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1.1.14 Proprietà delle matrici simmetriche
…
T
d. Gli autovalori di A e A coincidono.
Infatti gli autovalori di AT sono gli scalari µ che, per
definizione,
verificano
l’equazione
caratteristica
T
T
Det ( A − µ I m ) =
0 . Ma Det ( A − µ I m ) = Det ( A − µ I m ) e
pertanto gli scalari µ sono gli autovalori anche di A .
e. Sia A una matrice di dimensione m × m simmetrica
( A = AT ) e reale. Esistono allora una matrice Λ DIAGONALE
ed una matrice W ORTOGONALE tali che W T A W = Λ o
A= W ΛW T ; inoltre gli elementi della diagonale di Λ sono
gli autovalori di A
Detti λ j j = 1 m gli autovalori di A e AT e, rispettivamente
w j i corrispondenti autovettori normalizzati di A e v j i
corrispondenti autovettori normalizzati di AT , si ha:
A w i = λi w i
∀i, j =
1 m
AT v j = µ j v j
[0.1]
Premoltiplicando la prima delle per vTj , la seconda per w Tj
e successivamente trasponendo quest’ultima si ha:
vTj A w i = λi vTj w i
[0.2]
vTj A w i = µ j vTj w i
e, sottraendo membro a membro:
0
( λi − µ j ) vTj w i =
[0.3]
La [0.6], per autovalori distinti, λi ≠ µ j implica che i
corrispondenti autovettori siano ortogonali, cioè vTj w i = 0 ,
mentre per autovalori coincidenti λi = µ j implica vTj w i = 1
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(essendo gli autovettori normalizzati). Allora, definendo con
W e V le seguenti matrici
W = [ w1 w 2 w m ]
[0.4]
V = [ v1 v 2 v m ]
che per quanto appena detto sono ortogonali, cioé
V TW = I m ,
tenendo conto delle [0.7] e della prima delle
∀i =
1 m e ponendo
λ1
λ2
Λ Diag
=
( λ1 λ2 λm )
λm
si ha
Λ =V T AW
[0.5]
[0.5]
[0.6]
[0.7]
Premoltiplicando per W e postmoltiplicando per V T e
tenendo conto della [0.8] si ottiene in definitiva
[0.8]
A= W ΛV T
Se la matrice A è simmetrica
(A= A ),
T
è ovviamente
V = W e, pertanto le [0.11] e [0.8] diventano rispettivamente
A= W ΛW T
[0.9]
W TW = I m
che è ciò che si voleva dimostrare.
f. Un’ altra maniera di rappresentazione del risultato [0.12] al
punto e è:
A = W Λ W T = λ1w1w1T + λ2 w 2 w 2T + + λm w m w mT
[0.10]
T
=
I m W W=
w1w1T + w 2 w 2T + + w m w mT
[0.11]
La forma costituita dalle equazioni [0.13] e [0.14] è detta
DECOMPOSIZIONE SPETTRALE DELLA MATRICE A .
26H38
27H369
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