ANALISI 1 : FORMULARIO ESSENZIALE

ANALISI 1 : FORMULARIO ESSENZIALE
Numeri complessi e formule di de Moivre per le radici e le potenze:
-
+
= || cos
+ sin ; = || cos "
#
#̅
= ||||
cos
+ , + sin
+ , ;
-
"
#
"
-
FGH 1
=1
1
"1? I"
1
;
=7.
lim1→@
"IJ<F 1
1%
"
= ; lim1→@
1?
* 4 I"
1
= 0 - lim1→@A B 3 |log * B|D = 0 ⇔ 7, : > 0 ; ' > 1
= log ' ;
K ~∗1M N
K ~1M N
(3) Asintoticità:
Funzioni iperboliche
sinh B =
W 4 IW X4
P
4
K = L1M N ⇔ lim1→1O Q
(2) Dello stesso ordine di:
-
;<=> 15
Asintoticità e trascurabilità
(1) Relazione “o piccolo”:
-
;
cosh =
W 4 W X4
4
=0 ;
P
4
⇔ lim1→1M Q
lim1→@
4
=,
P
4
⇔ lim1→1O Q
4
=1.
;<=> 1"
1
"
= ;<= * = log * - ;
,TU ;
; Y-ZZY[ℎ = log]B + √B + 1^ ; Y-ZZ_LYℎ = log]B + √B − 1^
TEOREMI
(1) Teorema fondamentale dell’algebra: ogni polinomio non costante in una variabile a
coefficienti in C ammette almeno una radice in C
(2) Teorema fondamentale dell’aritmetica: ogni numero composto ammette, a meno dell’ordine,
un’unica rappresentazione come prodotto di fattori primi
(3) Teorema fondamentale del calcolo:
+
` K
1 aB = bc
+ − c
* d
*
(4) Teorema di TorricelliTorricelli-Barrow:
Barrow
∎
′
f` K i
h
-
̅ = ||
cos
− + sin
−;
Limiti notevoli e casi particolari
34
lim1→@
+
(k=0,1,…,m-1); − = 0
= |#| cos
− + sin
− ; ||- . = = ||
cos
sin
.
lim1→∞ 1 5 = +∞ ⇔ 7 > 1, : > 0 ; lim1→∞
lim1→@
*
̅ = || ; || = √' + ( ; cos , sin = |#| , |#| ;
= |#|% ;
sin Principali metodi di integrazione
(1) Integrazione per sostituzione:
(2) Integrazione per parti:
j` K
1 aBk
l
m 1
= ]ec
1 d+*e
= K
1
p
= ` K
l
m Φ
o
aZ
` c
1 N
1 aB = c
1 q
1 − ` K
1 q
1 aB
1
-
Calcolo delle primitive di una funzione razionale fratta
Sia K
1 =
r
4
s
4
una funzione, e sia m=deg(A) e n=deg(B):
r
4
(1) Se m≥n, allora
⇒
s
4
(2) Se m<n, allora:
i)
Se K
1 =
*
1I3
v
1 = w
1 x
1 + U
1 quindi si ha:
`
v
1
U
1
aB = ` w
1 aB + `
aB
x
1
x
1
allora y K
1 aB = ' log|B − 7| + z ;
ii)
Se K
1 =
*
1I3{
iii)
Se K
1 =
*1+
1 % h1~
*
"
allora y K
1 aB = − |I" 1I3
{X} + z ;
e il denominatore presenta due radici reali distinte, allora:
*1+
K
1 = 1I3
1ID =
r
1I3
s
+ 1ID
v=
t.c. :
+*3
3ID
; x=−
+*D
3ID
y K
1 aB = v log|B − 7| + x log|B − :| + z ;
iv)
Se K
1 =
*1+
1 % h1~
e il denominatore presenta discriminante minore di zero, allora:
h
 = − ; € = a −
B + _B + a = B −  + € t.c. :
Da cui: y K
1 aB =
-
*
log
B −  + € +
Calcolo dell’area
ˆ
4A}
v…-' † = ‡ `
ˆ‰" ˆ4
-
Binomio di Newton
1Iƒ
+
„
'…_ZN z.
Kˆ
1 aB
[
' + ( = ‡ '
( I
z
-
*ƒ+
„
h%
‚
‰@
Nota bene
0 Y- |‹| < 1
(1) lim→Š ‹ = Œ 1 Y- ‹ = 1 e
+∞ Y- ‹ > 1
 Z- ∄ Y- ‹ ≤ −1 ;
B − 1 Y- B > 0 e
−B + 1 Y- B < 0
(3) Asintoto obliquo:
(2) |B − 1| = ’
P
4
lim1→±Š 1
=
;
2
lim1→±Š ]K
1 − B^ = ‹
(4)
(5) Esponenziale naturale
B -B”
B = lim 1 + →Š
[
3
(6)
4