Testo del compito d`esame del secondo appello con soluzione

Fisica I, a.a. 2011–2012, Compito del 20 Luglio 2012
Anna Nobili
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Pendolo in equilibrio a diverse latitudini sulla superficie della Terra
Un osservatore è localizzato in un punto P sulla superficie della Terra di massa M⊕ e raggio R⊕ che
ruota con velocità angolare ω⊕ attorno all’asse passante per il suo centro di massa e per il polo Nord. Il
punto P è alla latitudine ϑ ad esempio, la nostra (' 43o 440 a Nord dell’equatore) e al nostro meridiano
(circa 10o 240 ad Est del meridiano di Greenwich).
Consideriamo il sistema di riferimento Oxyz con O il centro di massa della Terra, l’asse z coincidente con il suo asse di rotazione e il piano x, y coincidente con il suo piano equatoriale. Il sistema
Oxyz è solidale con la Terra. Assumiamo in particolare che il piano y, z coincida con il meridiano
dell’osservatore. In corrispondenza del punto P definiamo con êr il versore radiale che punta verso
valori crescenti della distanza dal centro della Terra e con êy il versore che punta verso valori crescenti
della coordinata y.
2 il modulo della accelerazione gravitazionale che la Terra di
Indichiamo infine con go = GM⊕ /R⊕
massa M⊕ e raggio R⊕ esercita per unità di massa su ogni corpo posto sulla sua superficie.
L’osservatore sospende ad un filo un corpo puntiforme di massa m ed attende che il corpo si fermi
nella sua posizione di equilibrio (la distanza del corpo dalla superficie della Terra è trascurabile rispetto
al raggio R⊕ ).
Scrivete il vettore della tensione ~τ che il filo esercita sulla massa m all’equilibrio e calcolatene il
modulo τ . Troverete che τ dipende dalla latitudine ϑ. Scrivete il suo valore all’equatore e al polo Nord
(ϑ = 0 e ϑ = π/2 rispettivamente). τ è dimensionalmente una forza; il suo valore per unità della massa
m è una grandezza fisica nota. Ne conoscete il nome?
Se il filo di sospensione della massa m ha lunghezza `, calcolate la posizione della massa m
all’equilibrio (Potreste avere bisogno del Teorema dei seni: In un triangolo il rapporto tra la lunghezza
di ogni lato e il seno dell’angolo ad esso opposto è una costante)
Considerate ora il sistema di riferimento OXY Z centrato nel centro di massa della Terra come il
precedente, asse Z coincidente con z, piano X, Y parallelo al piano equatoriale x, y ma NON rotante.
Questo sistema, a differenza del precedente, è inerziale. Sapreste ritrovare i risultati precedenti in
questo sistema di riferimento? Considerate che la massa m in equilibrio in questo riferimento percorre
una circonferenza di raggio pari al raggio del parallelo dell’osservatore che si trova in P ....
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Fisica I – Compito del 20 Luglio 2012
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Soluzione
Nel sistema di riferimento Oxyz che è solidale con la Terra, quindi in rotazione con essa e pertanto
non inerziale la massa m del pendolo è soggetta alla attrazione gravitazionale della Terra diretta verso
il suo centro di massa, di modulo go come specificato nel testo e alla forza centrifuga, diretta lungo il
versore êy e proporzionale al quadrato della velocità angolare di rotazione della Terra e alla distanza
della massa dall’asse di rotazione (che è il raggio del parallelo dove essa è localizzata).
La tensione ~τ che il filo esercita sulla massa all’ equlibrio sarà uguale ed opposta alla forza totale
agente sulla massa:
2
~τ = −(−mgo êr + mω⊕
R⊕ cos ϑ)
(1)
È evidente che la tensione ~τ controbilancia la forza gravitazionale locale esercitata dalla Terra sulla
massa m e quindi, per unità di massa essa è uguale ed opposta alla accelerazione locale di gravità:
−
1
2
~τ = ~g (ϑ) = −go êr + ω⊕
R⊕ cos ϑêy
m
(2)
che è l’unica che misuriamo (dato che non possiamo fermare la rotazione della Terra) e che dipende
dalla latitudine alla quale essa viene misurata dato che questa dipendenza viene dalla accelerazione
centrifuga.
Per il modulo della tensione abbiamo (si noti êr · êy = cos ϑ) :
4 2
2
τ 2 = ~τ · ~τ = m2 go2 + m2 ω⊕
R⊕ cos2 ϑ − 2m2 go ω⊕
R⊕ cos2 ϑ
(3)
che riscriviamo in modo da sfruttare il fatto noto che il contributo del termine centrifugo è comunque
molto piccolo rispetto alla accelerazione gravitazionale go :
τ 2 = m2 go2 (1 +
4 R2
2R
2R
ω⊕
ω⊕
ω⊕
⊕
⊕
⊕
2
2
2 2
cos
ϑ
−
2
cos
ϑ)
'
m
g
(1
−
2
cos2 ϑ)
o
go2
go
go
(4)
e quindi per il modulo τ abbiamo:
τ ' mgo (1 −
2R
ω⊕
⊕
cos2 ϑ)
go
(5)
che diviso per m fornisce il modulo della accelerazione locale di gravità:
g(ϑ) ' go (1 −
2R
ω⊕
⊕
cos2 ϑ)
go
(6)
da cui si vede che essa è massima al polo (ϑ = π/2) dove il contributo centrifugo è nullo perché la massa
2 , ed è minima all’equatore dove
del pendolo si trova dsull’asse di rotazione, ed essa vale go = GM⊕ /R⊕
il controbuto centrifugo è massimo perché la distanza dall’asse di rotazione è pari a tutto il raggio
terrestre R⊕ . La differenza relativa vale:
ω 2 R⊕
ω 2 R3
gpolo − gequatore
' ⊕
= ⊕ ⊕ ' 3.5 · 10−3
go
go
GM⊕
(7)
Si noti che questo valore della differenza relativa tra l’accelerazioen locale die gravità al polo e quella
all’equatore è stata ottenuta assumendo che la terra sia sferica. In realtà il raggio polare è minore di
quello polare, e quindi la massa del pendolo si trova ad una minore distanza dal centro di massa della
Terra al plo che non all’equatore, e pertanto la sola attrazione gravitazionale è maggiore al polo.
L’angolo ~ε tra la direzione della attrazione gravitazionale go e quella di gϑ si può trovare col teorema
dei seni:
sin ϑ
sin ε
=
(8)
2
g(ϑ)
ω⊕ R⊕ cos ϑ
Pendolo in equilibrio a diverse latitudini sulla superficie della Terra
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Fisica I – Compito del 20 Luglio 2012
da cui
sin ε =
2R
ω 2 R⊕
ω⊕
⊕
sin ϑ cos ϑ = ⊕
sin 2ϑ
g(ϑ)
2g(ϑ)
(9)
che, come aspettato, risulta essere un angolo piccolo, per cui (sin ε ' ε):
ε'
2R
ω⊕
⊕
sin 2ϑ
2g(ϑ)
(10)
Se il filo di sospensione ha lunghezza ` la massa del pendolo si troverà sul piano dell’orizzonte del punto
P spostata verso Sud (nella direzione Nord-Sud) rispetto ad esso di una distanza `ε. Sappimao che il
versore êy fa un angolo π/2 − ϑ con tale asse, quindi conosciamo la posizione della massa.
Nel riferimento inerziale OXY Z definito nel testo la massa del pendolo all’equilibrio compie una
circonferenza di raggio R⊕ cos ϑ. In tale moto la sua accelerazione nel riferimento inerziale è costante e
sempre diretta come il versore êy che ruota con la Terra rispetto al riferimento inerziale (moto circolare
uniforme):
2
~ainerziale = −ω⊕
R⊕ cos ϑêy
(11)
L’equazione del moto sarà quindi:
m~ainerziale = −mgo êr + τ
(12)
dato che le uniche forze in gioco in questo riferimento sono l’attrazione gravitazionale della Terra e la
tensione del filo (incognita). Da queste due equazioni ricaviamo la tensione del filo:
2
τ = −mω⊕
R⊕ cos ϑêy + mgo êr
(13)
che è identica alla (14) la quale era stata ottenuta nel riferimento non inerziale Oxyz. Tutti i risultati
saranno quindi identici nei due sistemi di riferimento.
Pendolo in equilibrio a diverse latitudini sulla superficie della Terra
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