Algebra Lineare e Matrici
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Introduzione
L’algebra lineare è uno strumento matematico essenziale
praticamente in tutti i contesti scientifici. Considerando la
vastità, nonché la concettuale complessità, di questo ramo
della matematica, si rende indispensabile procedere attraverso
un’estesa semplificazione dei concetti.
Almeno in prima istanza, il nostro primo obiettivo principale è
quello di fornire allo studente le conoscenze sufficienti per
lavorare con le matrici e saper risolvere (quando ciò è
possibile) un sistema lineare.
Nell’ultima parte del corso, studieremo la diagonalizzazione di
matrici e vedremo alcune applicazioni geometriche di questi
concetti (riduzione a forma canonica di una conica).
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Matrici
Una matrice A, di tipo (m × n), a coefficienti reali è una tabella
del tipo:
a11 a12 · · · · · · a1n
a21 · · · · · · · · · a2n
A= .
,
(1)
..
..
..
..
..
.
.
.
.
am1
···
···
···
amn
dove i coefficienti aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
i è l’indice di riga;
j è l’indice di colonna.
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Matrici: fatti generali
• m è il numero di righe;
• n è il numero di colonne;
• Scriviamo: A = [aij ] ∈ Mm,n (R);
• Se m = n, diciamo che A è quadrata e scriviamo
A ∈ Mn (R) ;
• Mm,n (C).......
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Matrici: fatti generali
Definizione: Sia A = [aij ] ∈ Mm,n (R). Chiameremo diagonale
principale di A quella formata dai coefficienti con i = j, cioè
dagli aii , dove 1 ≤ i ≤ p, con p = Min{m, n} (quest’ultima
scrittura significa che p è il più piccolo tra m e n).
Definizione: Sia A = [aij ] ∈ Mm,n (R). Diremo che A è una
matrice triangolare superiore (inferiore) se tutti i coefficienti
al di sotto (sopra) della diagonale principale sono nulli.
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Matrici: fatti generali
Esercizio: Riesprimere la definizione di matrice triangolare
usando gli indici di righe e colonne.
Soluzione: Sia A = [aij ] ∈ Mm,n (R). Diremo che A è una matrice
triangolare superiore se
(i > j) ⇒ (aij = 0) .
In modo analogo, diremo che A è una matrice triangolare
inferiore se
(i < j) ⇒ (aij = 0) .
(2)
(3)
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Matrici: fatti generali
Definizione: Sia A = [aij ] ∈ Mm,n (R). Si indica col simbolo t A (si
legge trasposta di A) la matrice, di tipo n × m, che si ottiene da
A invertendo i ruoli di righe e colonne: cioè, la prima riga di A
diventa la prima colonna di t A, etc.
Definizione: Sia A = [aij ] ∈ Mn (R). Diremo che A è simmetrica
se t A = A .
Osservazione: La condizione t A = A può anche essere
riformulata mediante la richiesta
aij = aji
∀ i, j .
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Operazioni con le matrici: somma
Somma di matrici: Siano A = [aij ], B = [bij ] 2 matrici di tipo
m × n (cioè A,B ∈ Mm,n (R)). Definiamo
A + B = [aij + bij ] ∈ Mm,n (R) .
(5)
In pratica, stiamo dicendo che la somma avviene coefficiente
per coefficiente.
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Operazioni con le matrici: moltiplicazione per uno
scalare
Moltiplicazione di una matrice per un numero reale: Siano
A = [aij ] ∈ Mm,n (R) e λ ∈ R. Definiamo
λ A = [λ aij ] ∈ Mm,n (R) .
(6)
In pratica, ognuno dei coefficienti di A è moltiplicato per λ .
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Prodotto righe per colonne
Prodotto (righe per colonne) di due matrici: Siano
A = [aij ] ∈ Mm,n (R), B = [bkl ] ∈ Mn,p (R). Il loro prodotto
C = A · B ∈ Mm,p (R) è definito mediante
C = [cil ] ,
dove
1 ≤ i ≤ m,
1≤l≤p,
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n
cil = ∑ aij bjl .
(8)
j=1
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