b. Calcolo degli enunciati

1
CALCOLO DEGLI ENUNCIATI
Daremo qui alcuni esempi di dimostrazione e di derivazione in un calcolo degli enunciati. Dimostreremo
inoltre alcuni metateoremi. Cominciamo intanto col richiamare i tre assiomi che verranno utilizzati, mentre come abbiamo già detto la sola regola di deduzione sarà il modus ponens (MP).
Assiomi.
A1. ⇒ ( ⇒ )
A2. ( ⇒ ( ⇒ )) ⇒ (( ⇒
A3. (
) ⇒ (( ⇒
⇒
) ⇒ ( ⇒ ))
)⇒ )
Si farà uso inoltre delle seguenti abbreviazioni
a. Se e
sono fbf, allora ( ∨ ) è un'abbreviazione di
⇒
b. Se e
sono fbf, allora ( ∧ ) è un'abbreviazione di ~ ( ⇒ ) .
c. Se e sono fbf, allora ( ⇔ ) è un'abbreviazione di ( ⇒ ) ∧ ( ⇒ ).
d. Se è una fbf e x un segno di variabile individuale, allora (∃x )( ) è un'abbreviazione di
(~ ((∀x )(~ ))) .
Nota. Nelle dimostrazioni formali, accanto ad ogni riga verrà data una breve descrizione della regola
applicata e delle formule su cui viene applicata. In particolare l’espressione
Sost ( 1 → A 2 , 1 → 2 , ...) in
è il risultato della sostituzione nello scema di formula
di 2 al
posto di 1 , di 2 al posto di 1 , ecc…
Se
, ,
,
sono fbf useremo la notazione Se
, ,
−− per indicare che è
.
conseguenza logica di
, ,
Teorema 1. ⇒ .
Dim.
1. ⇒ ( ⇒ )
2. ⇒ (( ⇒ ) ⇒ )
3. ( ⇒ ( ⇒ )) ⇒ (( ⇒
4. ( ⇒ ) ⇒ ( ⇒ )
5. ( ⇒ ( ⇒ )) ⇒ ( ⇒
6. ⇒
!
"
!
#
"
"
#
"
"
#
"
"
#
"
)⇒ (
#
"
"
"
"
)
"
(
⇒
"
%
)⇒
"
(
)
)
(
)
(
"
))
$
) ⇒ ((
)⇒
(
(
#
"
"
Sost ( →
Sost ( →
1-2, MP.
(
)
"
.
&
(
#
"
'
&
⇒
#
!
Teorema 2.
Dim.
1.
⇒~
2. (
⇒
3. (
⇒
.
A1.
Sost ( → ( ⇒ )) in A1.
Sost ( → ) in A2.
1-3, MP.
Sost ( → ( ⇒ )) in 4.
2-5, MP.
#
"
"
#
!
"
⇒
(
)⇒ )
(
*
(
)
(
) in Teor 1.
) in A3.
2
Molte dimostrazioni possono essere abbreviate se si fa uso di alcuni Metateoremi. Come vedremo, il
richiamo di un metateorema in una dimostrazione formale costituisce un’abbreviazione in quanto sta al
posto di un segmento di dimostrazione formale. Vedremo inoltre come alcuni dei metateoremi che seguono ci consentiranno di utilizzare i metasegni ∧, ∨, ⇔.
−− ( ⇒
).
Metateorema 1.
Dim1.
1. ⇒ ( ⇒ )
2.
3. ⇒
A1.
Ipotesi
1-2, MP.
Metateorema 2.
⇒ , ⇒
−− ⇒
Dim.
1. ⇒
2. ⇒
3. ⇒ ( ⇒ )
4. ( ⇒ ( ⇒ C )) ⇒ (( ⇒ ) ⇒ ( ⇒ C ))
5. ( ⇒ ) ⇒ ( ⇒ C )
6. ⇒
Ipotesi
Ipotesi
2. - Sost ( → ( ⇒
A2.
3-4. MP.
1-5. MP.
)) in Metateor. 1.
Se le ipotesi nelle dimostrazioni precedenti si suppongono come teoremi già dimostrati, si ottengono
immediatamente i seguenti metateoremi.
Metateorema 1’. Se
è teorema allora anche ⇒ è teorema.
Metateorema 2’. Se ⇒ e ⇒ sono teoremi allora anche ⇒ è teorema.
Metateorema 3. Se
,
,
sono fbf e per ogni i ∈ {1,
, n}
, allora
.
Dim. Segue dal metateorema 2 per induzione.
Metateorema 4. (teorema di deduzione). Se
allora ⇒ è teorema.
Dim. Se = allora l’enunciato si riduce banalmente al Teor. 1. Sia ≠ . Se
è teorema allora
⇒
è teorema per il metateorema 1’. Se
non è teorema allora deriva da fbf precedenti secondo
lo schema
⇒
1,
Se 1 ≡
o se 1 è assioma allora ⇒ è teorema. In caso contrario 1 è derivato per MP secondo lo schema
⇒
2,
!
"
!
#
!
!
#
%
#
$
#
$
#
)
(
)
#
&
#
'
#
)
)
(
,
+
+
*
+
-
&
,
+
&
1
In realtà non si tratta di una dimostrazione formale, cioè interna alla teoria formale, perché e sono posti come rappresentativi di teoremi qualsiasi già dimostrati, presupponendo così che essi siano preceduti da un qualche segmento di
dimostrazione. E’ per questo infatti che abbiamo qualificato l’enunciato come metateorema e allo stesso modo bisognerebbe parlare di Metadimostrazione. Parlare di dimostrazione e di teorema al posto di metadimostrazione e metateorema è tuttavia lecito se si ha chiaro che si svolgono nel metalinguaggio. Nel seguito quest’avvertenza non verrà più esplicitata.
.
/
3
Procedendo così, poiché la catena delle deduzioni è finita, deve esistere una successione finita
, ,
tale che , e solo tra gli elementi della successione, è assioma o è uguale ad ed inoltre ∀n ∈ {n − 1, ,1}
. Inoltre
i +1 ⇒
i . Dal metateorema 2’ segue per induzione che n ⇒ se è assioma applicando successivamente MP si ottiene una dimostrazione di teorema. Ma avendo ammesso precedentemente che non è teorema si ha = si identifica con ⇒ .
Metateorema 5. ⇒ ( ⇒
Dim.
1. ⇒ ( ⇒ )
2, ( ⇒ ( ⇒ )) ⇒ (( ⇒ 3. ( ⇒ ) ⇒ ( ⇒ )
4. ⇒ ( ⇒ )
5. ⇒ ( ⇒ )
Metateorema 6. ⇒ ( ⇒
Dim.
1. ⇒ ( ⇒ )
2.
3. ⇒ ( ⇒ )
4. ⇒ ) −− ⇒ ( ⇒
) ⇒ (
) −− (
Ipotesi
A2.
1-2, MP.
Sost ( → → 4-3 , Metateor. 2.
))
⇒
).
)
)
Ipotesi
Ipotesi
1, Metateor. 5.
2-3, MP.
Metateorema 7. ⇒ ~ −− ⇒
Dim. 1. ⇒~
2. (
⇒
) ⇒ (( ⇒ ) ⇒ )
3. (
⇒ )⇒
4. ⇒ (
⇒ )
5. ⇒ ⇒
che pertanto è un
e quindi n ⇒ .
Ipotesi
A3.
1.2, MP.
Sost ( → ) in A1.
4-3, Metateor. 2.
Metateorema 8. −− .
Dim.
1. 2. ⇒ ) ⇒ (( ⇒ ~
3. (
⇒ )⇒
⇒ 4. (
5. )⇒ )
Da qui segue subito
il teorema
Teorema 3. ⇒
Dim.
Dal Metat. 8 e Teorema di deduzione.
Ipotesi.
Teor. 1.
) in A3.
Sost ( → 2-3, Metateor. 6.
2-4, MP
in A1.
4
Metateorema 9. −− Dim.
1.
⇒
2. ) ⇒ ((
⇒
3. (
⇒ )⇒ ~ ~
4. (
⇒ )
5. ⇒ ( 6.
⇒
7. .
⇒
)⇒ ~ ~ )
Ipotesi.
Teor. 3
Sost ( → 2-3, MP
A3
1-6, MP.
6-4, MP.
→ ) in A3.
Da qui, come nel caso precedente, segue subito
Teorema 4. ⇒ .
Concludiamo questo breve percorso esemplificativo dimostrando il seguente metateorema, noto come
teorema dello Psedo-Scoto2.
Metateorema 10.
Dim.
1. 2. ⇒ (
⇒
3. 4. ⇒
5. ⇒
6. 2
−−
)
.
Ipotesi.
Ipotesi.
A1
2-3, MP.
4, Metateor. 7.
1-5 MP.
Questo teorema, noto fin dal Meioevo, è riportato in uno scolio erroneamente attribuito a Duns Scoto (da cui il nome). A
titolo esemplificativo vi si mostra come ammettendo contemporaneamente le due proposizioni contraddittorie “Socrate è” e
“Socrate non è”, si può dimostra la proposizione “l’uomo è asino” che non ha alcuna relazione con le precedenti. Ovviamente nella versione moderna formalizzata le due forme enunciative sono sottoposte alla condizione di essere fbf dello
stesso linguaggio; ma per il resto sono arbitrarie come nella versione classica.