Appunti sul corso di Complementi di Matematica ( modulo Analisi

Appunti sul corso di Complementi di Matematica ( modulo
Analisi) prof. B.Bacchelli
02 - Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2.
Equazioni differenziali lineari del primo ordine. Problema di Cauchy.
Def. Si dice equazione differenziale lineare del primo ordine, in
forma normale, una equazione della forma
y 0 = p(x) y + q(x)
dove y(x) è la funzione incognita. Se q(x) = 0 si dice omogenea, se q(x) 6= 0
si dice non omogenea.
Teorema Se p(x) e q(x) sono funzioni definite e continue in un intervallo
I ⊆ R, e x0 ∈ I, il problema di Cauchy
½ 0
y = p(x) y + q(x)
y(x0 ) = y0
ha una e una sola soluzione y(x) di classe C 1 sull’intervallo I .
L’equazione omogenea è a variabili separabili e ha integrale generale
y(x) = C e
R
p(x)dx
, C costante.
Per ottenere la soluzione generale della non omogenea applichiamo il
metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Tale metodo consiste nel
cercare le soluzioni nella forma
R
y(x) = C(x)e
p(x)dx
.
dove ora C(x) si suppone essere funzione derivabile.
Derivando con la regola del prodotto, e poichè p(x) è funzione continua,
troviamo
R
R
y 0 (x) = C 0 (x)e p(x)dx + C(x)p(x)e p(x)dx
Sostituendo nella equazione y 0 = p(x) y + q(x) si trova
R
C 0 (x)e
p(x)dx
R
+ C(x)p(x)e
p(x)dx
1
= p(x)C(x)e
R
p(x)dx
+ q(x)
Semplificando e moltiplicando per e−
R
C 0 (x) = q(x)e−
p(x)dx
R
otteniamo
p(x)dx
.
Le funzioni C(x) si trovano integrando :
Z
R
C(x) = q(x)e− p(x)dx dx + C
Quindi le soluzioni sono
R
y(x) = e
µ
p(x)dx
Z
C+
q(x)e
−
R
¶
p(x)dx
dx ,
C costante
Le ipotesi di continuità di p(x) e q(x) garantiscono che le operazioni
indicate hanno senso.
NOTA BENE: Si osservi che l’integrale generale di un’equazione lineare
non omogenea è uguale alla somma R dell’integrale generale dell’equazione
omogenea corrispondente (z(x) = Ce p(x)dx ), e di una soluzione particolare
dell’equazione non omogenea, quella che si ottiene per C = 0.
NOTA BENE: Per risolvere il problema di Cauchy, troviamo l’integrale
generale sull’intervallo di continuità di p e q che contiene il punto x0 , e
quindi sostituiamo in tale formula i valori x0 e y0 per trovare la costante
C. La soluzione y(x) del problema di Cauchy è quindi quella che si ottiene
sostituendo il valore particolare C cosı̀ trovato.
NOTA BENE: Se l’equazione si presenta nella forma
y 0 + a(x) y = q(x)
allora l’integrale generale è
R
y(x) = e
µ
−a(x)dx
Z
C+
R
q(x)e
¶
a(x)dx
dx
Esempi
I y 0 = 2xy + x3 , y(−1) = 0
R
R
R
R
2
2
³ y(x) = e 2xdx (C + 6x3 e− 2xdx dx) = ex (C + 6x3 e−x dx)
R 3 −x2
R
2
2
2
2
6x e dx = −3x2 e−x + 6xe−x dx = −3x2 e−x − 3e−x
2
2
2
2
2
⇒ y(x) = ex (C − 3x2 e−x − 3e−x ) = Cex − 3x2 − 3
Problema di Cauchy: y(−1) = Ce − 6 = 0 ⇒ C = 6e−1
2
⇒ y(x) = 6e−1+x − 3x2 − 3
I xy 0 + y = x , y(−1) = 1
1
³ Mettiamo l’equazione in forma normale per x 6= 0 : y 0 = − y + 1, per
x
x 6= 0
Poichè x0 = −1 appartiene all’intervallo (−∞, 0), troviamo l’integrale
generale su tale intervallo.
R 1
R 1
R
R
− dx
dx
1
y(x) = e x (C + e x dx) = e− log|x| (C + elog|x| dx) = C +
x
1R
1
x
xdx = C +
x
x
2
1
3
Problema di Cauchy: 1 = y(−1) = −C − ⇒ C = −
2
2
3
x
⇒ y(x) = − + , per x < 0.
2x 2
y
1
I y0 = − +
, y(−1) = 3 , x 6= −2, 0
x x+2
³Poichè x0 = −1 appartiene all’intervallo (−2, 0), troviamo l’integrale
generale su tale intervallo.
R 1
R 1
R 1
R 1 log|x|
− dx
dx
y(x) = e x (C +
e x dx) = e− log|x| (C +
e
dx) =
x+2
x+2
1
1R x
C+
dx)
x
x x+2
R x+2−2
1
1
= (C +
dx) = C + 1 − 2 log(x + 2)
x
x+2
x
Problema di Cauchy: 1 = y(−1) = −C + 1 ⇒ C = 0
1
⇒ y(x) = 1 − log (x + 2)2
x
Modello di conduzione termica. Sia T (t) la temperatura al tempo
t, di un ambiente interno ad un contenitore. Il contenitore è immerso in un
ambiente che è supposto avere temperatura Te .
Allora la dinamica della temperatura all’interno del contenitore segue la
legge:
dT
= k(Te − T )
dt
dove k > 0 (conduttività del contenitore): E’ una EDO lineare del primo
ordine nella incognita T.
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