Indice dei temi svolti di fisica:
Autore: Antonio Pierro
Giochi matematici
Misura della costante di gravitazione universale G.
Tra due punti materiali di massa m ed M, posti a distanza R fra di loro, si esercita una forza data da
F = G mM/R2 , detta forza di gravitazione universale.
Il valore comunemente accettato per G è G = 6,67* 10-11 Nm2/ kg2
che corrisponde alla forza fra due sfere omogenee di massa 1 kg poste a distanza di 1 metro.
Il valore di G è indipendente dalle proprietà della materia di cui sono fatti i corpi, come pure non
dipende da dove viene svolta l’esperienza, né da quando: per questo la costante G viene detta
universale. Come conseguenza, essa può essere misurata utilizzando qualsiasi coppia di masse poste
a distanza nota fra di loro.
Il primo che riuscì ad eseguire la misura di G fu Cavendish.
Il dispositivo utilizzato era una bilancia di torsione come disegnato nella seguente figura:
Due piccole sfere di piombo, di massa m,
contrassegnate con i numeri 1 e 2 sono fissate
alle estremità di una leggere asta lunga circa 2
metri e sospesa per il suo punto medio ad un
lungo e sottile filo di quarzo. Tutto il dispositivo
è posto in una custodia in modo da essere
schermato da correnti d’aria.
Sul filo di quarzo è fissato uno specchietto in
grado di riflettere un raggio (spot) luminoso,
prodotto da una sorgente stabile, posta a distanza
fissa dalla bilancia.
Il raggio viene proiettato su una scala graduata
collocata alla distanza L dalla bilancia, in modo
che gli spostamenti lungo la scala riflettano gli
spostamenti angolari dell’asta.
Due grosse sfere di piombo A e B, di massa M,
sono fissate in prossimità delle sferette. La forza gravitazionale esercitata dalle sfere grosse su
quelle piccole si traduce quindi in una deviazione del raggio luminoso; la misura dello spostamento
del raggio luminoso costituisce così una misura indiretta della forza che ha provocato quello
spostamento.
Si possono fare allora due misure con le masse M, nella posizione X e Y.
Quando l’equilibrio viene raggiunto, la coppia di reazione elastica, dovuta alla torsione del filo,
eguaglia la coppia applicata dovuta alla forza gravitazionale.
Ma la coppia di reazione elastica può essere facilmente calcolata note le proprietà elastiche del filo
di sospensione (k) e sapendo che è direttamente proporzionale a ϕ.
Possiamo esprimere questa situazione di equilibrio come:
2Fd = 2dGmM/r2 = kφ
dove il fattore 2 nasce dal fatto che i momenti relativi ad ognuna delle due masse m si sommano; r è
la distanza tra i due CM della masse, d la distanza tra il CM della massa piccolina e il centro
dell’asta di sospensione.
Dalla relazione all’equilibrio è possibile calcolare facilmente la costante G.
Noto il valore di G, possiamo determinare indirettamente la massa della terra.
Infatti detto R il raggio terrestre, la forza con cui la terra attrae un corpo di massa m posto sulla sue
superficie è F=GMm/R2 . di conseguenza l’accelerazione determinata dalla forza di attrazione
gravitazionale è: g=F/m=GMm/ R2m da cui: M=g R2/G.
Sostituendo il valore dell’accelerazione di gravità e del raggio terrestre, già misurato fin dal III
secolo a.C. da Eratostene, si ottiene: M=5,98*10^24 kg.
Dividendo la massa M della terra per il suo volume, si ricava la densità media della terra:
d=5,5g/cm^3.
Poiché la densità della terra sulla crosta terrestre è minore del valore trovato, si deduce che la terra
al suo interno è costituita da materiale avente densità maggiore di 5,5g/cm^3.
Nel calcolare la massa della terra ho semplificato la massa m che compare nel secondo principio
della dinamica con la massa m che compare nella legge della forza gravitazionale.
In realtà i concetti di massa gravitazionale e massa inerziale sono essenzialmente diversi tra loro.
La massa gravitazionale è la proprietà posseduta dai corpi in virtù della quale nascono le forze
gravitazionali. La massa inerziale rappresenta solo la proprietà che hanno i corpi, in virtù della
quale essi si oppongono alla variazione del loro stato di quieto o moto rettilineo uniforme.
Lo stesso Newton cercò di dimostrare che la massa gravitazionale ha lo stesso valore della massa
inerziale tramite il seguente esperimento.
Se si considera l’equazione del pendolo facendo la distinzione tra massa inerziale (che interviene
nella seconda legge della dinamica) e la massa gravitazionale (che interviene nella forza peso) si ha
mil
per il periodo delle piccole oscillazioni del pendolo la seguente formula T = 2π
mg g
l
solo se mg = mi .
g
Newton provo con diverse sostanza che aveva diverso peso senza trovare nessuna variazione nel
periodo T e concluse che poteva assumere mg = mi .
Questa formula si riduce alla formula T = 2π
La coincidenza della massa inerziali e gravitazionali è una fortuna coincidenza in meccanica
classica, mentre trova una spiegazione logica nella teoria della relatività generale: non si tratta di
due diverse proprietà della materia, ma di due differenti descrizioni del comportamento osservato
della materia. Questa identità viene presa come postulato fondamentale nella teoria.
Come esempio si consideri un astronauta in piedi in una navetta ferma sulla Terra. A causa della
gravità i suoi piedi aderiscono al pavimento della navicella con una forza pari al peso della persona,
w. Se si considera la stessa navicella nello spazio, lontana da qualunque oggetto e non soggetta in
alcun modo alla gravità, l'astronauta aderisce ancora al pavimento, se la navicella accelera. Se
l'accelerazione è pari a 9,8 m/sec2 (il valore di accelerazione di gravità sulla superficie della Terra),
la forza con cui l'astronauta rimane ancorato al pavimento della navicella è ancora uguale a w.
Senza guardare fuori dal finestrino, l'astronauta non è in grado di capire se la navicella si trovi
ferma sulla Terra o in accelerazione nello spazio.
