, uno studente chiede a cosa servono gli autovalori ed autovettori. Questo è molto inconsueto: lo studente non
chiede cosa siano, ma chiede quale sia il loro eventuale utilizzo futuro (nel senso dei suoi studi, naturalmente, ma anche nel senso professionale e scientifico).
Non è un caso che tale studente sia un futuro ingegnere.
A questo punto, si può naturalmente parlare di diagonalizzazione di matrici,
dunque di similitudine, e perciò di cambiamenti di basi. Oppure di sottospazi
invarianti rispetto all’azione di una matrice.
Ma forse non è questo ciò che lo studente si aspettava: tale risposta infatti
non esce dall’algebra lineare, non dà il senso di ciò a cui serviranno in futuro.
Chi scrive crede che se si vuole dare una risposta, che spieghi effettivamente a
cosa serviranno gli autovalori e gli autovettori, si deve necessariamente rompere
lo schema prestabilito. Nello schema infatti non è previsto che si parli di assi di
una conica oppure di sistemi lineari di equazioni differenziali, e dunque
di curve-soluzione di tali sistemi, ovvero di curve parametriche.
In queste note si cerca di dare una risposta a quella domanda utilizzando,
per introdurre gli autovalori ed autovettori, i sistemi lineari di equazioni differenziali.
Questa scelta naturalmente cambia lo schema, cambia la sequenza di argomenti che conducono al concetto di autovalore ed autovettore. Ne segue che
il costo da pagare per avere quella risposta può risultare ostico. Gli argomenti non possono più essere esposti a pacchetti chiusi, ed in ogni pacchetto
si sviluppa tutta la conoscenza attuale, ma il flusso delle informazioni deve
tenere conto di realtà variegate che si intrecciano e si intersecano, deve tei
nere conto anche di eventuali informazioni parziali e/o temporaneamente incomplete: le inevitabili mancanze che emergono verranno poi riprese e completate.
Tutto questo dà un ritmo lento all’esposizione.
Ad esempio, se qualcuno cerca dove trovare, in queste note, il tasto risolvente ad una determinata domanda rimarrà probabilmente deluso: non esiste
una ricetta miracolosa per risolvere i suoi problemi. Non esiste una pagina, un
indirizzo in cui trovare la risposta.
Queste note non sono un dizionario enciclopedico in cui alla voce (ad esempio) autovalore si trovi la definizione di tale termine, e tutti gli utilizzi che se
ne possono fare.
Queste note vanno lette tutte, da cima a fondo: possono piacere o non
piacere, ma vanno lette cosı̀ come si legge un romanzo.
Non si trova alcun riferimento ad argomenti precedenti che vengano indicati
con una sigla numerica. Ad esempio: ... ed a causa del teorema 3.2.15 se ne
deduce che ..... Non solo, ma si è cercato di evitare dichiarazioni del tipo: teorema, corollario, ecc.
Ancora, con un altro esempio, il concetto di autovalore (cosı̀ come quello di
autovettore) è introdotto con cautela, e naturalmente prima necessitano alcuni indispensabili preliminari sulle curve parametriche e sui sistemi differenziali.
Tutte queste nozioni, che sono inevitabilmente parziali, non possono (e non
vogliono) essere esaustive dell’argomento: lo scopo sono comunque gli autovalori ed autovettori.
Ed una volta entrati nel mondo dei sistemi differenziali si incontra, in modo
naturale, la matrice esponenziale. A questo punto (anche se esula dall’argomento direttore) se ne parla un po’. Tale matrice viene introdotta con più
cautela ancora: prima si incontra la matrice esponenziale diagonale, che appare
quasi naturale, poi quella generale. Questo perchè l’argomento non è facilmente
digeribile, almeno per chi lo incontra per la prima volta. E la matrice esponenziale non è nemmeno facilmente calcolabile.
Forse l’approccio non è moderno: infatti gli argomenti non sono introdotti
a colpi di definizioni, ma con esempi e controesempi. Certo le definizioni sono
rapide, efficaci: possono staccare dal passato e fissare un anello iniziale con cui
poi evolvere gli argomenti successivi.
Ma le definizioni hanno un aspetto che travalica (se non giustificate) lo
sviluppo naturale dei problemi e dei tentativi di dare loro una risposta.
Appunto: a cosa servono gli autovalori ed autovettori?
Per poter leggere queste note è necessario un minimo di conoscenza di calcolo differenziale (per funzioni di una variabile), di calcolo integrale (per
funzioni di una variabile). Necessita anche la conoscenza di alcune curve cartesiane (peraltro classiche, come le coniche), e dei seguenti argomenti di algebra
lineare: spazi vettoriali, sottospazi, basi, dimensione, funzioni lineari, nucleo
ed immagine di funzione lineare, rango (di funzione lineare e di matrice), isomorfismi lineari e matrici invertibili, determinante di matrice.
In questa prima parte l’argomento fondamentale è la diagonalizzabilità (in
senso reale) di una matrice reale.
Seguirà una seconda parte riguardante la diagonalizzabiltà (in senso complesso) di una matrice reale, e la non diagonalizzabilità (nè in senso reale, nè in
senso complesso) di una matrice reale, dunque la sua forma di Jordan.
ii
Queste note sono indirizzate a studenti dei corsi di Laurea in Matematica,
Fisica, Ingegneria, e possono essere utilizzate come seconda parte in un corso di
Algebra lineare.
Contengono infatti la teoria completa della diagonalizzabilità (in senso
reale) di una matrice reale che si sviluppa nei seguenti capitoli e paragrafi:
Capitolo 3. Autovalori ed autovettori
§ 3.1 Definizioni
§ 3.2 Polinomio caratteristico
§ 3.3 Autospazio
§ 3.5 Geometria degli autovalori ed autovettori (solo la prima parte)
Capitolo 4. Matrici simili
§ 4.1 Matrici simili
§ 4.2
§ 4.3
§ 4.4
§ 4.5
Proprietà della similitudine
Basi di autovettori
Autovalori distinti
Esempi di matrici diagonalizzabili
Capitolo 5. Matrici simmetriche
§ 5.1 Trasposizione e simmetria
§ 5.2 Autovalori di matrice simmetrica
§ 5.3 Autovalori distinti
§ 5.4 Teorema spettrale o Teorema degli assi
Capitolo 6. Matrici diagonalizzabili
§ 6.1 Esempio introduttivo
§ 6.2 Molteplicità algebrica e geometrica
§ 6.3 Criterio di diagonalizzabilità
§ 6.4 Esempi di matrici diagonalizzabili
Queste note sono state scritte in LATEX 2ε dall’autore. Le figure sono state
eseguite in Cabri Géomètre da Umberto Tocci.
Si ringrazia lo studente di Ingegneria: Maria Rosaria Sorrentino.
Un particolare ringraziamento alla professoressa Margherita D’Aprile per la
cura e l’attenzione con cui ha corretto una prima stesura di questo lavoro, e per
i suggerimenti dati.
iii
Bibliografia
[1] Franco Banino, Geometria per fisici
Feltrinelli Editore Milano, 1977.
[2] Gilbert Strang, Algebra lineare e sue applicazioni
Liguori Editore Napoli, 1981.
[3] Morris W. Hirsch, e Stephen Smale, Differential equations, Dynamical
systems and Linear Algebra
Academic Press, New York, 1974.
[4] Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos
Westview Press, Cambridge, 2000.
[5] Serge Lang, Linear Algebra
Addison Wesley, London-Sydney-Manila, 1968.
[6] Nicolaas Kuiper, Linear Algebra and Geometry
North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1961.
[7] John R. Silvester, Geometry, Ancient and Modern
Oxford University Press, 2001.
v
Indice
Capitolo 1. Curve parametriche
§ 1.1 La retta nel piano
§ 1.2
§ 1.3
§ 1.4
§ 1.5
§ 1.6
§ 1.7
§ 1.8
§ 1.9
§ 1.10
§ 1.11
pag.
pag. 20
20
23
25
29
32
La parabola
Giulietta e Romeo
Introduzione agli autovalori ed autovettori
Esercizi II
Capitolo 3. Autovalori ed autovettori
§ 3.1 Definizioni
§ 3.2
§ 3.3
§ 3.4
§ 3.5
§ 3.6
§ 3.7
§ 3.8
1
4
6
7
8
9
11
12
13
14
15
Velocità della retta
La retta nello spazio
Curve parametriche: definizione
Curve-grafico
La circonferenza
L’ellisse
L’iperbole
L’elica
Curve esponenziali
Esercizi I
Capitolo 2. Sistemi lineari di equazioni differenziali
§ 2.1 La trattrice
§ 2.2
§ 2.3
§ 2.4
§ 2.5
1
Polinomio caratteristico
Autospazio
Curva-soluzione generale
Geometria degli autovalori ed autovettori
Algebra degli autovalori ed autovettori
Curve equivalenti
Esercizi III
vii
pag. 34
35
36
40
42
44
48
52
53
Capitolo 4. Matrici simili
§ 4.1 Matrici simili
§ 4.2
§ 4.3
§ 4.4
§ 4.4
§ 4.5
§ 4.6
§ 4.7
§ 4.8
pag. 57
Capitolo 5. Matrici simmetriche
§ 5.1 Trasposizione e simmetria
§ 5.2
§ 5.3
§ 5.4
§ 5.5
§ 5.6
§ 5.7
pag. 84
84
87
88
91
93
96
102
Autovalori di matrice simmetrica
Autovalori distinti
Teorema spettrale o Teorema degli assi
Scomposizione spettrale
Diagonalizzazione simultanea di due matrici simmetriche
Esercizi V
Capitolo 6. Matrici diagonalizzabili
§ 6.1 Esempio introduttivo
§ 6.2
§ 6.3
§ 6.4
§ 6.5
§ 6.6
§ 6.7
§ 6.8
57
59
61
62
63
68
74
77
80
Proprietà della similitudine
Basi di autovettori
Autovalori distinti
Esempi di matrici diagonalizzabili
Schema risolvente
Numeri di Fibonacci
Equazioni differenziali scalari ed equazioni alle differenze
Esercizi IV
Molteplicità algebrica e geometrica
Criterio di diagonalizzabilità
Esempi di matrici diagonalizzabili
Equazioni differenziali scalari
Matrice esponenziale
Storia di una matrice
Esercizi VI
viii
pag. 107
107
110
111
112
114
119
126
128
