Forme canoniche e funzioni di matrice

A
Paolo Emilio Ricci
Forme canoniche e funzioni di matrice
Teoria di Jordan
Copyright © MMXV
Aracne editrice int.le S.r.l.
www.aracneeditrice.it
[email protected]
via Quarto Negroni, 
 Ariccia (RM)
() 
 ----
I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,
di riproduzione e di adattamento anche parziale,
con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.
Non sono assolutamente consentite le fotocopie
senza il permesso scritto dell’Editore.
I edizione: gennaio 
In memoria di
Rosalba Faraone Ricci
Vittoria Scialoja (2003) - Rosalba
Indice
1 Richiami sull’algebra delle matrici
1.1 Definizioni e prime proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1.1.1
Polinomi in una matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.2
Matrici simili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.1.3
Forma canonica di Jordan. Divisori elementari . . . . . . 10
1.1.4
Autovettori e vettori principali . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Determinazione del polinomio minimo . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 Il caso delle matrici diagonalizzabili
31
2.1 Decomposizione spettrale di una matrice
diagonalizzabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Operatori di proiezione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Formule di rappresentazione per funzioni analitiche di matrice 39
3.1 Funzioni analitiche di una matrice
diagonalizzabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1
Risolvente. Calcolo degli operatori. Identità di Hilbert . 41
3.1.2
Formule di Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3
Metodo del polinomio interpolatore . . . . . . . . . . . . 48
3.1.4
Formula di Lagrange-Sylvester . . . . . . . . . . . . . . . 49
4 Esempi
61
4.1 Esempio 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.1
Primo metodo: Formula di Riesz-Fantappiè . . . . . . . 63
v
vii
viii
Indice
4.1.2
Secondo metodo: Polinomio interpolatore . . . . . . . . . 64
4.1.3
Terzo metodo: Formula di Lagrange-Sylvester . . . . . . 65
4.2 Esempio 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.2.1
Primo metodo: Formula di Riesz-Fantappiè . . . . . . . 68
4.2.2
Secondo metodo: Polinomio interpolatore . . . . . . . . . 70
4.2.3
Terzo metodo: Formula di Lagrange-Sylvester . . . . . . 72
5 Applicazione a matrici che intervengono in problemi fisici
75
5.1 Forma esponenziale di matrici 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2 Forma esponenziale di matrici 3 × 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 81
vi
Introduzione
Il presente volume contiene parte delle lezioni di un corso da me tenuto per
diversi Anni Accademici presso la Facoltà di Scienze M.F.N. dell’Università di
Roma “La Sapienza”.
La teoria delle funzioni di matrice, che interessa alcuni settori della Fisica
e dell’Ingegneria, è stata oggetto in passato di numerosi studi e si trova
magistralmente esposta, insieme con molti altri argomenti, nel classico testo
di F.R. Gantmacher: “Matrix Theory”. Tuttavia, negli ultimi tempi, questo
argomento non ha trovato posto nei corsi di insegnamento universitario, tanto
che esso viene ignorato in testi didattici anche molto diffusi, quali quello di
M.W. Hirsch – S. Smale: “Differential equations, Dynamical Systems, and
Linear Algebra”.
Si sono volute qui ricordare, in modo conciso, le principali linee costruttive
della teoria, rinviando a testi più specifici per ulteriori approfondimenti.
Il volume si rivolge agli studenti dei corsi della laurea specialistica in
Applicazioni della Matematica e a quelli delle Facoltà di Ingegneria.
Gli esempi ed esercizi presentati nel testo sono per la maggior parte dovuti
agli studenti che hanno frequentato il corso e, in particolare, alla Dott. Stefania
Serpericci che ha dedicato all’argomento la sua tesi di laurea effettuando
opportune scelte del vasto materiale a disposizione e verificando tutti i risultati.
Ringrazio in anticipo quanti vorranno segnalare possibili errori di stampa
ed inviarmi commenti atti a rendere didatticamente più efficace il testo.
Roma, Settembre 2010.
Paolo E. Ricci
iii
ix