LICEO SCIENTIFICO -” F.LUSSANA” - BERGAMO
PROGRAMMA DI MATEMATICA A.S. 2014/2015
CLASSE 1O
Testi in adozione:
L. Sasso "Nuova matematica a colori”, Algebra vol.1, ed. Petrini
Ascari, Morzenti, Valsecchi: “La geometria del piano e le trasformazioni”, ed. San Marco
ALGEBRA
TEMA A
Unità 1: Numeri naturali e numeri interi
L’insieme dei numeri naturali N: operazioni e loro proprietà, espressioni.
L’insieme dei numeri interi Z: operazioni e loro proprietà, espressioni.
Potenze e loro proprietà.
Divisibilità e scomposizione in fattori primi, MCD e mcm.
I sistemi di numerazione.
Le operazioni in insiemi finiti, classi di resto mod n
Unità 2: Numeri razionali
Frazioni e frazioni equivalenti.
L’insieme dei numeri razionali Q: confronto, operazioni e loro proprietà, espressioni.
Potenze a esponente intero negativo.
Numeri decimali. Notazione scientifica e ordine di grandezza.
Unità 3: Sistemi di numerazione
Dal sistema decimale ai sistemi in base diversa
Da un sistema di numerazione all’altro
TEMA B
Unità 4: Insiemi e operazioni
Insiemi, loro rappresentazione, insieme vuoto, insiemi uguali, insiemi finiti ed infiniti.
Sottoinsiemi, insieme universo e insieme complementare.
Gli insiemi come modello per risolvere problemi
Unità 6: Relazioni e funzioni
Il concetto di relazione
Le rappresentazioni di una relazione
Relazioni di equivalenza e ordinamenti.
Il concetto di funzione e rappresentazione nel piano cartesiano.
TEMA C
Unità 7: Monomi
Il calcolo letterale e le espressioni algebriche
Monomi e operazioni fra monomi.
Il calcolo letterale e i monomi per risolvere problemi.
Unità 8: Polinomi
Polinomi e operazioni con i polinomi.
Prodotti notevoli.
I polinomi per risolvere problemi
Unità 10: Scomposizione in fattori di polinomi
Introduzione alle scomposizioni e raccoglimenti
Scomposizione mediante prodotti notevoli
MCD e mcm fra polinomi.
Unità 11: Frazioni algebriche
Introduzione alle frazioni algebriche
Semplificazioni di espressioni.
1
Tema D
Unità 12: Equazioni di primo grado numeriche intere
Introduzione alle equazioni
Equazioni e identità
Equazioni equivalenti e principi di equivalenza per le equazioni
Equazioni intere numeriche di primo grado
Alcune particolari equazioni di grado superiore al primo
Problemi che hanno come modello un’equazione di primo grado
Unità 13: Equazioni di primo grado frazionarie
Semplici equazioni frazionarie
Unità 15: Funzioni numeriche
Funzioni reali di variabile reale
Il piano cartesiano e il grafico di una funzione
Le funzioni di proporzionalità diretta e inversa
Le funzioni lineari
Le funzioni di proporzionalità quadratica e cubica
Funzioni ed equazioni
GEOMETRIA
Capitolo1: La geometria nel piano
Introduzione alla geometria
Primi assiomi e teoremi. Rette parallele e incidenti
Fascio proprio e improprio di rette
Rette orientate, semirette, segmenti
Semipiani e angoli
Capitolo2: Trasformazioni geometriche e isometrie
1. Trasformazioni geometriche
2. Assioma della distanza
3. Isometrie e loro proprietà
4. Lunghezza del segmento e ampiezza dell’angolo
Capitolo3: Confronto e operazioni fra segmenti e angoli
1. Confronto di segmenti
2. Operazioni tra segmenti
3. Confronto di angoli
4. Operazioni tra angoli
5. Angoli particolari
Capitolo4: La simmetria assiale
1. Rette perpendicolari
2. La simmetria assiale
3. Prime proprietà della simmetria assiale
4. Distanza di un punto da una retta e oblique e proiezioni
Capitolo5: Applicazioni della simmetria assiale
1. L’asse del segmento
2. Altri invarianti delle isometrie
3. Poligoni e triangoli
4. Il triangolo isoscele
5. La bisettrice dell’angolo.
Bergamo, 05.06.2015
Il docente
---------------------------------------
I rappresentanti degli studenti
--------------------------------------------
-------------------------------------------2
LAVORO ESTIVO
Il lavoro proposto per il periodo estivo è da svolgere in modo completo secondo le indicazioni. Se qualche
esercizio creasse qualche problema, è importante riportare comunque il testo e lasciare lo spazio vuoto per
lo svolgimento segnalando in breve perché non si riesce a risolverlo. Riportare un eventuale svolgimento,
anche se errato. Rivedere, per ogni argomento, il lavoro svolto in classe e le spiegazioni del libro di testo.
Alunni con sospensione del giudizio
Si ricorda che gli studenti con sospensione del giudizio dovranno sostenere, prima dell’inizio del prossimo
anno scolastico, una prova d’esame (secondo il calendario che verrà comunicato sul sito) consistente in una
prova scritta e una orale, in cui verranno verificate sia le conoscenze che le abilità operative.
Le schede caricate in Dropbox nella cartella recupero estivo costituiscono il materiale che verrà
utilizzato nei corsi di recupero estivi. Tali schede vanno stampate e portate al corso di recupero.
Gli esercizi svolti al corso e i relativi compiti vanno poi consegnati in sede di esame a settembre. Questo vale
anche per chi non si avvalesse dei corsi.
Si consiglia la lettura di almeno uno dei due seguenti testi:
- FLATLANDIA di E. Abbot ed. Adelphi
- LA CHIOMA DI BERENICE di D. Guedj ed Mondadori
3
IL CALCOLO CON LE LETTERE E LE EQUAZIONI
Pag.452: 55,57,59,62,64,67,68,72
Pag.456: tutto il test da 1 a 30
ESERCIZIO1] Semplifica le seguenti espressioni
2 a
1 2a 2 b 2a 2 b b 2 3a 13a 1 : 3a 2
2
2b
a
2 2
2
2b
: 8a b
2 2
Soluzioni
4 2
a + 3b2
3
2 - 1
1 -
2 2
2
2 3 1 4 2
1 2
1
2
3 2a b a b a b : a b 2 : 2b 2 2a 2 2b a 2
2
4
2
2
3 64b4
2
2 2
2
1
2 1 3 1 2 1
4 5a a a : a 3a 8a 4 2a 3 : 2a 2 : 3a 2
8 2
2
4
5 x - 1 6 x 2 3x3 6 x 4 3x5 : 3x 2 3 : 4 x 2
3
2
1
4
2
2
1
4
6 x 4 x 2 : x 2 3 x 3x 2 x x 2 : x
9
3
3
3
3
3
8
3
a + 3bc + c a 3bc c : c
2 2
2 2
2
2
3
3
2
1
1
1 1
9 a + a 3a a : a
3
3
3 3
1 2
a 2a 3
3
1
5 x 2 x 1
4
6 6x + 3
4
1 3 3 2 2
a b - a b + 9ab - 27
27
8 16a2 96abc 144b2c 2
7
9 3a2 6a 1
ESERCIZIO2] Semplifica le seguenti espressioni fra frazioni algebriche
1
m +1
1 2
m
2
m
2
m
2
2
1 1
m -1
2
:
m
2
m
2
m m2 4
4
a 2 3a 2 a 2 3a 2 4a
20
:
2 2
2
2
a a 2 5 5a 3a
a 1 a a 2
5 x 2 x 3 x 2 3x 2 8
3 x 4 1 : x 1
x
2
3
x 1 x 2 3x 9 x
3a 1 6a 2 1 a 2 1
4
: 2
a 2 a 4 a 2
2
2
3
2
5 x 45
81 x 2
49 49 x
4x + 4
5 2
2
2
2
x 8 x 9 81 18 x x 9 x 18 7 x x x 2
2
x
y x y x
y x
y
:
6 1 1 : 1
x
4 xy x y y x x y x y
y
1
2
1 a b a 2b
a
2b
7 2
2 :
: 2
2
2
1
2
2
2
ab b ab 2a ab b
2a 3ab b
a b
a
1 1
1
1
2
1
1
8
2 2 2
:
3
2
y x 2 xy y xy
x y x y x
Soluzioni
1
m4
3
2 3
y
25
3
9a 2
4 x 2 x 1
1
5 1
2a
a+2
7 x + 16
6
8 4
a+b
ab
1
10 xy
9
ESERCIZIO3] Risolvi le equazioni
Numeriche fratte: sul libro di testo da pag.538: da 295 a 301, 303, 307, 309
ESERCIZIO4] Risolvi i seguenti problemi
Sul libro di testo da pag.497: 320, 325; pag.502: 396
Sul libro di testo da pag.536: 259, 263, 264, 273, 281, 289
4
ESERCIZIO5] Risolvi i seguenti problemi
1. Alla fine di un campionato a 18 squadre, comprensivo di girone di andata e di ritorno, una squadra ha
totalizzato 31 punti. Sapendo che la vittoria vale 3 punti, il pareggio 1 punto e la squadra ha pareggiato
una sola volta, quante vittorie e quante sconfitte ha conseguito la squadra? vinte 10; perse23
2
1
delle sue figurine. Gioca ancora e ne perde
di quante gliene erano
5
4
rimaste. Alla fine ha in tasca 72 figurine. Quante ne aveva all’inizio del gioco? 160
2. Un ragazzo perde giocando i
3. Per una gita scolastica a cui partecipa un’intera classe, gli alunni devono pagare 44 euro a testa.
All’ultimo momento due alunni non possono partecipare alla gita e quindi il costo deve essere ripartito tra
i soli alunni che vi parteciperanno. Si calcola che, visto che i due assenti non hanno pagato, ognuno
deve aggiungere 4 euro alla quota precedentemente stabilita. Quanti sono gli alunni della classe? 24
4. Si vuole suddividere un insieme di 50 persone in tre gruppi, in modo che nel secondo gruppo ci siano 5
persone in più che nel primo, e nel terzo ci siano il doppio delle persone che ci sono nel secondo.
Quante persone ci sono in ciascuno dei tre gruppi? Impossibile
5. Un ciclista pedala in una direzione a 30 km all’ora. Un marciatore parte a piedi dallo stesso punto e alla
stessa ora, ma va in direzione opposta a 6 km all’ora. Dopo quanto tempo saranno lontani 150 km?
4h 10' oppure 250'
6. Giovanni ha in tasca 10 euro in più di Aldo, il quale ha la metà dei soldi di Livio, che ha il triplo del
denaro di Tommaso. I quattro fratelli decidono di unire tutte le loro sostanze per acquistare una maglia
del costo di 87 euro per la loro mamma e non avanzano nulla. Quanto aveva in tasca Aldo?
16,50euro
7. Il signor Rossi ha risparmiato nello scorso anno il 2% del suo guadagno e, nel corrente anno, intende
1
il risparmio precedente e cioè risparmiare 800 euro. Quanto ha guadagnato il signor
3
Rossi nello scorso anno? 30.000euro
aumentare di
8. Trova le età di due fratelli sapendo che la loro somma è 50 anni e che fra cinque anni l’età del maggiore
7
dell’età del minore. Calcola poi quanti anni fa l’età del maggiore era il doppio dell’età del
5
minore? 30 e 20;10 anni fa
sarà i
9. Un treno parte da una stazione e viaggia alla velocità costante di 120 km/h. Dopo 80 minuti parte un
secondo treno dalla stessa stazione e nella stessa direzione alla velocità di 150 km/h. Dopo quanti km il
secondo raggiungerà il primo? 800km
10. Esiste un valore di n per il quale n
2
1 0 ? Rispondi alla stessa domanda per n 3 1 0 e per
n2 1 0
11. Un organismo unicellulare che si riproduce per scissione è posto in un brodo nutritivo con risorse
praticamente illimitate. Tracciare un grafico che descriva un possibile andamento dell’evoluzione del
numero di organismi nel tempo.
12. Calibano è stato assunto in un’azienda statale con il seguente contratto di lavoro (relativamente
all’aumento dello stipendio nel tempo):
a. Stipendio base di 800 euro e scatto annuale di anzianità uguale all’1,5% dello stipendio di base.
Supponendo che l’inflazione rimanga costante e che quindi non vi siano motivi per adeguare lo
stipendio base all’inflazione, quanto guadagnerà Calibano fra 5 anni? E fra dieci? Esprimete una
5
funzione che descriva l’aumento nel tempo dello stipendio di Calibano. Quale valore massimo
raggiungerà tale stipendio, sapendo che Calibano ha 30 anni e che potrà lavorare fino a 65 anni?
Ariele è stato assunto in un’azienda privata con il seguente contratto di lavoro (relativamente
all’aumento dello stipendio nel tempo):
b. Stipendio base di 700 euro e scatto annuale di anzianità uguale all’1,6% dello stipendio dell’anno
precedente. Supponendo che l’inflazione rimanga costante e che quindi non vi siano motivi per
adeguare lo stipendio base all’inflazione, quanto guadagnerà Ariele fra 5 anni? E fra dieci?
Esprimete una funzione che descriva l’aumento nel tempo dello stipendio di Ariele. Quale valore
massimo raggiungerà tale stipendio, sapendo che Ariele ha 30 anni e che potrà lavorare fino a 65
anni?
c. Confrontate le due funzioni che esprimono come variano nel tempo gli stipendi di Ariele e Calibano;
quale contratto preferireste e perché?
GEOMETRIA
1] Due triangoli isosceli ABC e ABD hanno in comune la base AB e si trovano nello stesso semipiano di
frontiera rAB, con AD<AC. Dimostra che
1. La bisettrice di ACˆ B passa per D
2. Sono congruenti gli angoli CAˆ D, CB̂D
3. Il triangolo CEF è isoscele, essendo {E}=ACrBD, {F}=BCrAD
4. I triangoli ADE e BFD hanno gli angoli ordinatamente congruenti
2] Sia ABC un triangolo isoscele di base BC; siano x, y gli assi dei lati AB, AC e si intersechino in P; siano BK e
CH altezze e si intersechino in Q. Dimostra che
1. I punti A, P, Q sono allineati
2. Il triangolo PHK è isoscele
3. Il triangolo BQC è isoscele
4. I triangoli APB e APC sono isosceli
5. Le rette x, y sono rispettivamente parallele a CH, BK
6. BCKH è un trapezio isoscele
7. AH<AQ
8. AB<2AP
3] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia O il circocentro. Sia M il punto medio di AO ed N quello di
OB. Siano OHAC e OKBC, con H, K punti sui lati del triangolo. Dimostra che
1. Il triangolo OMN è isoscele
2. Il triangolo OHK è isoscele
3. H e K sono i punti medi di AC e BC
4. MNKH è un trapezio isoscele
5. I triangoli AOC e BOC sono isosceli
4] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia T l’incentro. Siano P e Q le intersezioni dei segmenti BC e AC
rispettivamente con le rette rAT e rBT. Siano x, y le bisettrici degli angoli esterni in A e B del triangolo, che si
incontrano in K. Dimostra che
1. AB è parallelo a PQ
2. K si trova sulla retta rCT
3. Sono isosceli i triangoli CPQ, PQT, TAB
4. I triangoli QAT e PBT hanno gli angoli rispettivamente congruenti
5. TH<PT oppure THPT (distingui in quali condizioni si verificano i due casi), essendo {H}= ABrCT
6. Il punto K ha la stessa distanza dalle rette contenenti i lati del triangolo
6
5] Dato il triangolo isoscele ABC, prolunga i due lati, dalla parte del vertice A, di due segmenti congruenti AE
ed AD (con AEAB); unisci B con D e C con E e sia O il punto di intersezione delle rette rBD e rCE. Essendo M il
punto medio di BC, siano H e K la sue proiezioni sui segmenti OB ed OC. Dimostra che
1. BD è congruente a CE
2. O appartiene alla retta bisettrice dell'angolo BA^C.
3. Il quadrilatero OHMK ha i lati a due a due congruenti e le diagonali perpendicolari
4. DEKH è un trapezio isoscele
5. MK<AC
6] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia CH una altezza. Sia Q un punto di CH tale che il AQ divida
l’angolo CAˆ B in due angoli congruenti. Siano S ed R le proiezioni ortogonali di Q su AC e BC rispettivamente;
siano M ed N i punti medi di CS e CR. Dimostrare che
1. Il triangolo AQB è isoscele
2. Gli angoli QHˆ R e QRˆ H sono congruenti
3. Gli angoli RBˆ Q e QB̂H sono congruenti
4. Il quadrilatero SRNM è un trapezio isoscele
Sia poi {O}=MRNS. Dimostrare che
5. O, C, H sono allineati
Si traccino ora le rette rNS e rMR, che intersecano la retta rAB in E ed F. Dimostrare che
6. EH è congruente ad HF.
7] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia CH una mediana, M ed N i punti medi rispettivamente di AC
e BC. Sia O l’intersezione fra CH e l’asse del lato AC. Dimostrare che
1. Il triangolo ABO è isoscele
2. Gli angoli OĈB e CB̂O sono congruenti
3. I segmenti MN e AB sono paralleli
4. La retta rON è perpendicolare a BC
Si traccino poi da M e N le parallele x e y rispettivamente ad OA e OB, che si intersecano in F e secano i lati
AC e BC rispettivamente in R ed S. Dimostrare che
5. C, H, F sono allineati
6. MNSR è un trapezio isoscele.
8] Sia ABC un triangolo acutangolo e isoscele di base BC. Indica con AH l’altezza relativa alla base (con
HBC) e indica con L il circocentro del triangolo. Dimostra che:
1. Il triangolo ABL è isoscele
2. LH < LA
Prolunga i lati AB e AC dalla parte di A di due segmenti congruenti AD e AE (con AD<AB). Da D e da E traccia
le rette s e r rispettivamente parallele ad AC e ad AB, che intersecano in G ed F la retta BC. Detto O il punto
di intersezione delle rette r ed s, dimostra che:
3. AH è bisettrice dell’angolo EÂD
4. L’angolo è congruente alla metà dell’angolo EÂD
5. D ed E sono simmetrici rispetto alla retta AH
6. O è un punto della retta AH
7. DEFG è un trapezio ed è isoscele
7
