La Legge di Gauss per il Campo Magnetostatico

La Legge di Gauss per il Campo Magnetostatico
Graziano Donati
Consideriamo una distribuzione volumetrica di corrente elettrica J V(r') nello spazio, e consideriamo un generico punto
P(x,y,z) individuato dal vettore r=xi+yj+zk. Il vettore densità di flusso magnetico B(r) in tale punto può essere ottenuto
mediante la legge di Biot e Savart:
n
B ^ r h = 4r
# J ^rlh # ^rr -- rrllh dV l
V
3
V
Dall'analisi vettoriale sappiamo che:
JV ^ rlh #
^ r - rlh
= dc
r - rl 3
1
m # JV ^ rlh
r - rl
Inoltre, per l'identità vettoriale
d # ^ z ^ r h A ^ r hh = z ^ r h d # A ^ r h - A ^ r h # dz ^ r h
da cui:
dz ^ r h # A ^ r h = d # ^ z ^ r h A ^ r hh - z ^ r h d # A ^ r h
si ha:
JV ^ rlh #
^ r - rlh
r - rl 3
= dc
1 J ^ rlh - 1 d # J ^ rlh
1
m
m # JV ^ rlh = d # c
V
l
r - rl
r - rl V
r-r
Poichè la densità di corrente JV(r') dipende dalle coordinate x',y',z' mentre l'operatore differenziale ∇ è riferito alle
variabili x,y,z allora risulta ∇ × JV(r')=0. Abbiamo allora:
JV ^ rlh #
^ r - rlh
= d #c
r - rl 3
1 J ^ rlh
m
r - rl V
Sostituendo questa espressione nella legge di Biot e Savart, possiamo scrivere:
n
B ^ r h = 4r
# J ^rlh # ^rr -- rrllh dV l = 4rn # d # c r -1 rl J ^rlh mdV l
V
V
3
V
V
L'integrazione è riferita alle variabili x',y',z' mentre l'operatore differenziale ∇ è riferito alle variabili x,y,z. Di
conseguenza, l'operatore ∇ può essere portato fuori dal segno di integrale:
# Jr -^rrllh dV ln
n
B ^ r h = d # d 4r
V
V
Una volta calcolato l'integrale di volume al secondo membro (rispetto alle variabili x',y',z' tutto ciò che è contenuto
entro parentesi tonde è una funzione vettoriale di x,y,z. Indichiamo tale funzione vettoriale con A(x,y,z). Abbiamo
allora:
n
J V ^ rlh
con: A(r) = d
dV l n
B ^ r h = d # A(r)
4r
#
V
r - rl
Calcolando la divergenza di ambo i membri di questa uguaglianza, abbiamo:
d $ B^ r h = d $ 6d # A(r)@
Ma dall'analisi vettoriale, sappiamo che la divergenza del rotore di una qualsiasi funzione vettoriale è sempre uguale a
zero. Abbiamo allora:
d $ B^ r h = 0
Abbiamo quindi il seguente teorema:
TEOREMA. Legge di Gauss per il campo magnetostatico (Forma differenziale). Data una generica distribuzione
volumetrica di corrente elettrica JV(r), in qualunque punto dello spazio, la divergenza del vettore densità di flusso
magnetico B(r) è sempre uguale a zero. Ovvero:
d $ B^ r h = 0
Calcolando l'integrale di volume di ambo i membri di tale uguaglianza, su un dato volume V, otteniamo:
# d $ B(r) dV = # 0dV
V
V
Per il teorema della divergenza, l'integrale a primo membro può essere trasformato in un equivalente integrale di
superficie, calcolato sulla superficie S che limita il volume V, ovvero:
# B(r) $ dS = 0
S
Abbiamo quindi, il seguente teorema:
TEOREMA. Legge di Gauss per il campo magnetostatico (Forma integrale). Data una generica distribuzione
volumetrica di corrente elettrica J V(r), in qualunque punto dello spazio, l'integrale di superficie chiuso di seconda specie
del campo di induzione magnetica B(r) , calcolato su una qualsiasi superficie chiusa S, è sempre uguale a zero. Ovvero:
# B(r) $ dS = 0
S