La Legge di Gauss per i Campi Elettrostatici

La Legge di Gauss per i Campi Elettrostatici
Graziano Donati
Nei testi di fisica e di ingegneria la legge di Gauss per i campi elettrostatici viene dimostrata, partendo dalla
sua versione integrale, mediante argomentazioni geometriche che non reputo sufficientemente rigorose. Di
seguito ho sviluppato una nuova dimostrazione che fa uso della funzione delta di Dirac tridimensionale
(quindi della teoria delle distribuzioni) per ovviare all'inconveniente. In questo approccio, viene dimostrata
come prima cosa la legge di Gauss nella sua forma differenziale, partendo esclusivamente dall'espressione
del campo elettrostatico generato da una distribuzione volumetrica di carica. Successivamente facendo uso
di alcune identità dell'analisi vettoriale, ed in particolare, del fatto che il laplaciano scalare della funzione
1/|r-r'| è uguale ad una funzione delta di Dirac tridimensionale localizzata nel punto r', si giunge
all'espressione differenziale della legge di Gauss in maniera assolutamente rigorosa e in modalità
completamente analitica. La forma integrale segue immediatamente applicando il teorema integrale della
divergenza.
Legge di Gauss in forma differenziale per i campi Elettrostatici
Consideriamo una generica distriuzione di carica nello spazio, che può essere costituita da un misto di distribuzioni
puntiformi, lineari, superficiali e volumetriche. Consideriamo poi una generica superficie chiusa S che racchiuda una
parte (o anche tutte) delle distribuzioni di carica suddette. Nello spazio si verrà a generare un campo elettrico E(r)
dovuto a tutte le distribuzioni di carica presenti. Abbiamo allora la seguente legge di Gauss, in forma differenziale, per i
campi elettrostatici:
Legge di Gauss per i campi elettrostatici (forma differenziale). Data una generica distribuzione volumetrica di carica
elettrica ρV(r), in qualunque punto dello spazio, la divergenza del vettore densità di flusso elettrico D(r) è sempre
uguale alla densità di carica elettrica ρV(r) nel medesimo punto. Ovvero:
d $ D (r) = tV (r)
Dimostrazione
Considerata una generica distribuzione volumetrica di carica elettrica ρV(r'), si viene a generare un campo elettrostatico
nello spazio dato da:
1
E (r) = 4rf
# t (rl) rr -- rrll
V
3
dV l
V
Poichè dall'analisi vettoriale sappiamo che
1
E (r) = 4rf
# t (rl)c-dc r -1 rl mmdV l
r - rl =-d 1
possiamo allora scrivere:
r - rl 3
r - rl
V
V
Calcolando la divergenza di ambo i membri di tale uguaglianza, otteniamo:
1
d $ E (r) = d $ < 4rf
# t (rl)c-dc r -1 rl mmdV lF
V
V
Al secondo membro l'operatore di divergenza può essere portato all'interno dellintegrale di volume (infatti
l'integrazione di volume è riferita alle variabili x',y',z' mentre l'operatore di divergenza è riferito alle variabili x,y,z).
Abbiamo allora:
1
d $ E (r) = 4rf
# t (rl)c-d $ dc r -1 rl mmdV l
V
V
2
Poichè d $ d = d (La divergenza di un gradiente è uguale al laplaciano scalare)
# t (rl)cd c r -1 rl mmdV l
1
d $ E (r) =- 4rf
V
2
V
Ma dall'analisi vettoriale sappiamo che d 2 c
# t (rl)^-4rd^r - rlhh dV l
1
d $ E (r) =- 4rf
ovvero:
d $ E (r) = 1
f
V
V
# t (rl)d^r - rlh dV l
4r
d $ E (r) = 4rf
da cui:
1
m =- 4rd ^ r - rlh possiamo scrivere:
r - rl
V
V
# t (rl) d^r - rlh dV l
V
V
Dall'analisi vettoriale e dalla teoria della funzione delta di Dirac tridimensionale si ha:
# z^rlh d^r - rlh dV l = z^ r h per qualsiasi funzione z^rlh, quindi abbiamo:
V
d $ E (r) = 1f tV (r)
Moltiplicando ambo i membri per ε otteniamo:
fd $ E (r) = tV (r)
La costante dielettrica ε può essere portata dentro l'operatore di divergenza, ottenendo:
d $ fE (r) = tV (r)
Poichè fE (r) = D (r) abbiamo:
d $ D (r) = tV (r)
Con ciò il teorema è dimostrato
Legge di Gauss in forma integrale per i campi Elettrostatici
Consideriamo una generica distriuzione di carica nello spazio, che può essere costituita da un misto di distribuzioni
puntiformi, lineari, superficiali e volumetriche. Consideriamo poi una generica superficie chiusa S che racchiuda una
parte (o anche tutte) delle distribuzioni di carica suddette. Nello spazio si verrà a generare un campo elettrico E(r)
dovuto a tutte le distribuzioni di carica presenti. Abbiamo allora la seguente legge di Gauss, in forma integrale, per i
campi elettrostatici:
Legge di Gauss per i campi elettrostatici (forma integrale). Data una generica distribuzione volumetrica di carica
elettrica ρV(r), il flusso del vettore D(r) che tale distribuzione genera nello spazio, calcolato attraverso una qualsiasi
superficie chiusa S, è sempre uguale alla carica elettrica totale QT racchiusa nel volume V limitato dalla superficie
chiusa S. Ovvero:
# D (r) $ dS = # t (r)dV
V
S
V
Dimostrazione
Considerata una generica distribuzione volumetrica di carica elettrica ρV(r'), vale la legge di Gauss per i campi elettrici
appena dimostrata, ovvero:
d $ D (r) = tV (r)
Calcolando l'integrale di volume di ambo i membri di tale uguaglianza, su un dato volume V, otteniamo:
# d $ D (r) dV = # t (r) dV
V
V
V
Per il teorema della divergenza, l'integrale a primo membro può essere trasformato in un equivalente integrale di
superficie, calcolato sulla superficie S che limita il volume V, ovvero:
# D (r) $ dS = # t (r)dV
V
S
V
Con ciò il teorema è dimostrato.