Esercizi – prima parte

TEORIA
1) Le medie e le varianze calcolate su n osservazioni relative alle variabili quantitative X ed Y sono tali che
1
x  2y e  x2   y2 .
2
Considerando le corrispondenti variabili standardizzate
U
Xx
σx
e W
Yy
, indicare quale coppia
σy
delle seguenti affermazioni risulta vera
1
2
1
b) u  2w e σ2u  σ2w
4
a) u  2w e σ2u  σ2w
c)
u  w e σ2u  σ2w
d)
u  w e σ2u  σ2w
e)
u  w e σ2u  σ2w
2) Indicare quale delle seguenti affermazioni, relative al campo di variazione, risulta vera
a) è influenzato dalla eventuale presenza di valori anomali
b) è pari alla differenza fra il terzo e il primo quartile
c) corrisponde al rapporto fra la deviazione standard e la media
d) è un numero puro, svincolato dall’unità di misura utilizzata nella rilevazione del carattere
e) può assumere un valore minore, uguale o maggiore di zero
3) Considerato un individuo poco propenso al rischio, è opportuno che fra due diversi tipi di investimento in
titoli con lo stesso rendimento medio scelga quello che:
a) presenta la moda minore
b) presenta la varianza minore
c) presenta il coefficiente di variazione maggiore
d) presenta la mediana minore
e) è composto da un minor numero di titoli diversi
4) Data una collettività di 8 individui su cui la media è risultata pari a 5 e la varianza pari a 4, calcolare la
varianza della stessa collettività se si vanno ad aggiungere due nuovi individui sui quali la variabile di interesse
assume rispettivamente valore 4 e valore 6
a) 3.8
b) 4.2
c) 4.0
d) 5.0
e) 3.4
1
5) Dato il seguente grafico di dispersione relativo ai valori di due variabili X e Y rilevate su 6 individui
3
2,5
2
y
1,5
1
0,5
0
0
0,5
1
1,5
x
individuare quale delle seguenti affermazioni risulta vera
a) il valore del coefficiente di correlazione lineare fra X ed Y risulterà pari a -1
b) il valore del coefficiente di correlazione lineare fra X ed Y risulterà pari a zero
c) il valore del coefficiente di correlazione lineare fra X ed Y risulterà negativo, ma superiore a -1
d) considerata la retta di regressione
Ŷ  ˆ0  ˆ1X , la somma totale dei quadrati (SQT) corrisponderà
esattamente alla somma dei quadrati della regressione (SQR)
e) ) considerata la retta di regressione
Ŷ  ˆ0  ˆ1X , la somma totale dei quadrati (SQT) corrisponderà
esattamente alla somma dei quadrati degli errori (SQE)
6) Indicare quale fra le seguenti affermazioni, relative ad un coefficiente di correlazione lineare che è
risultato pari a zero, risulta vera
a) è stato calcolato su variabili standardizzate
b) la somma dei quadrati degli errori (SQE) è pari a zero
c) una delle due variabili ha varianza pari a zero
d) una delle due variabili tende ad assumere valori crescenti al diminuire dei valori assunti dall'altra variabile
e) la somma dei quadrati della regressione (SQR) è pari a zero
Risposte corrette
1) c
2) a
3) b
4) e
5) c
6) e
2
ESERCIZI
1) Data la seguente distribuzione di frequenza per classi
Classe
Frequenza
0-30
10
30-70
40
70-80
50
approssimare la media.
a) 46.67
b) 59
c) 47
d) 62
e) 58
d) 654.5
e) 250.6
2) Data la seguente distribuzione di frequenza per classi
Classe
Frequenza
0-30
10
30-70
40
70-80
50
approssimare la varianza
a) 3835
b) 1303.75
c) 354
3) Su 10 studenti è stata rilevata la variabile X che rappresenta il numero di esami superati nel I semestre
ottenendo x  2.1. Rilevando il numero di esami superati su altri due studenti, cha hanno superato
rispettivamente 1 e 2 esami, calcolare il numero medio di esami superati dai 12 studenti.
a) 2.2
b) 2
c) 2.4
d) 2.3
e) 2.5
4) Su 15 studenti di sesso maschile è stata rilevata la variabile X che rappresenta il voto all’esame di statistica
ottenendo un voto medio pari a 24 e una varianza pari a 5. Sapendo che il voto medio allo stesso esame ottenuto
da 5 studentesse è pari a 26 e che la varianza è 4, calcolare la varianza complessiva dei voti ottenuti dai 20
studenti.
a) 5.5
b) 24.5
5) Siano x  10 e
 x2  4
c) 0.75
d) 4.75
e) 4.5
rispettivamente la media e la varianza su un insieme di n osservazioni
x1 ,, xn
di una variabile X.
Il coefficiente di variazione delle osservazioni relative alla variabile Y = 52X risulta
CVy  5
b) CVy  16 25
c) CVy  4 5
d) CVy  16 5
e) CVy  4 25
a)
3
6) Data la seguente tabella a doppia entrata
X\Y
0
1
0
5
5
10
2
10
5
15
3
15
10
25
30
20
50
calcolare la mediana della distribuzione di Y condizionata a X=1
a) 0
b)1
c) 2
d) 2.5
e) 65/30
7) Data la seguente tabella a doppia entrata
X\Y
0
1
0
2
2
4
1
2
0
2
3
1
3
4
calcolare la varianza della distribuzione di X
a ) 0.5
b)1
c) 0.25
5
5
10
d) 1.4
e) 2
8) Data la seguente tabella a doppia entrata
X\Y
0
2
2
4
0
1
calcolare la covarianza tra X e Y
a ) 0.9
b)1
1
2
0
2
3
1
3
4
c) 2
5
5
10
d) 0.2
e) 0.25
9) Data la seguente tabella a doppia entrata
X\Y
0
2
2
4
0
1
calcolare l’indice chi-quadrato
a) 0
b)3
1
2
0
2
3
1
3
4
c) 2
5
5
10
d) 2.5
10) Data la seguente tabella a doppia entrata
X\Y
0
1
2
2
0
2
0
1
4
2
calcolare l’indice di entropia relativo per la variabile Y
4
3
1
3
4
5
5
10
e) 1
a ) 0.96
b ) 1.05
c) 0.36
d) 0.72
e) ln(3)
11) Per una tabella a doppia entrata sono note le seguenti informazioni
n.1 =5
n.2 =4
n.3 =6
xY y1  36
xY y3  78
xY y2  33
 x2  642.667
Calcolare il valore approssimato del rapporto di correlazione  X2 |y
a) 0.6379
b) 0.6472
c) 0.7733
d) 0.7033
e) 0.8875
12) Su n=100 coppie di osservazioni delle variabili X e Y, sono stati osservati i seguenti valori
100
xi  100,
i 1
100
xi2  500,
i 1
100
x y
i 1
i i
 800, y  4,  y2  4 .
Calcolare il coefficiente di correlazione tra W=1+2X e Z=2-3Y.
a) 1
b) 0.55
c) 0.65
d) -1
e) -0.65
13) Su n=10 coppie di osservazioni relative alle variabili X e Y, si sono ottenuti i seguenti valori
x  8, y  6,  x2  16,
10
x y
i 1
i
i
 640
Facendo riferimento al modello di regressione yi  0  1 xi   i , calcolare le stime dei minimi
quadrati di  0 e 1
a) ˆ0  1, ˆ1  3 b) ˆ0  2, ˆ1  1 d) ˆ0  24, ˆ1  4
d) ˆ0  1, ˆ1  3 e) ˆ0  2, ˆ1  1
14) Si lancino due dadi: il primo dado è perfetto mentre il secondo è truccato in modo che le facce
contrassegnate da un numero pari di punti abbiano probabilità doppia delle altre di verificarsi. Sia E 1 l'evento
che si verifica se compare una faccia contrassegnata da un numero di punti maggiore di quattro su entrambi i
dadi e sia E2 l'evento che si verifica se la somma dei punti è esattamente dodici. Calcolare P(E1∩E2 ).
a) 3/54
b) 1/27
c) 1/54
d) 2/27
e) 5/54
5
15) Un articolo prodotto da un macchinario può presentare due diversi difetti D1 e D2, indipendenti, con una
probabilità rispettivamente pari a P(D1)=0,01 e P(D2)=0,04. Calcolare la probabilità dell’evento: “sapendo che
l’articolo è difettoso si determini la probabilità che presenti il difetto D1”
a) 0.0100/0.0496
b) 0.0500/0.9500
c) 0.0500/0.0496
d) 0.0496/0.9504
e) 0.0100/0.9500
16) Si consideri l’esperimento che consiste nell’estrazione di una carta da un mazzo di carte francesi, composto
da 52 carte. Considerati gli eventi A: “carta di cuori o di picche” e B: “figura” (ossia fante, regina e re), indicare
quale delle seguenti affermazioni risulta vera
a) A e B sono incompatibili e dipendenti
b) A e B sono incompatibili e indipendenti
c) A e B sono compatibili e dipendenti
d) A e B sono compatibili e indipendenti
e) A e B sono eventi elementari
Risposte corrette
1)b
2 c)
3) b
4) a
13) b
14) b
15) a
16) d
5) e
6) d
7) c
8) d
6
9) b
10) a
11) d
12) d